福建省厦门市2023--2024学年上学期九年级期末考试数学试卷

准考证号:姓名:

（在此卷上答题无效）

2023-2024学年第一学期初中毕业班期末考试

数学

本试卷共6页.满分150分.

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.核对答题

卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上

相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.可以直接使用2B铅笔作图.

一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题都有四个选项，其中有且只

有一个选项正确）

1.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定

性事件的是

A.向上一面的点数是2B.向上一面的点数是奇数

C.向上一面的点数小于3D.向上一面的点数小于7

2.下列方程中，有两个不相等的实数根的是

A.x2=0B.X2-3X-1=0

C.X2-2X+5=0D.X2+1=0C

3.如图1,4ABC内接于。O,直径AD交BC于点P,连接OB.

下列角中，等于;NAOB的是

A.ZOABB.ZACB、~）

图i

C.ZCADD.ZOPB

4.关于y=（x-2）（x为任意实数）的函数值，下列说法正确的是

A.最小值是-1B.最小值是2

C.最大值是-1D.最大值是2

5.某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加至U8万册，设图书数量

的年平均增长率为％,可列方程

A.5(1+x)=8B.5(1+2%)=8

C.5(1+x)2=8D.5(1+2%)2=8

6.如图2,直线/是正方形ABCD的一条对称轴，/与AB,CD分别

交于点M,N.AN,BC的延长线相交于点P,连接BN.下列三

角形中，与4NCP成中心对称的是

A.ANCBB.ABMN

图2

C.AAMND.ANDA

数学试题第1页（共6页）

7.某个正六边形螺帽需要拧4

圈才能拧紧，小梧用扳手的

卡口卡住螺帽，通过转动扳

手的手柄来转动螺帽（如图3

所示）.以此方式把这个螺帽

拧紧，他一共需要转动扳手

的次数是

A.4B.16C.24D.32

8.某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试.飞机着陆后滑行的距离s（单位:m）

关于滑行的时间/（单位:s）的函数解析式是s=-，+60/,贝8的取值范围是

A.0<r<600B.20W/W40C.0W/W40D.0W/W20

二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）

9.不透明袋子中只装有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其下二

他差别.从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是________.（\4

10.抛物线y=3（x-1）2+4的对称轴是________.V/,

11.已知x=l是方程f+Mc-3=0的根，则机的值为__________.7"改1二7c

一图4

12.四边形ABCD内接于。O,E为CD延长线上一点，如图4所示，

则图中与NADE相等的角是________.

A_______TF

13.如图5,在aABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是AABC的/弋［'

角平分线./y\|£

把4ABD绕点A逆时针旋转90°得到AAEF,点B的对应点是点/j一\

E,则点D与点F之间的距离是.图5

14.在平面直角坐标系xOy中，口ABCD的对角线交于点O.若点A的

坐标为（-2,3）,则点C的坐标为.

15.为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该

种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异.表一记录了截至目前的试验数据.

表一

累计获得试验成功的种子数（单位:粒）1468101214

累计试验种子数（单位:千粒）15810.512.514.516.5

该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还

需要准备用以辐射的种子数（单位:千粒）：.

16.有四组一元二次方程:①％2-4%+3=0和3r-4》+1=0;②％2_%_6=0和6/+%-1=0;

③一一4=0和43_1=0；④4/_13》+3=0和3--13》+4=0.这四组方程具有共同特征，

我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”.请写

出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程:.

数学试题第2页（共6页）

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.（本题满分8分）

解方程P5x+2=O.

18.（本题满分8分）

如图6,四边形ABCD是平行四边形,AC=AD,AE，BC,DF，AC,垂足分别为E,F.

证明AE=DF.

图6

19.（本题满分8分）

先化简，再求值：（血一工）4-m~~2m+1.,其中巾=&+L

mm

20.（本题满分8分）

如图7,AB与。O相切于点A,OB交。O于点C,OC=8,AC的长为2兀，求BC

的长.

数学试题第3页（共6页）

21.（本题满分8分）

在矩形ABCD中，点E在AD边上，ZABE=60°,将^ABE绕点B顺时针旋转得到

△FBG,使点A的对应点F在线段BE上.

（1）请在图8中作出△FBG;（要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）FG与BC交于点Q,连接EQ,EC,若EC=BQ,请探究AE与DE的数量关系.

22.（本题满分10分）

某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车.每层的

层高为6n1,横向排列30个车位，每个车位宽为3n1,各车位有相应号码，如:201表示二

层第1个车位.第二至四层每层各有一个升降台，分别在211,316,421,为便于升降台

垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每个升降台前方有可在轨道上滑行的

转运板（以第三层为例，如图9所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车

子为例）：

①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；

②转运板进311,托起车，载车出311;

③转运板载车滑行至316前；

④转运板进316,放车，空载出316,停在316前；

⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.

停车位・・・停车位・・・升降台・・・留空・・・停车位

301311316321330

转运板滑行区圈转运板滑行区

图9停车场第三层平面示意图

升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为lm/s,载车时的滑行速度是升

降台升降速度的2倍.

（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回

到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速

度；

（说明:送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）

（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车

随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工

作流程在1分钟内完成取该车的概率.

数学试题第4页（共6页）

23.(本题满分10分)

正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”.若直线

/：>=》+/与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线1的距离为0

(24),则称直线1为该正方形的“T悬割线”.

已知抛物线M:y=-(x-1)2+m2_2m+4,其中m<1,A(m,3),B(4-3m,

3),以AB为边作正方形ABCD(点D在点A的下方).

(1)证明：正方形ABCD是抛物线M的“A悬正方形”；

(2)判断正方形ABCD是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由；

(3)若直线1是正方形ABCD的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形ABCD进行

相同的平移，是否存在直线1为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，

请探究抛物线M经过了怎样的平移;若不存在，请说明理由.

24.(本题满分12分)

四边形ABCD是菱形，点。为对角线交点，AD边的垂直平分线交线段OD于点P

(P不与。重合)，连接PC,以点P为圆心，PC长为半径的圆交直线BC于点E,

直线AE与直线CD交于点F,如图10所示.

(1)当NABC=60°时，求证:直线AB与OP相切；

(2)当AO=2,AF2+EF2=16时，求NABC的度数；

(3)在菱形ABCD的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究

NAFC与NCAF的数量关系.

数学试题第5页(共6页)

25.（本题满分14分）

请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料：

［背景］

小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道：“你家附近不是已经有一个A超

市了吗？再开一个能吸引顾客吗？“这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣.

［过程］

为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的

品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素“为主题对该市居民展开随机调查.

结果显示:超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素.

大家根据调查进行了总结：

①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标；

②占地面积越大吸引力越大；

③距离越大吸引力越小.

在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相

应超市的占地面积s（单位:m?）及其与居民住处的距离r（单位:m）,并对p,s,r之间的

关系进行研究.

一开始，同学们猜想p可能是，的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大.这时,

小梧提出：“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个

物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为F

=詈磬（6是引力常数），我们是不是可以作个类比，试一下看O与

己的关系如何？”.按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直

角坐标系中绘制了p与2对应关系的散点图，如图11所示.

根据阅读材料思考：

（1）观察图11中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与矗的对应关系，直

接写出它的一般形式；

（2）为了清晰表示位置，同学们选A超市为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y

轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长，则小悟家的坐标为

（400,200）.A超市的占地面积为2000m2,规划中的B超市在A超市的正东方向.

根据（1）中的对应关系，解决下列问题：

①若B超市与A超市距离600m~800m,且对小悟家的吸引力与A超市相同，求B

超市占地面积的范围；

②小梧家在东西向的百花巷，百花巷横向排列着较为密集的居民楼.现规划B超市

开在距A超市300m处，且占地面积最大为490m2,要想与A超市竞争百花巷的

居民，该规划是否合适？请说明理由.

数学试题第6页（共6页）

2023-2024学年第一学期初中毕业班期末考试

数学参考答案

说明：解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应

评分.

、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

题号12345678

选项DBBACDCD

二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分）

2

9.§.10.x=l.11.2.12.NABC.（写/B亦可）13.4啦

14.(2,-3).15.16.16.X2-X=0.（常数项为0的一元二次方程均可）

三、解答题（本大题有10小题，共86分）

17.（本题满分8分）

解：

a=l,b=—5,c=2.

因为△=右一4"=17>0,......................................................4分

所以方程有两个不相等的实数根

-b土ylb2-4ac

x=2a

5土西八

—2•.....................................................6刀

即『呼，乂?二空.

8分

18.（本题满分8分）

解法一：

证明：

•••四边形ABC。是平行四边形，

AD//BC...................................................3分

ZDAC^ZACB.......................................................4分

AE±BC,DF±AC,

：./AEB=NOFC=90°.

AC^AD,

：.AAEC^/\DFA.......................................................7分

AE=DF.......................................................8分

解法二：

证明：

四边形ABC。是平行四边形，

/.AB=DC,/B=/ADC.....................3分

AC^AD,

：.ZADC^ZACD.......................................................4分

/.NB=/ACD.

'：AE±BC,DF±AC,

/.ZAEB=ZDFC^90

：.AAEB咨ADFC..................................................7分

AE=DF.......................................................8分

解法三：

证明：

,/四边形ABC。是平行四边形，

AB=DC,AD=BC.......................................................3分

,?AC=AC,

：.△ABg/XCDA.......................................................5分

SAABC-SACDA-

VAE±BC,DF±AC,

11

，-^BC-AE=-jAC-AF.......................................................7分

,?AD=AC,AD=BC,

••BC^AC.

；.AE=DF.......................................................8分

19.（本题满分8分）

解：

疗一］疗一2m+l

原式=2分

mm

(m+1)(m-l).(m-1)2

=----------------------.................4y

mm

(m+工)(m—l)m

—m(m—1)2

m+1

6分

m—1,

当m=y[2+l时,

也+1+1

原式=

啦+1—1

=啦?=也+〉..........................8分

20.（本题满分8分）

解：连接。4

,/AB与。。相切于点A,

OA±AB.

iPZO/»B=90°.......................................................2分

设N40B=n°,

,?OC=8,筋的长为2n,

.8-71

,,180=2zr'

解得。=45,即4OB=45°.......................................................5分

NB=90°—NAOB=45°.

ZB^ZAOB.

：.OA=AB=8.

.•.在Rt/XCMB中，OB=qOA2+AB2=8版.................7分

/.BC=0B-0C=8啦一8.8分

21.（本题满分8分）

解：（1）（本小题满分4分）

如图4FSG即为所求..........................................................4分

解法一（利用SSS作全等三角形）：

解法二（利用SAS作全等三角形）：

解法三（利用ASA作全等三角形）：

(2)(本小题满分4分)

矩形ABCD中，AD=BC,

ZABC=ZBAD=ZBCD=ZADC=90°.

'：△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG,

点A的对应点F在线段BE上，

AABE咨AFBG.

：./BFG=/BAE=90°,BA=BF.

'：在RtZkBAE中，ZABE=60°,

：.ZAEB=30°.

：.BE=2BA.............................5分

BE=2BF.

又：FG1.BE,FG与BC交于点Q,

BQ=EQ........................6分

ZQBE=ZQEB=30a.

：.ZEQC=Z.QBE+ZQEB=60a.

又,:EC=BQ,

：.EC=EQ.

•*.△EQC是等边二角形.

ZECQ=60°,EC=CQ..................................................7分

在RtZ\EDC中，ZECD=30°,

/.CE=2DE.

：.BQ=CQ=2OE.

AO=BC=BQ+CQ=4OE.

AE=AD—DE=3DE......................................................8分

22.（本题满分10分）

解：（1）（本小题满分5分）

设转运板载车时的滑行速度为xm/s,则升降台升降速度为0.5xm/s,.......................2分

依据题意可知，车位421与401相距20X3=60m,且每层的层高为6m,

—12X3X66060八

可列方程：05x+40=T+q.....................................................4分

解得：x—0.5,

经检验，原分式方程的解为x=0.6,且符合题意.

答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s......................................................5分

（2）（本小题满分5分）

设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该

车，..........................6分

解得:a<2.5.

因为。是正整数，所以aW2......................................................8分

因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上,

也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统

按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种.

41

所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）=葭=7........................10分

Zo/

23.（本题满分10分）

解：（1）（本小题满分3分）

当x=m时，y——（m—l）2+m2-2m+4——m2+2m—1+m2—2m+4=3.

.....................................................3分

所以点A在抛物线M上.

所以正方形ABCD是抛物线M的«A悬正方形”.

（2）（本小题满分3分）

解法一：

正方形48C。不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：

假设点B在抛物线M上，则当x=4—3m时，y=3.

所以一（4—3m-1）2+“一2m+4=3.....................................................4分

化简得：m2—2m+l=0.

所以mi=m2=l..................................................5分

1

与矛盾.

所以假设不成立.

所以点8不在抛物线M上.

正方形ABCD不可能是抛物线M的“B悬正方形”...........................6分

解法二：

正方形ABC。不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：

假设点B在抛物线M上，

由4m,3),B(4-3m,3)可知抛物线M的对称轴x=①9=—m+2.................4分

由抛物线M：y=-(x-l)2+m2-2m+4可知对称轴是x=l.

所以一m+2=l.

解得m=l......................................................5分

1

与矛盾.

所以假设不成立.

所以点B不在抛物线M上.

正方形ABCD不可能是抛物线M的“B悬正方形”...........................6分

(3)(本小题满分4分)

假设存在直线/为平移后正方形的“C悬割线”的情形，则平移后，正方形A8C0是抛物线M的“C悬正方

形”.

因为抛物线M及正方形ABC。进行相同的平移，

所以平移前，正方形ABC。是抛物线M的“C悬正方形”.

所以点C在抛物线M上.

因为4m,3),B(4-3m,3),所以AB〃x轴.

又因为m<l,

所以>48=4—4m.

在正方形ABC。中，AB±BC,AB=BC,

所以C(4-3m,4m-l)......................................7分

因为点C在抛物线M上，

所以一(4—3m—1)2+“—2m+4=4m—1.

1

解得：mi=2>m2=l(不合题思，舍去).

1

所以m=]......................................................8分

155

所以平移前，4]，3),8(-,3),%,1).

因为直线/：y=x+t■与x轴,y轴分别交于(一30),(0,t),

又因为|一t|=|t|,乂轴_1_丫轴,

所以直线/：y=x+t与x轴夹角是45。.

因为平移前，直线/是正方形48C。的“A悬割线”，如图，设直线/与4B,AD分别交于点P,Q,

因为4B〃x轴，

所以NAPQ=45°.

在正方形ABC。中，NBAO=90°,

所以NAQP=45°.

所以AQ=AP.

所以PQ=7AP2+AQ2=y[iAP.

11

因为SAAPQ=]AQ•AP=3PQ'd，d=y[2(2~t),

所以4P=2(2-t)=4—2t.

9

所以喝一2t,3).

3

因为点P在直线/：y=x+t上，所以t=2-

9分

设点eg,1)平移后的坐标为(|+6，1+k).

设直线/与平移后正方形的CD边交于点E,

如图，同理可得：CE=2(2-t)=4—2t=l.

3

所以E(]+/7,1+k).

3

因为点E在直线/：y=x+,上，

33

所以5+6+5=1+卜.

所以k—h+2.

因为抛物线M及正方形进行相同的平移，

所以要使直线/为平移后正方形的“C悬割线”，则抛物线M向右平移八个单位，向上平移(h+2)个单位,

其中h为任意实数...........................10分

24.（本题满分12分）

（1）（本小题满分4分）

证明：连接AP.

V四边形ABC。是菱形，

/.BA=BC=A。，AO^CO,BD±AC.

.....................................................2分

1

ZABD=ZCBD=^ZABC=30\

：.4BO=4OB=30°.

；P是AO垂直平分线上的点，

PA=PD.

：.NPAD=/PDA=30°............................3分

/.ZAPB=60°.

：.NR4B=180°—/AP8-/A80=90°.

PA±AB.

：BO垂直平分AC,P在BD上，

:.PA=PC,即点A在。P上.

直线AB与。P相切......4分

（2）（本小题满分4分）

由（1）得点。在。P上.

,/NADC与/AEC同对最，

NADC=/AEC.

V四边形ABC。是菱形，

/.AB//CD,AD//BC.

：./ADC=/DCE.

：./AEC=/DCE.

：.FE=FC................................b力

---AF2+EF2=16,

.•.在中，AF2+CF2^AF2+fF2=16.

*/由（1）得AC=2AO=4,BPAC2=16.

：.AF2+EF2^AC2.

△ACF为直角三角形，且/AFC=90。.7分

/.ZAEC=ZDCE=45°.

又•:AB//CD,

NABC=NOCE=45°.........................8分

（3）（本小题满分4分）

设4BC=a,

由(1)知：当a=60。时，直线AB与。P相切，同理：当a=60。时，直线BC与。P相切，此时，点C是

切点，点E、F、C重合.

所以若点C与E不重合，可分两类讨论：

①当点E在BC延长线上时，

由(2)知：/AEC=/DCE=/ABC=a.

1

ZAFC=2ZDCE=2a,即a=~ZAFC.

'：由(1)得&4=BC,

11

ZACB=ZCAB=2(180。一/ABC)=90。一/a.

13

ZCAF=ZACB-ZAEC=90°~2a~。=90。一10分

3

ZCAF=90°—^ZAFC.

3

即/CAF+z/AFC=90°...............11分

②当点E在BC边上时，

:点A,E,C,。在。P上，

ZAEC+ZADC^180°.

ZAEC+ZFEC^180°,

：.NFEC=/ADC=NABC=a.

'：由（1）得AO〃BC,

/.NFCE=/ADC=a.

/AFC=180°—/FCE—NFEC=180°—2a.

1

即a=~（180°—NAFC）.

又•:由（1）得BA=BC,

11

ZBAC=ZBCA=^（180°—/ABC）=90°—

13

ZCAF=ZFEC~ZBCA=a-（90。一=/a—90。.

33

/CAF=Z（180°—/AFC）—90°=45°—公/AFC.

3

即/CAF+w/AFC=45°.

3

综上，NCAF+a/AFC=90°或45°............................12分

25.(本题满分14分)

(1)(本小题满分4分)

ks