高考数学二轮复习二三角函数与解三角形练习题

专题突破练8三角函数的图象与性质

一、单项选择题

l.(2021∙山东青岛一模)已知角。终边上有一点P(tan苧,2sin(H),则COSe的值为()

11

CD√23

A.-_■√23

22-

2.(2021•新高考/,4)下列区间中涵数/(x)=7Sin(XP单调递增的区间是()

D

A∙M)BGn)C.(π,⅞)D.(⅞,2π)

3.(2021.山西临汾一模)已知则下列各数中最大的是()

A.sin(sinθ)B.sin(cosθ)C.cos(sin0)D.cos(cosθ)

4.(2021•浙江金华期中)己知函数段)=sin(ox+e)(3≠0)的图象经过点缺,0),一条对称轴方程为T，则

函数,/(X)的周期可以是()

ʌ—β-Q-Γ)—

Du

A.42J4'12

5.(2021•广东广州月考)将函数√U)=sin(2x+阴(弓<θ<方)的图象向右平移夕(ρ>D个单位长度后得到

函数g(x)的图象若外),g(x)的图象都经过点《0,苧),则φ的值可以是()

ʌ-ɪb⅞c∙∑DA

6.(2021.山东日照期末)已知函数火X)=Sin(S+J(3>0)在区间［0,2π］上有且仅有6个零点,则实数ω

的取值范围为()

琛,+)［

A8)B©,+8C.H,⅞)D,(⅞S⅛)

7.(2021•江西临川期末)函数段)=(M)∙cos(对的大致图象可能为()

A.Λ0)<∕(∣)<Λ1)

B∕O)<ΛD<X∣)

c.χ∣)<ΛD<Λ0)

D∕D<∕(∣)<y(o)

二、多项选择题

9.(2021•山西太原月考)已知函数√(x)=2(2∣cosx∣+cosx)sinx,则下列结论错误的是()

A当χG[θ,智时网∈[0,3]

B.函数y(x)的最小正周期为兀

C函数危)在区间卜,用上单调递减

D.函数人劝的对称中心为(2kπ,0)(k∈Z)

10.(2021•辽宁锦州模拟)已知。可函数兀V)=SM2如W)在区间(兀,2π)上没有最值厕下列结论正确的

是()

A∙贝x)在区间5,2π)上单调递增

βωe[⅛⅛]

Cyu)在区间[0,2上没有零点

Dy(X)在区间[0,π]上只有一个零点

三,填空题

Π.(2021∙四川绵阳期中)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin215°,cos215°),则α=

12.(2021•海南海口中学期末)已知函数段)=疝(3W)@>0)在区间(0,引上单调递增,在区间

管,2ττ)上单调递减,则ω=.

13.(2021.河北石家庄期中)已知函数段)=Sin(COX+9)(3>0,0<φ<满足<x+π)子;犬).居)=1,则/-

工)的值等于.

14.(2021•浙江金华月考)已知函数/(X)=Sin4x-2cos4x,若对任意的XWR都有J(A;)2/5)),则

4χo+9='

专题突破练8三角函数的图象与性质

1.D解析因为tan竽=tan(π+£)=ta埼=V^,sin(-∙^)=sin(-2n-n+5)=sin(-π+匀=-

Sin(TI-?=-sin^=卷,所以2sin(-米)=-1,所以P(√5,-l).

所以cosθ=西

J(√3)2+(-D2'

2.A解析由收£[1+2爪]+2加]乒〃得尤居+2加糕+2对其2.当々=0

时,得函数段)=7Sin(Xq)的单调递增区间为样，乳

∙∙∙(Oq)∈[-f,y],∙∙.(Oq)是函数段)的一个单调递增区间.故选A.

3.D解析,sin(cos

√31

^)=sin∣=cosQ-2),CoS(Sin0)=C0S∙y,C0S(C0S=COS-,

∙*0<∣VT—半〈年V亨一：<兀,且函数y=cosx在区间(0,兀)上单调递减，

乙乙乙乙乙乙

苧>C0s(∕-g),.:最大的是CoS，,即最大的是CoS(CoSθ).

4.B解析由题意得I-A=铝T(Z∈Z),则T=z⅛(A∈Z)∙结合四个选项可知,只有选

项B符合.

5.B解析依题意g(x)=sin［2(x-s)+例=Sin(2x+8-2s),因为＜x),g(x)的图象都经过点

[sin。=y,

ISin(O-2。)=y

Z).

结合四个选项可知,只有选项B符合.

6.C解析令√(χ)=0,即ωx+^=kπ(k≡Z),⅛ʃɪ-ɪ+—(⅛∈Z),X。＞0,可知在区间［0,2兀］

ɔ5(A)CJO

上,从左到右段)的第1个零点为行三+3=纂而第6个零点为X6=嗡+等=总第

r人干上J→πI7π20π7π—20πA刀/日17,10

71零点为为=-五+总=诙？故而=兀＜而，解付不≤ω‹τ∙

7.A解析函数“¥)=HboS(5%)的定义域为｛x∣x≠0｝次-X)=(HBCOS(-号)=-(%-

'os管)=√(x),所以函数於)为奇函数,排除B,C选项;当0＜Λ＜1时=，*0,0＜竽＜

*则COS管)>0,所以危)<0,排除D选项.

8.B解析由题意得√(x)="sin2%-⅛1^cθs2x=Ja2+y∙sin(2x+^)-∣(其中tanφ=ʌ,θ<

Y)•

令g(x)=sin(2x+s),

由媳)=娉)，得g(9)=g管)，则g(若斗士1，即sin(竽+8)=土1,解得

φ=-

Z,

6

.:夕=/：g(x)=Sin(2%+£).

故g(O)g,g(D=Sin(2+^)>sin≡=ɪ

又函数g(x)的图象关于直线Xq对称且函数g(x)在区间［o,5上单调递增《一2＜14，

∙*G)>g⑴,于是g(O)<g⑴<g(2),从而胆)<川)啕.

3sin2x,-^∙+2kττ≤x<ʒ-+2∕cπ,

9.ABD解析依题意./（x）=∙π3π∕∈Z),画出函数/U)的大致

-Sin2%,2+2fcπ≤x<—+2fcπ

图象如图所示.

由图象知,当Xe[θ,到时√（x）∈[-l,3],故A错误;函数段）的最小正周期为2π,故B错

误;函数©在区间卜,引上单调递减,故C正确;函数於）的对称中心为（飙0）伙∈Z）,故D

错误.

1O.BD解析由函数y（x）=sin（23；T）在区间（兀,2兀）上没有最值,得2E-1≤2ωπ-^<4ωπ-

≤2E+/,或1kn^-≤2ωπ-^<4coπ-j≤2⅛π+等,2eZ;解得k-∖≤ω≤ɪ+段,或左+总—

3≤[+公A∈Z,由。≥2τι-兀=兀,得t22兀,即会≥2τt,则3≤ɪ

ZZ4Z乙3L

又0所以93号所以可取A=O,得36七，料且段）在区间（兀,2兀）上单调递减;

所以A错误,B正确;当x∈[0,π]时,2（yχTe[-S,2（υπ-?],且2口无Te卜，期,所以危）在区

。LɔɔJɔL乙JL乙」

间[0,无]上只有一个零点,所以C错误,D正确.

11.235°解析由三角函数的定义可得CoSa="j=^:sm,21',=sin215°=cos

√sin2215o+COS2215O

2350,sina=-；=,cos215。=CoS215。=sin2350,所以α=235°.

√sin2215o+COS2215O

12.ɪ解析由题意4等）=sin（苧3-1）=l=>竽O）,=2⅛π+罪GZ）=Cy=*+/（2eZ）,若

1

%>0,则ω≥2,T≤π与已知矛盾;若Z<O,eυ<O,与已知不符,当k=0时,得①=,满足题意.

13.-ɪ解析设火x）的最小正周期为T,因为危+无）=*X）,所以“7=MJ∈N*）,所以T=；=

•（"∈N*）,所以0=2〃（〃GN*）,又∕θ∣）=l,所以当X=工时,cυx+9="∙/+s=1+2E（∕z∈N*,AG

Z),所以夕="2E-〃∙为∕∈N*,%∈Z),因为0<9吗所以0<92E-〃《<2("∈N*,Z∈Z)灌

ZOɔZOɔ

理得IV〃-12k35∈N*,女∈Z),因为止12A∈Z5∈N*次∈Z),所以止12%=2("∈N*,Z∈Z),所

以⅞9=^+2Zcπ-(2+12⅛)∙ɪ=XAWZ),则〃•[+，=∙^+2⅛π(n∈N*Λ∈Z),

，0000z

所以等=J+2E("∈N>∈Z),

Oɔ

所以X⅛)=sin[2∕r(-ɪ)+翡sin(平+?=Sin(T-2kπ+9=Sin(W=击〃∈

N*,Z∈Z).

14.0解析由于"v)=sin4x-2cos4x=V^sin(4x-s)(其中tan夕=2),所以函数/(x)的最小正

周期T=手=而大X)。XO),因此於)在X=Xo处取得最小值,而Xo+)τ=xo+[,所以点

4Zzto

10+,0)是段)图象的对称中心,故/(xo+p=0.

专题突破练9三角恒等变换与解三角形

一,单项选择题

L（2021∙深圳高级中学月考）在钝角AABC中4B=2,sin8=与,且MBC的面积是导则AC=（）

A.√3B.2C.√7D.我或小

2.(202L辽宁大连二模)若tanf=飙塔篙=()

A.-∣B.-3

C.∣D.3

3.（2021•山东日照期中）已知"8C的三内角A,8,C所对的边分别为“力,G其中R为AABC外接圆的半

径,若3〃SinA+3⅛sinB+4asin8=6RSin则sinAsin8-cosAcosB=（）

ʌ3

A，D.-∣

44

4.（2021•海南二模）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割

率,黄金分割率的值也可以用2sin18°表示.若实数n满足4sin218o+“2=4,则与畔一=（）

8nzsιnz18

Aɪ

从4嗯D手

5.（2021•江西南昌期末）“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于

今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳

雀楼的示意图,某位游客（身高忽略不计）从地面点。看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进79m到

达点区此时看点C的仰角为45°,若8C=2AC,则楼高AB约为（）m.

A.65B.74C.83D.92

6.(202卜河北邯郸期末)已知cos«+sin2^=∣,sinα+sinBCoSSw,贝Ilcos(a+2/?)=()

A∙9-BIc∙⅞D∙⅛

7.

（2021•湖南长沙模拟）小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘（如图阴影部分）,为

了测量该池塘两侧CQ两点间的距离,除了观测点CQ外,他又选了两个观测点PbBJl尸/2=&已经

测得NplP2。=火/尸221。=£,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观

测的角的其中一组,就可以求出CO间距离的是（）

①NOPc和/。CPi;②NP1P2C和/PCP2；③NPlOC和/OCPI.

A@②

C.②③口.①②③

8.

（2021•吉林月考）如图,正三角形ABC的边长为4,O,E,F分别在边AB,BC和CA上（异于端点）,且。为

AB的中点.若∕EQF=120°,则四边形CFz迫的面积为（）

A.2√3B.竽

C.3√3D.无法确定

二、多项选择题

9.（2021•山东师大附中期末）若AABC的内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且满足尻2“+4•1?等=0,

则下列结论正确的是（）

A.角C一定为锐角B,02+262-c2=0

C.3tanΛ+tanC=OD.tanB的最小值为苧

三、填空题

10.（2021•北京延庆模拟）已知AABC的面积为2√X4B=2,B=*贝IJ喘=.

11.（2021・山西运城模拟）已知tan6,tan（是方程Λ2+ΛX-3=0的两个根,则a=.

12.（2021•广东揭阳一模）已知“8C的内角A,B,C所对的边分别为α,6,c,且满足α=2,/=2/+¢2,则

△ABC的面积的最大值为.

13.

（2021.山东潍坊一模）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯

的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为∖0,ZPBA=ZQAB=60QHQ=QP=P8,若按此方案设

计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时/AOB=.

专题突破练9三角恒等变换与解三角形

IC解析设内角A,BC所对的边分别为α也c.

依题意,三角形ABC是钝角三角形,c=2,sinB=MSAABC=%csinB=苧,解得a=∖,a<c,

所以A为锐角.当C为钝角时,cosB=√l-sin2F=ɪ∕j=√α2+c2-2accosB=代,此时cos

a2c2

c=↑^h=黑l=°c=3不符合题意•

2ab2×1×√32

当B为钝角时,cosB=Hl-Sin2B=-g,故b=y∣dz+c2-2ac∙cosB=夕,此时cos

C=殁;=⅛g⅛=孚>°，所以C为锐角，符合题意，故AC=5

sin(α+竽)-1cosα-l

2.A解析因为

sin(3π-α)Sina

由于cosα=l-2sin2j,sina=2sinɪcosj,

斫以CoSa-I_-2sin2I_a_1

所以飞天一与耐Ta%一行

3.C解析由正弦定理号=刍=-⅛=2Λ

SIrL4SlnBSinC

得sinA=摄,sinfiɪʌsinC脸,

QΠ2∆,∩h2□Γ2

代入3asinA+38sin8+4asinB=6/?sin2C,#—+—+—=6Rr—ɔ=vF,

1∖ΔιΓ∖Lt1\4/^

化简得3<72+3⅛2+4^=3c2,SPa2+b1-c1=-^ab,

4CIb9

所以cosC=abcɔ___乙

^2tabh~2ab~~3

2

故sinAsinβ-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC=--.

4A⅛2⅛cl-sinl8o_l-sinl8o_l-sinl8o_l-sinl8o

2o2o2o

4.AW4π8n2sin218θ-8siM180(4-4siM180)-8sin18×4cos18-8sin36-

l-sinl8o_l-sinl8o_1

8x1-8.72。=4(l-cos72°)=4*

5.B解析设AC=X(X>0),贝IJ由已知可得AB=3x,BE=BC=2x,BD=--"=3v⅞所以

t3∏Z.Λz√Drw

_r7Q

QE=Bo-8E=3√Ix-2x=79,解得X=段建《24.7,所以楼高AB≈3×24.7=74.l≈74(m).

6.C解析由cosa+sin2夕",知2cosɑ-eos24=2①,因为sinα+sin夕COS夕=§,所以2sin

a+sin2夕=|②,将①②两个等式平方相加得4+l∙4cos(24+[)=4+*解得cos(α+2y?)=^.

7.D解析根据题意,△aP2。的三个角和三条边均可以求出,①中,而瑞？

-SinzDCP1

故C添黑等,故①可以求出S③与①条件等价.②中,在M收中,若猊=

PlC故PC=曙舒，在APCO中，利用余弦定理求解6即可∙

SinNPIP2。

8.C解析设∕BDE=8(0<e<60°),⅛∆BDE中,由正弦定理得DE=

SIn(INU-U)

sing+”则SABDE=EDE∙DBsm”工访(60°+，),

4Osin60°√3

在AADF中,NFD4=60°由正弦定理得OF=

sin(60o+0)-sin(60o+"

cInlr人八•衣八。小√3sιn(60-θ)

5∆ADF=-Z)F∙AZ)sιn(60-夕)二•“小∣》，

2sιn(60+0)

√¾in(60°-6)_凤孚CoSe十一访8

√3sin0

所以SΔBDE+SΔADFo+o=V3,

sin(60+6)sin(60+0)竽CoSe+%in6

所以四边形CFDE的面积为S^ABC-(S^ADF+S^BDE)=4√3-√3=3√3.

9.BC角平析：％-2。+4公也2竽=0,

.∙.b-2a+4tzsin2ɑ-亨)=0,

・7・2。+4优0$2亨=0,・：62。+4。・I+；。：'=。,

∙*+2αcosC=0,ZcosCVo,•：角C一定为钝角,A错误；

b+2.cosC=OnA+2Q∙A=0=>a1+2b2-c2=0,B正确；

2ab

0+2αcosC=0≠>sinB+2sinAcosC=0≠>3sinAcosC+cosAsinC=0=>3tanA÷tanC=0,C

正确；

tanB=-tan(A+O=吗r*=产"=——噂经检验，，=，，取得到D错

tan?ltanC-l-3tanzΛ-l*∏4.13

StanA十面百

误,综上选BC

10.V3解析设内角A,B,C所对的边分别为〃力,c,则AB=2=c,S^ABc=^acsinB=^×a×2×

y=2√3,M^⅜α=4,

ɪ

**b2=a2+c2-2accosB=16+4-2×4×2×-=12,

.>=2√5,∙∙∙等一=学

sinec2

11.-4解析因为tan仇tan(}e)是方程x2+0r∙3=0的两个根,所以tan8+tanC-e)=∙α,tan

tan0+tang

2-(r)-1⅛

例ang=∙3,/=6f-4×(-3)20,所以tan^=tan[Θ+Q-0)]一l-tanΘtan⅛-0)^^4^^。一一4

12.1解析由余弦定理及题意可得屋=从+°2_28比05A=2∕+c2=4,所以COSA=-S,则Sin

A=李,则AABC的面积S=‰∏A)单!=噂f≤空铲

12

ZcZ4IZ2431

13.

≡解析由题意可知,四边形ABPQ为等腰梯形.如图,连接OP,过点。作。M_L。P垂足

为点M,交AB于点C,则OCLA氏。M平分NAoB,M为线段PQ的中点.设NAOC=O,

则ΛB=20sin00C=IoCOSθ,

设AQ=QP=8P=x,过点Q作QE_LAB垂足为点民过点尸作P尸，AB垂足为点E因

为NPBA=NQAB=60°,所以AE=BF=^x,CM=PF=^-x,EF=QP=x,^以AB=2x,以

AB=20Sin8=2x,即X=IOsin所以OM=OC+CM=IOCOS^+ɪʌ-=IOcos9+5V5sin所以

OP-=OM2+MP-=(1Ocos0+5V3sin0)2+(5sin^)2=1OOcos2^+75sin20+1OθV3sin8cos

^+25sin2^=100+50√3sin26»,

因为sin20∈[-l,l],所以当Sin2。=1即时,OP?最大,也就是OP最长,此时N

AOB^.

专题突破练10三角函数与解三角形解答题

1.(2021•山东滨州期中)已知向量a=(cosx,sinx),b=(4√3sinx,4sin%),若ι∕(x)=a∙(a+b).

(1)求人犬)的单调递减区间；

(2)求兀V)在区间上的最值.

2.

(2021•北京丰台区模拟)如图,MBC中,/8=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MML

ACSC=√6,W=√3.

⑴求/A;

⑵求BM.

3.

BDC

（2021•山东潍坊二模）如图,。为MBC中BC边上一点,NB=60°,A8=4∕C=4√1给出如下三种数值方

案：

①W=倔②W=6；③4O=2√7.

判断上述三种方案所对应的AABO的个数,并求唯一时,8。的长.

4.（2021•海南海口月考）在"3C中,已知好,c分别是角A,B,C的对边力CoSC+ccos8=4,Bq请再在下

列三个条件:②“+b+c）（sinA+sinβ-sinC）=3αsinB;②fe=4∙∖②③（∕5csinB=I）CoSC中,任意选择一"↑∖添

加到题目的条件中,求"BC的面积.

（2021•辽宁大连一模）如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种

工具:测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）.

（1）请你利用准备好的工具（可不全使用）,设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告；

注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释

说明,并给出你最后的计算公式.

⑵该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑

物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.

6.(2021•湖北武汉3月质检)在AABC中,它的内角A,BC的对边分别为α,b,c,且B=y,⅛=√6.

⑴若cosAcosC=，求ZkABC的面积；

(2)试问:+ɪ=!能否成立?若能成立,求此时"8C的周长;若不能成立,请说明理由.

7.(2021∙湖南长沙模拟)在MBC中,内角A,8,C所对的边分别为9,c,且"鬻=Sin8-SinA

(1)求角A;

⑵若α=2,求氤+1⅛的最小直

8.

(2021•江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,0是圆心,且OCJ_AB.在OC上

有一座观赏亭。,其中NAQC号计划在能上再建一座观赏亭P,记NPoB=θ(θ<θ<^).

⑴当6»专时,求NOP。的大小；

(2)当NOP0越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求

sinθ的值.

专题突破练10三角函数与解三角形解答题

[解⅛TX%)=a∙(a+b)=∣a∣2+a∙b=1+4√3sinXCosx+4sin2x=1+2√r3sin2x+4∙

1-cθs2x-2^∖∕3sin2x-2cos2x+3=4sin(2%-£)+3.

(1)由1+2EW2x[≤警+2Zτr∕EZ),解得g+EWx≤]+E(攵£Z),

所以加)的单调递减区间是r+kπ样+kπ](A∈Z).

(2)由于xEW所以2r-∕e[^i,⅞l,

故当2x3=抑Xq时,函数外)取最大值7;

当2x[=3即X=O时,函数y（x）取最小值1.

OO

2.

解（1）如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MNtAC,

所以MC=MA.

在RSAMN中,MA=黑=盖,所以MC=芸•

在^MBC中,由正弦定理可得孤=器厅,而NBMC=2NA,

S1∏DSlnZ.DML

所以√6即二^=———,

sin24'SinA孚2sin4cos4

1

所以COSA=5,故NA=60°.

(2)由(1)知MC=MA=S篇「=2,NBMC=2ZΛ=120o.

在ABCM中,由余弦定理得BC2=BΛ∕2+MC2-2BM∙MCCOSNBMC,所以

2

(√6)=BΛ∕2+22-2BM∙2∙COS120°,

解得BM=K-1(负值舍去).

3.解过点A作AELBC,垂足为点E(图略),则AE=4∙sin60o=2√3,

当AO=后时,AD<AE,所以方案①对应AABO无解，

当AO=V正时,AE<AO<AB<AC,所以方案②对应AABQ有两解，

当AO=2√7时AB<A0<AC,所以方案③对应AABO只有一解.

由方案③知AO=2√7设BD=x(x>O),

所以在AABD中由余弦定理得(2√V)2=42+χ2-2x4xχxcos60°,即x2-4x-12=0,解得

x=6或X=-2(舍去).

又因为在AABC中易得8C=8,3O=6<3C,符合题意，

所以8。的长为6.

4.解若选择条件①,则(a+。+C)(SinA+sinB-SinC)=3asinB,

由正弦定理可得(a+0+c)(a+b-c)=3a8所以(a+0)2-c2=3a"整理得a2+b2-c2=ab,^↑

cosC=T,故C=^.

又吟,所以A=WV=4

又因为/?COSC+CCos3二4,所以b∙aɛ+c,ɑɔɛ'b=4,a=4.

ZabZac

由正弦定理可得急=焉

4sin

七2jas∖nBzA,B、、

所以公诉=M=4(存1),

sιn12

故AABC的面积S=%bsinC=；×4×4(√3-1)×sin^=4(3-√3).

若选择条件②,则∕7=4√2.

又因为匕CoSC+ccos3=4,所以b∙a+c,""=4,即a=4.

2abIac

又吟,所以由正弦定理可彳⅝⅛=扁，

所以sinA=誓=鬻=最所以Aq或A专

由于。＞α,所以妙,因此A专不合题意舍去,故A=IMC=K-I-I=⅛

故AABC的面积S=^absinC=∣×4×4√2×sin∣^=4(√3+l).

若选择条件③,因为bcosC+ccosB=4,

所以-、-所以

82ab+c2ac=4,Q=4.

因为V5csinB=ACOSC,所以巡SinCsinB=SinBcosC,所以tanC=g于是CW,从而

ɔO

ππ7π

A4=π,I=T?

所以由正弦定理可得急=导，

所以喈≡=簧=g）,

故A4BC的面积S=⅛MinC=^×4×4（√3-1）×sin≡=4（√3-1）.

ZZO

5.解（1）选用测角仪和米尺,如图所示.

①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上；

②在HC两点用测角仪测得A的仰角分别为α∕,HG=α,即CD=ɑ测得测角仪器的

高是〃;

③（方法一）在AACO中，由正弦定理,得黑=品,

所以心能=器,

在Rt∆ΛCE中,有AE=ACSing黑黑^

所以建筑物的高度AB=AE+h器普九

ΛC

（方法二）在RtAADE中QE=言,

在RSACE中CE=端.

的A"

所以mCD—-DE-CE--一A丽E_—A-E-(商tan砌0-t•an一a)，

αtanatan∕?

所以AE二

tan0-tana'

所以建筑物的高度AB=AE+/?=鬻警+"

tanp-tana

(2)①测量工具问题；

②两次测量时位置的间距差；

③用身高代替测角仪的高度.

2τrIT1

6.解(1)由A+C=-,cos(A+Q=cosAcosC-sinAsinACoSC-sinAsinC.

ɔ1

因为cosAcosC=三,所以sinAsinC=τ.

36

因为==7=粤=2V∑,所以tz=2V2sinA,c=2y∕2sinC.

sιn4sine√3

~2

所以SAABC=W∙2√2sinA∙2√∑sinC∙sinB=4sinA∙sinβsinC=4×ɪ×=

Z6Z3

(2)假设能成立,所以α+c="c.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos民所以6=a2+c2-^-ac.

所以(a+c)2-4c=6,所以(4c)2-αC・6=0,所以ac=3或4c=∙2(舍去),此时a+c=ac=3.

不满足α+c22∖∕HF,所以:+ɪ=1不成立.

7.解(1)由“'：［；nC=sinB-sinA,可得S-C)SinC=(sinB-sinA)(b+a),

由正弦定理得S∙c)c=S∙α)3+0),即b2^-c2-a1=bc,

由余弦定理,得COSA='If-Q2=i

Zbc2

因为0<A<π,可得A=I

(2)由⑴知Λ=⅛⅛∆ABC的外接圆的半径为RR>O),可得2R=-^~=

*5Sl∏∕iɔ

由余弦定理得a1=h2+c2-2hccosA=b2+c2-hc^bc,

即bc<∕=4,当且仅当b=c=2时取等号，

-11cosBcosCCOSBSinC+sin8cosCSin(B+C)SinA

7------+-------=-------+--------

IanB---tan(?s∖nB-----SinCSinBSinCSinFsinCSinBsinC

2黑焉黑C=誓=攀≥甥=竽，所以焉+焉的最小值为竽・

8.解⑴在△POQ中,因为NAQe=竽,所以NAQO哼

又OA=OB=3,所以0Q=5

设NoPQ=α,则ZPQ0=^-a+θ.

由正弦定理,得.//皿、=鉴,即√^sinα=cos(α-8),

s1n(2-α+e)Slna

整理得tanα=7f*淇中6∈(0,歌

当时,tanα="因为α∈(0,胃所以α=[.

ɔɔ∖LJO

故当eW时,NOPQ=J

ɔO

(2)设购=黑，6e(°，》

贝1]八夕)_-Sine(√3-sin8)+cos26_l-√3sin0

(√3-sin0)2(6-SinO)?

令F(G)=O,得sin8=当记锐角Go满足sin^o=y,

当o<e<%时/(。)>0；当仇<。<轲/(。)<0,

所以犬。)在e=%处取得极大值亦即最大值.

由(1)可知tanaΜ。)>。,则α∈(0,习,又y=tana单调递增,则当tana取最大值时,α

也取得最大值.

故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sinθ=^.

专题过关检测二三角函数与解三角形

一,选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.

1.(2021.江西临川期中)已知角6的终边经过点P(√∑M),若6=5,则α=()

A.√6BqC.-√6D.4

2.(2021•北京房山区一模)将函数√U)=sin2x的图象向左平移弓个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则

函数g(x)的图象的一条对称轴方程为()

A,X=-2BjC'=：C∕=4D,X=7

6IZIZ6

3.(2021.北京西城区一模)在MBC中,内角A,B,C所对的边分别为4,6,c,且C=60o,α+2b=8,sin4=6sin

B,则c=()

A.√35B.√31C.6D.5

4.(2021•山西吕梁一模)已知函数y(x)=Asin(0x+3(4>0,ω>0,∣<p∣<部分图象如图所示,则

唱=()

C.-√3D.√3

5.（2021•北京海淀区模拟）已知SinG-α）=∣+cosα,则sin（2a+芥）=（）

(2021.福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理,某消毒装备的设计如图

所示,PQ为路面为消毒设备的高,BC为喷杆,A8UQ,NABC号,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷

射角NoeEq,已知AB=2,BC=I,则消毒水喷洒在路面上的宽度OE的最小值为()

A.5√2-5B.5√2C.竽D.5√3

7.（2021•浙江宁波模拟）在MBC中,“tanAtan5>1”是=ABC为钝角三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.（2021•安徽淮北一模）函数於）=2Sin（X+J+cosIr的最大值为（）

A.l+√2B.季

C.2√2D.3

二、选择题:本题共4小题.每小题5分洪20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9在AABC中,角A,&C所对的边分别为α∕,c,且3+力.∙（α+c）.∙（b+c）=9/10.Tl,则下列结论正确的

是（）

A.sinAZsinB/sinC=4/5.,6

BZABC是钝角三角形

CZABC的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则AABC的外接圆半径R为苧

10.（2021•江苏苏州月考）已知函数段）=（SinΛ+√3COSX）2,5I∣J（）

Ay（X）在区间[o可上单调递增

By（X）的图象关于点（q,o）对称

CzU）的最小正周期为π

DKO的值域为10,4]

11.（2021•辽宁沈阳二模）关于段）=sinx∙cosIx的说法正确的为（）

A.∀X∈R√（-X）√（Λ）=0

B.M≠0,使得於+Q=∕U）

CyU）在定义域内有偶数个零点

D.Vx∈R√（π-x）∙√（x）=0

12.（2021•山东潍坊统考）在"BC中,内角A,8,C所对的边分别为α,6,c,若r½,Jτ,C依次成等差数

列,则下列结论不一定成立的是（）

A.α,8,c依次成等差数列

B.√Ξ,√K,VE依次成等差数列

CH,"》依次成等差数列

Dd力3/依次成等差数列

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.（2021•安徽合肥期中）已知CoS（α+第二-坐则Sin2a=---------

14.（2021.北京东城区一模）已知函数於）=ASin（2x+9XA>0,阳其中X和於）部分对应值如下表

所示：

-πππ

XTro-----

_2_工勺2_

^22√3^2226

则A=.

15.（2021•广东茂名二模）在矩形ABCD内（包括边界）有E,F两点,其中AB=120cm,AF=100√3

cm,EF=80√3cm,FC=60√3cm,/AEF=NCFE=60。，则该矩形ABCD的面积为co?』答案

如有根号可保留）

16.（2021∙湖南长郡中学二模）如图,某湖有一半径为IOOm的半圆形岸边,现决定在圆心。处设立一个

水文监测中心（大小忽略不计）,在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据

更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,N

BAC=90°.四边形QACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设/AOB=。,则“直接监测覆盖区域”

面积的最大值为m2.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2021•江西上饶一模）己知於）=2CoSx∙sin'x+三-V3sin2Λ+sinXCOS%.

（1）求函数凡r）的单调递增区间；

⑵若χ≡（-：5），求y=∙∕U）的值域

18.（12分）（2021•河北石家庄一模）在MBC中,内角A,B,C的对边分别为4,6,c,已知2a-b=2ccosB.

⑴求角C-

⑵若α=2Q是AC的中点,BC=√5,求边c.

19.（12分）（2021•广东韶关一模）在gbosC+（cosΛ-√3sinA）cosB=O;②bos2B-3cos（A+O=1;@bcos

C+ycsinB=α这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.

问题:在AABC中,角4,8,（7所对的边分别为“力£,若”+‘=1,,求角B和6的最小值.

20.

（12分）（2021•山东枣庄二模）已知函数/）=sin（s+9）＜。＞0,0＜夕＜?的部分图象如图所

示的书⑶=。

（1）求兀¥）的解析式；

⑵在锐角AABC中,若A＞B√（写*）=|,求CoS竽,并证明SinA＞尊

21.（12分）

（2021.福建宁德期末）在股票市场上,投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线的变化情况来

决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建

立平面直角坐标系。孙如图所示,则股价y（单位:元）和时间x（单位:天）的关系在A8C段可近似地用函

数y=αsin（0x+9）+伙0<9<兀）来描述,从C点走到今天的。点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑

底结束的标志,且D点和C点正好关于直线/:x=34对称.老张预计这只股票未来的走势可用曲线DE

描述,这里OE段与ABC段关于直线/对称,EF段是股价延续OE段的趋势（规律）走到这波上升行情

的最高点E现在老张决定取点40,22）,点8（12,19）,点£»（44,16）来确定函数解析式中的常数a,b,ω,φ,

并且求得

（1）请你帮老张算出“力,小并回答股价什么时候见顶（即求点尸的横坐标）；

（2）老张如能在今天以点。处的价格买入该股票3OOo股,到见顶处点尸的价格全部卖出,不计其他费

用,这次操作他能赚多少元？

22.(12分)(2021∙深圳实验学校月考)已知函数段)=√5sin((υx+9)+2sin2(美必)-l(<υ>O,O<0<π)为奇函

数,且#x)图象的相邻两对称轴间的距离为5

(1)当XGK用时,求阿的单调递减区间；

(2)将函数於)的图象向右平移於单位长度,再把横坐标缩小为原来的«纵坐标不变),得到函数y=g(x)

的图象,当χG卜工,弓时,求函数g(x)的值域；

(3)对于第⑵问中的函数g(x),记方程g(x)=g在区间K,阳上的根从小到大依次为XI/2,∙∙∙W〃,试确Ztr”

的值,并求Xi+2%2+2X3÷∙∙∙+2XW.I+X,J的值.

专题过关检测二三角函数与解三角形

1.C解析由题意,角。的终边经过点P(√∑,α),可得IOPI=√F"(O为坐标原点),又由

e=T，根据三角函数的定义,可得cos(q)=-ɪ=去且α<0,解得β=-√6.

2.C解析将函数√(x)=sin2x的图象向左平移v个单位长度,得到y=g(x)=sin∣2(X+

朋=sin(2x+*令2片玲=E+],k∈Z,解得X=竽+今A∈Z,结合四个选项可知,函数g(x)

的图象的一条对称轴方程为X=白.

3.B解析因为SinA=6sin氏所以α=6b,又α+2b=8,所以α=6,b=l,因为C=60°,所以

c1=a2+b1-IabcosC,即c2=62+12.2x6xlX去解得c=√^I.

4.D解析由题中函数/(X)=ASin(S+S)(A>0∕O>0,|夕|<，的部分图象知,4=2,3二手-

年=3兀,所以7=4兀=空所以ω=∣.

ɔ(i)L

又1等)=2SinG×ɪ+3)=2,可得.X争+s=2Zπ+],1∈Z,解得φ=2kπ+^,k≡Z.

:∙∣S∣<>:Sq,.√(x)=2SinGX+£).

⅛∕(f)=2sin(∣×f+≡)=2si∏≡=√3.

5.D角星析由sin(3-ɑ)=∙^+cos1可得Sin二∙cosɑ-eos5∙sina=i+cosɑ,ʌɪeosα-堂Sin

\6/3