机械控制工程基础 第4版 课件 第6、7章 控制系统的综合与校正、根轨迹法

第六章 控制系统的综合与校正第一节 概述第二节

串联校正第三节

并联校正第四节

复合校正性能分析——一个系统，元部件参数已定，分析它能达到什么指标，能否满足所要求的各项性能指标；综合与校正——若系统不能全面地满足所要求的性能指标，就要考虑对原系统增加些必要的元件或环节，使系统能够全面地满足所要求的性能指标。第一节

概述一、校正的实质所谓校正（或称补偿）就是通过增加新的环节来改善原有系统的性能。校正装置的实质也就在于改变系统的零、极点分布，改变频率特性或根轨迹的形状。二、控制系统的性能指标1、时域性能指标2、频域性能指标2、频域性能指标（1）开环频域性能指标（2）闭环频域性能指标

c

相位裕度Kg增益裕度

开环截止频率r

ωr

谐振频率M

谐振峰值

ω 复现带宽频率Mωb截止频率M

rM

0

0.707M

0

M

r

b

01、时域性能指标根据系统在典型输入下输出响应的某些特点统一规定的。（1）

瞬态指标

tr t

p ts M

p（2）稳态指标

ess

{K

p

,

Kv

,

Ka

}校正装置在系统中的联结方式：复合校正:按扰动补偿和按输入补偿三、校正方式并联校正：反馈校正和顺馈校正两种Gc

(s)串联校正X

s

iX

o

s

-G(s)E

s

Gc

s

Gc

(s)1、相位超前校正X

s

iX

s

o1R2RC

2112ciX so

R2X

s

R1Cs

1G s

R1

R2 R

R

Cs

1R

R11 2R 2

α

α

1

R

R令：R

C

T，Ts

1则：Gc

s

α

αTs

1

20

1T1

T020

lg

90

0

mm

m mφ

arcsin

1

α

, ω

1 αT1

α第二节

串联校正超前校正一般不改变低频特性，所以一般不能提高稳态精度，若想进一步提高开环增益，使低频段上移，则系统的平稳性将有所下降，还会降低系统抗高频干扰的能力。相位超前校正的作用X

s

iX

s

oG

s

-

Ts

1

Ts

1

20

40

80

20

c1

T1

60

g

L

20

lg

90

180

1 1T1 T20lgK

g1T2

c2

1

“高通滤波器”改变频率特性曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原来系统中元件造成的过大的相角滞后—具有较大的相位裕量，既改善了原系统的稳定性，又提高了系统的截止频率，获得足够的快速性。2、相位滞后校正X

s

iX

s

o1RR2CCsCsX

s

ioc12R1

R2

R

1

X

s

G

s

1

R2R1

R2

令：R2C

T，c

Ts

1则：G

s

Ts

1

20

1

TT1

90

0

R1

R2

Cs

1R2Cs

1L

0滞后校正的作用X

s

iX

s

o-G

s

20

40

20

90

180

c1c2

60

g

L

11T

20lgK

g

Ts

1

Ts

11

T1T“低通滤波器”

利用负斜率段，使被校正系统高频段幅值衰减，幅值交界频率左移，获得充分的相位裕量。使系统稳定，但是校正后，截止频率前移，以牺牲快速性换取稳定性。滞后校正不改变低频段的特性，故对稳态精度无破坏作用。相反，还允许适当提高开环增益进一步改善稳态精度。对于高精度、而快速性要求不高的系统采用滞后校正。如恒温控制等。0

03、相位滞后-超前校正X

i

s

X

s

oR1R2C12C

R1Cs

1

R2Cs

1

Gc

s

R1Cs

1

R2Cs

1

R1C2

s滞后网络超前网络

20

1T0

1

1

90

2

1

T2

1

20

1 212c

τs

1

τ s

1

G

s

Ts

1

Ts

1

1 2

τ1

s

1

τ2

s

1

T

s

1

T

s

1

90

L

10相位超前校正可以增加带宽提高快速性，以及改善了原系统的稳定性。但有增益损失不利于稳态精度。相位滞后校正可以提高平稳性及稳态精度，而牺牲快速性换取稳定性。同时采用滞后和超前校正，可全面改善系统的控制性能。四、PID控制器Proportion IntegralDifferentiationPID控制器也称PID校正器，PID调节器在工业自动化设备中，常采用比例单元（P）、微分单元（D）、积分单元（I）组成的比例微分（PD）、比例积分（PI）、比例积分微分（PID）控制器，这些控制器大多数是电动的或气动的、液动的，可以实现相位超前、相位滞后、相位滞后-超前的校正作用。1、比例微分（PD）控制相当于相位超前校正Gc

s

KP

KD

s

Kp

Ts

1

T120lgK

p0

20

L

90

02、比例积分（PI）控制spcK

IG

s

K

10

20

L

相当于相位滞后校正s

K

ps

KI

0

90

s

KI

s

1

利用I调节来消除残差，利用P调节使系统稳定。sKIDPcK s

G

s

K

1

20

13、比例积分微分（PID）控制L

1

2

20

s

KD

s

K s

K2P Is相当于相位滞后-超前校正I 1 2

K

s

1

s

1

0

90

0

90

由一个高增益的放大器加上四端网络反馈组成的校正装置，也称为有源校正装置。可以组成PD、PI及PID校正装置。4、运算放大器PDPIPID解：因为倒装摆是一个不稳定的被控对象，在控制器中必须引进微分控制的作用。微分控制作用反应动作偏差的变化速率，即微分环节有“预见”性，并有超前校正的作用，以增加系统的稳定性。因为微分控制作用不能单独使用，因此这个问题中使用比例加微分控制器，即PD校正。杆长l

10m支撑点的摩擦及车轮滑动等因素小车质量m1

1000kg 摆质量m

200kg例6-4

图示的一个倒装摆支承在一辆机动车上，是一个取出的空间助力器的状态控制模型。目的是保持助力器的铅垂位置。设计一个合适的校正装置，使系统具有阻尼比

ζ

0.7，无阻尼n固有频率

ω

0.5s

1忽略杆的质量及风力等干扰力的作用，忽略校正装置的传递函数为K

p

(1

Td

s)倒装摆的传递函数可由牛顿定律写出的运动方1mls2

(m

m)g1 1

0

F

(s)程导出并线性化得到：

(s)系统方框图如图写出系统的闭环传递函数并化成二阶系统的一般形式：imls2

KTs

K

(m

m)g1 p d p 1K

p

(1

Td

s)

(s)

o(s)

s2

KpTds

Kp

(m1

m)gm1l m1lK

p

(1

Td

s)

m1l

m

ln12Kp

(m1

m)g

m

ln1

K

pTd2

根据要求，计算可以确定比例微分校正装置的参数p n 1 12K

ml

(m

m)g

14270N

/

radTpdK 14270

2

n

m1l

2

0.7

0.5

1000

10

0.491s得校正装置的传递函数：Gc

(s)

K

p

(1

Td

s)

14270(1

0.491s)i1 p d p 1Θ(s)K

p

(1

Td

s)Θo(s)

mls2

KTs

K

(m

m)g速度反馈和加速度反馈常用的元件有：传感器、测速发电机、电流互感器等。第三节

并联校正Gc

(s)一、反馈校正位置（比例）反馈：Gc(s)

K速度（微分）反馈：Gc(s)

Ks加速度反馈：cG(s)

Ks2sK1

1KKHKHss1

KKHKG

s

s

由原来的积分环节变成惯性环节，降低了原系统的型次，降低了稳态精度，但有可能提高系统的稳定性。G

s

-KH1、利用反馈校正改变局部结构、参数（1）位置反馈改变系统的型次Ts

1K

s

1TKKKG

s

Ts

1

Ts

1 1

KKH1

KKHTs

1

KKH1

KKH仍为惯性环节，但时间常数改变。系统响应的快速性也改变。G

s

（2）改变一阶系统的时间常数1）位置反馈改变一阶系统的时间常数KH×-Ts

1K

KKKG

s

Ts

1

(T

KKH)s

1Ts

1

KKHs1

KKH

sTs

1仍为惯性环节，但时间常数改变。系统响应的快速性也改变。G

s

（2）改变一阶系统的时间常数2）速度反馈改变一阶系统的时间常数KH

s×-2

n s(s

2

n

)n H n nnn n G

s

2

2

2s2

(2

K

2

)

2s(s

2

n)1

n KH

s

s(s

2

)

结系统的阶次没有发生改变，但阻尼比变化。G

s

（3）速度反馈改变二阶系统的阻尼比K1s×-（4）正反馈增大回路的增益K1

KKHG(s)

回路增益发生改变2、利用反馈校正取代局部结构G

s

1

G

j

G

s

111

G1

j

Gc

j

G

j

1

G1

s

H1

s

G

s

1cG jω在一定频率范围内，若使

G1

jω

H1

jω

1则

G

jω

常被用来改造不希望有的某些环节，或用来消除非线性、变参量的影响。1H1

s

Gc

s

×-X

o

s

X

i

s

Xi

s

Xo

s

二、顺馈校正X

(s)G(s)i1

G(s)H

(s)X

o

(s)

[1

Gc

(s)]X

(s)icic1

G

(s)G(s)H

(s)H

(s) 1

G(s)H

(s) H

(s)[1

G(s)H

(s)]1 [1

G

(s)]G(s)E(s)

[

]X(s)

欲使E(s)

0,应保证：1

Gc

(s)G(s)H

(s)

01G(s)H

(s)c则有：G

(s)

校正后系统的输出是：校正后系统的误差：Gc

(s)一、按扰动补偿的复合校正第四节

复合校正1 2扰动作用下的输出是：Xno1

G(s)G

(s)(s)

G2

(s)[1

G1

(s)Gn

(s)]

N

(s)1 2non1

G(s)G

(s)(s)

G2

(s)[1

G1

(s)Gn

(s)]

N

(s)扰动作用下的误差：E

(s)

0

X则有：En

(s)

Xno

(s)

01nG

(s)因此：G (s)

1为对扰动误差全补偿条件Gc

(s)11nG

(s)选择顺馈装置的传递函数为：G (s)

例7-5 系统结构图如图示，要使干扰

n(t)

1(t)

作用下系统的稳态误差为零，试设计满足要求的Gc

(s) 。解：干扰作用下系统的误差传递函数为=enK3 K2

K3E(s)K KK

KN

(s)

1

K2

G(s)

s

cTs

1

s(Ts

1)

(s)

1

2

1 2 3

s s(Ts

1)=

K(s

K)

KKG

(s)

3 2 2 3 c s(Ts

1)

K2

(Ts

1)

K1K2

K3ssnens

0(s)

N

(s)=

K2

K3

K2

K3Gc

(s)e

lim

s

ΦK2

(1

K1K3

)令essn

0，得Gc

(s)

1三、按输入补偿的复合校正Gc

(s)系统的输出是：X

o

(s)

[E(s)

X

i

(s)Gc

(s)]G(s)X

(s)ico1

G(s)[1

G

(s)]G(s)得到： X (s)

若取顺馈补偿装置的传递函数：1G(s)cG(s)

则：

X

o

(s)

X

i

(s)

系统的输出量在任何时刻都可以完全无误地复现输入量，具有理想的时间响应特性。例6-6

系统结构图如图示，（1）设计Gc

(s)

，使输xi

(t)

At作用下系统的稳态误差为零。（2）在以上讨论确定了Gc

(s)

的基础上，若被控对象开环增益增加了

K

，试说明相应的稳态误差是否还能为零。s(Ts

1)K解:（1）系统的开环传递函数为：

G(s)

开环增益为K，系统为1型系统。系统特征多项式为：D(s)

Ts2

s

K

0当T

0，K

0时系统稳定系统的误差传递函数为:KKc

c

s(Ts

1)

Ks(Ts

1)

KG

(s)s(Ts

1)1

G

(s)s(Ts

1)1

X

i(s)E(s)

e(s)

scs

0

Ks

0ss

e

i令e

lims

(s)X(s)

limA[1

KG(s)]

0Kc得：G

(s)

sKs(Ts

1)

K

K

e(s)

ss

e

iK

(K

K

)s(Ts

1)

K

K

s2K

A

A

K

s

Ts

1

K

K

e

lim

s

(s)

X

(s)

lim

s

s

0

s

0（2）设此时开环增益变为

K

K，系统的误差传递函数成为：s(Ts

1)

K

K

s例6-7 控制系统结构图如图示。（2）设计G1

(s)，使xi

(t)

作用下的稳态误差恒为零；（3）设计G2

(s)，使n(t)

作用下的稳态误差恒为零；

5

j5（1）试确定参数K1

, K2

，使系统极点配置在

1,2解:（1）由题意得出系统特征方程：D(s)

s2

(1

K

K )s

K1 2 1取K1

0, K2

0，以保证系统稳定令D(s)=s2

(1

K

K )s

K1 2 1

(s

5

j5)(s

5

j5)

s2

10s

50

K1

50

1

K1K2

10

0.18

K

2

K1

50（2）当xi

(t)

作用时，令系统误差传递函数211 212

1

1

s(s

1)

K

(K s

1)1)

s (K2

s 1)G1

(s)

0

(s

s(s

1)K

K s

1

G

(s)sK

s

1X (s)

(s)

E(s)

ie12isKs

1得G

(s)=，使x

(t)输入作用下稳态误差恒为0（3）当

n(t)

作用时，令系统误差传递函数2221

K1

K2

s

1

G (s)sK s

1

(K s

1)

N

(s)

(s)

E(s)

ens(s

1)

(K2

s

1)(s

1)

s

G2

(s)

0s(s

1)

K1

(K2

s

1)得G2

(s)=s,

使n(t)输入作用下稳态误差恒为0控制系统校正的实质是引入校正装置使系统的传递函数发生改变，导致零点和极点重新分布，使系统满足要求校正的方法分为串联校正、并联校正和复合校正串联校正又分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正和相位滞后-超前校正4种；PID校正器是串联校正的一种特殊形式并联校正包括反馈校正和顺馈校正复合校正有两种：按输入补偿和按干扰补偿的附加装置本章小结课后作业P101：5，6P102：7，9，10第七章 根轨迹法第一节根轨迹概述第二节 根轨迹的基本作图经典控制理论有三种基本分析方法：时域分析法频域分析法根轨迹分析法

反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点

（即特征方程的根）的分布所决定，因此分析系统必须求解特征方程的根。但求解高阶系统特征方程异常困难，这就限制了时域分析法在二阶以上系统中的应用。1948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特征根（即闭环极点）的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。第一节 根轨迹概述一、根轨迹的基本概念根轨迹是当系统某一参数（如开环增益K）从零到无穷大变化时，闭环特征方程的根在[s]平面上移动的轨迹。根轨迹法的任务在于：由已知的开环传递函数的零、极点的分布及开环增益

，通过图解法找出闭环极点。根轨迹作图法的思路：依据系统的开环与闭环传递函数之间的确定关系，由开环传递函数的零、极点寻找闭环传递函数极点的轨迹。nm

(s

s

j

)K

(s

zi)j

1G(s)H

(s)

i

1 n mnnmG(s)G(s)

(s

s

j

)

K

(s

zi

)G(s)

(s

s

j

)

(s

s

j

)K

(s

zi)

1

G(s)H

(s)j

1

i

1j

1j

11

i

1

(s)

1

G(s)H

(s)

0G(s)H(s)

1满足式的s值，都是特征方程的根，都必是根轨迹上的点，故称为根轨迹方程。二、根轨迹方程闭环控制系统的相应开环传递函数：系统的闭环传递函数：闭环特征方程为：nm

(s

s

j

)K

(s

zi)j

1G(s)H

(s)

i

1 n mnnmG(s)G(s)

(s

s

j

)

K

(s

zi

)G(s)

(s

s

j

)

(s

s

j

)K

(s

zi)

1

G(s)H

(s)j

1

i

1j

11

i

1

(s)

j

11

G(s)H

(s)

0G(s)H(s)

1满足式的s值，都是特征方程的根，都必是根轨迹上的点，故称为根轨迹方程。nm

(s

s

j

)j

1K

(s

zi

)G(s)H

(s)

i

1

1mnK

(s

zi

)

(s

s

j

)j

1幅值条件：G(s)H

(s)

=

i

1

1m m幅角条件：

G(s)H

(s)=

(s

zi

)

(s

s

j

)i

1 i

1m m

φi

θ

j

（2k

1）πi

1 i

1第二节 根轨迹的基本作图一、根轨迹作图法则1、根轨迹的分支数根轨迹的分支数=闭环特征方程的阶数n2、根轨迹的对称性因为开环极点、零点或闭环极点都是实数或共轭复数，它们在[S]平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。[s]3、根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n

，则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。n

4m

2n

m

2有2条根轨迹终止于

处4、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环零点、极点确定。根轨迹区右侧的开环零点、极点数目之和应为奇数。也就是说，实轴上的某一区域，若其右端开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。5、根轨迹的渐近线控制系统的根轨迹有

n

m

条渐近线，并对称于实轴an mΣs

j

Σzij

1 i

1o

n

mφa

2k

1

πn

m渐近线与实轴交点的坐标为渐近线与实轴正向的夹角为极点之和减去零点之和。k依次取0，

1，

2，

一直到获得

n

m

个倾角为止。G

s

K

s

1

s

s

4

s2

2s

2

例7

2

单位反馈系统画根轨迹s3.4s1

0, s2

4,

1

jz1

1解：

1

化成标准传递函数，求零、极点[s]s2-4s3z1

s1-1 0s45a

4

1

j

1

j

1

3σa

3φ

(2k

1)π

π,π,

5π4

1

3

3(2)渐近线条数

n

m

33

4[s]-4-1 0

s1s4s2s3z1

1

1 12njidKd

s

d

z

j

1由根轨迹方程令：

0

解出sds解出d6、根轨迹的分离点两条或两条以上根轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点坐标的求法：2G

s

H

s

=

K

s

1

s

3s

3.25例7-3 已知系统开环传递函数画出系统闭环根轨迹[s]-3-20p1p2z-1解：

（1）求开环极点s2

3s

3.25=0p1

1.5

jp2

1.5

j(2) 实轴上的根轨迹dK

1 K

s

1

s2

3s

3.25s2

3s

3.25K

s

1

ds

0

2s

3

s

1

s2

3s

3.25

s

1

2(3)求分离点：根轨迹方程:有：s2

2s

0.25=0解得：s1

2.12s2

0.12

是根轨迹的分离点

会合点

舍去

z1z2

12

p12p

p3z1

12

[s] [s]7、根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角。终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。

Im

1

G

jω

H

jω

=0

令求得交点坐标值及其相应的K值。8、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根

j

，系统处于临界稳定状态，因此，将s

j

代入特征方程中得1

G

j

H

j

0

Re

1

G

jω

H

jω

0例7-5某单位反馈系统的开环传递函数为KG

s

= K dKs

s

1

s

5

=

1K

s

s

1

s

5

1

实轴上根轨迹

2

分离点坐标令：

0 得：s

0.47dsaσ

0

1

5

0

=

23

2k

1

180 3φa

60,

180s

s

1

s

5

3

渐近线n

3,

m

0,

故三条根轨迹趋向

处。3ω=0 K

=0

6ω2

K

0

ω

5ω

0

ω=

5 K

=30解得：

[s]-5 -2 -1 0

0.47

a

5K

303

5K

30D

s

=s

s

1

s

5

K

=0

4

根轨迹与虚轴的交点即：s3

6