2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试预测卷三(含解析)

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试仿真模拟卷(三)

一、填空题(每题8分，共64分)

1.若acos2x-0cosx?-l对任意实数x成立，则a+h的最大值为.

2.满足z238_z-l=0且|Z|=1的复数Z有个.

3.若函数/(x)=l-d脸+/在上恒大于0,则a的取值范围是.

4.正八面体有8个面、6个顶点，甲选择其中3个面的中心构成三角形，乙选择其中3

个顶点构成三角形，则甲、乙二人选择的三角形相似的概率是.

5.正三棱柱ABC-AB'C'BC的底面边长和高都是1,在底面ABC上取一点P,设平面

与平面ABC的二面角为2，平面PAC'与平面ABC的二面角为尸，则cos(a+£)的最大值为

6.已知函数f(x)=Qsinx+)cosMQ,匕£Z)，且满足{x"(x)=0}={x|/(/(%))=0},则整

数对(。,份有个.

7.抛物线丁=2》的焦点为E设M是抛物线上一动点，当筮最小时，M点的坐标为

a2+ab+b2=169

8.正实数。、b、c满足<82+80+<?2=196,贝Ia/?+Z?c+c。=.

c2+ca+〃=225

二、解答题（共56分）

9.（16分）正实数a、b、c满足-L+4+-V<9.证明：存在以a、b、c为三

4ab-c

长的三角形.

10.（20分）已知双曲线「亲•—方=1（。〉0口〉0）的离心率为2,过点尸（0,〃2）（加〉0）斜率

为1的直线交双曲线「于A、8两点，且4P=3PB,OAOB=3.

（1）求双曲线方程；

（2）设顶点为P（0,p）开口向上的抛物线与双曲线「相切于M、N两点.求△PMN面积的

最小值.

11.（20分）已知函数/（幻=加+桁+。义域为区.当工€伊）的时，"。）-炉区2018,

且当xe[-2,3]时，/（%）的最大值为10.

（1）求/（X）在R上的最小值；

（2）若存在实数相、n,使得|%2+侬；+〃区4（x）对任意xe[T,l]恒成立，求实数%的最

小值.

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试仿真模拟卷（三）详细解析

jr741

1.2.解:当工=—时，可知a+b<2.当“=—,b=—时，原式等价于一Qcosx-lf20(

3333

恒成立.故a+人的最大值为2.

2.0.解：由题意知|z+l|=|z2°R=l,又|z|=l,故Z=—]±Ti.代入得z2°l8—z—l#0,

故解有。个.

3.F—,-)U(l,+°o).解：首先知。>0且1.当a>l时，

L322/2

2

log2u%<0<x,

因此/(x)恒大于0.

当（）<a<l时，若/（x）在（；,；）上恒大于0,则@2AX）-A6>,,因此0<a<g,

且（182am-0N°'故'""I综上所述,aeUjUQ'E）.

4.—.解：甲有三种情况：等腰直角三角形、直角边比为1:Q的直角三角形、正三角

35

形.一共有56种.其中等腰直角三角形有24种；直角边比为1:五的直角三角形有24种；正

三角形有8种.

乙有两种情况：等腰直角三角形、正三角形.共有20种.其中正三角形有8种；等腰直

角三角形有12种.

因此，两三角形相似的概率为"x工+2乂总=以

5620562035

n

5.—-解：作点尸到平面的投影P',作PM，48'于M,P'NLA'C于N,则

19

NPMP'=a,ZPNP'=ft,过P'作分别交AB'于"'，交4C于N'.

代>/3

设MN=aWl,=则P'M=——x,P'N=一(a—x),故

22

PP'273PP'2>/3

tana=---=-,--tanp=

P'M3xP'N3(a-x)

2打2628

所以tan(a+£)---------->---------->--------f

3x(«-x)-43x(1-%)-4£413

4-

由于tan(cr+/?)>，因此tan(a+4)<0,a+0e.

又tan(cr+/?)>~~~，故以双二+夕)<-葛,当且仅当P为BC中点时等号成立.

6.7.解：由条件知，/(0)=0,则b=0,/(x)=6zsinx,贝i」{x|/(x)=0}={Qr|A£Z},

所以=当女工0时无解，所以所以〃=±3,±2,±1,0,(〃力)共有7个.

7.(1,±V2).解：设点M(x,y),则(地j=4-4x+l=］一,令4*—1=/,则「<()

\MO)4X2+SX4X2+8X

时”21,，>()时，

MO

产匕14—-

,+10+?-44，

t

当且仅当f=3即x=1时等号成立.故M点的坐标为(1,±V2).

8.112>/3.解：由方程构造△ABC及点。，使N4CB=ZBCC=zON=—,且Q4=«,

3

OB=b,OC=c,则AB=13,3C=14,04=15.验证知条件成立.故

cccc12^-12^-1.171.、

S^ABC=S&OAB+S^OBC+5AOAC="«^Sin—+-bSlO—+-C«S10—=—(^+^+C«),

由△ABC三边长知A到BC距离为12,故S〜8C=；x。B<容=(也可由海伦公式得出),

因止匕，ab+bc+ca=112'/3.

9.不妨设aWbWc,只需证c<a+A.假设cNa+b,则由"cV,知《2脂/〃，且

4c~

；>abc>ab(a+b)>2〃射,

则-5-N4.故

ab

c11111,,，，2

9>-z-H—z-H———T—~+16ab

a2b2c2a2b

4-----+4----+16a力-N9A/16a力一>9,

4a24b2V

矛盾.

22

10.(1)由双曲线离心率为2知，c=2a,b=®,双曲线方程化为「—当=1,设直

a23a2

线方程为y=x+m,联立得

2x2—2mx—m2—3a1=0.①

2Q2

设A(%,y),B(x2,y2),则M+W=〃2,X}X2=-...-.因为A「=3尸R,所以玉二一3/，

又%+%2="，解得玉="|〃2，x2=~•代入%工2="2"解得毋=6。2.又因为3=

222

OA-OB=x{x2+yxy2=m-3a=3a,所以6=],此时△〉().

代入①式，得2f—2在x-9=0,判别式△〉()，方程有两个不同实根.因此〃=1符合题

2

意.故双曲线方程为/一二=1.

3

(2)设抛物线的方程为y=qf+Mq>0),即/二工㈠一刀，与双曲线联立消去工得

q

qy2-3y+3p+3q=0,

由相切知判别式△=9-4q(3p+34)=0,解得p=―竺-,代入

句

qy2—3y+3p+3q=O,

o4

得Qy2.3y+丁=0,角星得y=-.

4q2q

代入X2=j_(y—p)解得

q

因止匕S4PMN='」玉一wl，y"一

22444V4q-V4qJ

令1+3=A,则q2=Y—且Ql，要求KPMN的最小值，只需求J工a>D的最小值，

4q4K-4VZ-l

只需求/」(女>1)的最小值.

3x2(m-

令/*)=1则八幻

X-1(1)2(X-l)2

当/'(x)=0时，x=0或}当x=T时，/(x)取得极小值.

当女=|时，q=J,%.的取得最小值为‘

11.(1)由题设知Ka-Df+foc+c区2018在[2018,+co)上恒成立.

当a=l时,gx+c区2018在[2018,+oo)上恒成立.若b=0,则|c区201&若b>0,取

*>2018£,则bx+c>2()18,矛盾.若人<(),则取X〉""8,则入x+c<—2018,矛盾.

bh

当a>l时，取x>max[l,max{°，2018c}一],则

(a一1)

(a-l)x+b>max{0,2018-c},

由于％>1,则

[(a—\)x+b\x>max{0,2018—c},即

(a-I)%2+bx+c>max{c,2018}>2018,

矛盾.

当a<l时，取x〉max1巴幽=答出心卜则

(〃-l)x+b<min{0,-2018—c},

由于x>1,则[(a—l)x+〃]x<min{0,—2018—c},即

(a-l)x2+bx+c<min{c,-2018}<-2018,

矛盾.