子集、交集、并集、补集之间的关系式-2023年高考数学高效速解突破技巧含答案

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式-

【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突

破技巧

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式

一、结论

1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：

Nq8=Zn8=〃=/U8=8=〃nG8=0=GZU8=/（其中/为全集）

（1）当/=8时，显然成立

（2）当青8时，声〃〃图如图所示，结论正确.

2、子集个数问题：若一个集合/含有“（〃wND个元素，则集合/的子集有2"个，非空子集有2"-1

个.

真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

理解Z的子集有2"个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则”个元素共有2”种选

择，该结论需要掌握并会灵活应用.

二、典型例题（高考真题+高考模拟）

例题1.（2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测）设集合〃={XWZ|X2<100<2、},则M的所有子集的

个数为（）

A.3B.4C.8D.16

例题2.(2022•吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数/㈤」制:；)的定义域为

集合A,关于x的不等式“x-2a+140(“w0)的解集为8.

⑴当”1时，求(qZ)U8；

(2)若是xeQZ的充分条件，求实数〃的取值范围.

例题3.(2022•江西•校联考模拟预测)设全集U=R,集合/={X|2X2-9X+4W0},

8={X[2-QVX<Q}.

⑴当a=2时，求。八406)；

(2)若4口8=力，求实数。的取值范围.

例题4.(2022•山东济宁•统考模拟预测)已知集合4={x|a<x<a+3},B={x\x<-2^x>6}.

(1)若4c6=0,求。的取值范围；

(2)若4uB=B,求。的取值范围.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023•广东深圳•统考一模）满足等式{0,1}UX={X€R,=X}的集合“共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2023•内蒙古赤峰,统考模拟预测）已知集合月=卜：<11,8=k.-2》-34（）},则（）

A.{x|l<x<3|B.{邓4x43或-14x<0}

C.1x|-l<x<0}D,卜口<x43或-14x<O}

3.（2023•全国•模拟预测）集合A/={x|x2-4x+340,xeR},N={x|ox-1>0,xeZ},若集合McN只有

一个子集，则。e（）

A.（1,+℃）B.,+°ojC.（―8,§D.（―℃>,1]

4.（2023・湖南•模拟预测）已知集合/=卜|"2<工<4+3},8=何（》-1加-4）>0},若NuB=R,则a的

取值范围是（）

A.（-%1）B.（1,3）C.[1,3]D.[3,+a>）

5.（2023,甘肃•模拟预测）已知全集。=R,集合M={X|-24X43},N={x\x<-2^x>4},那么集合

（C。M）c（CuN）等于

A.{x13<x<4}B.{x|x<>4}C.{x|3<x<4}D.{x|-l<x<3}

6.（2022•湖南•校联考模拟预测）已知非空集合/={x|/（x）Wa},5={x"（/（x））4a},aeR,其中

/（力=》2-3工+3,若满足5U人贝心的取值范围为（）

"21A1]3A

A.[3,+8）B.（-ao,l]u[3,+oo）C.—,+<»ID.—,+<»I

7.（2022•陕西•统考模拟预测）已知集合/={x|Y-3x-4=0},B={x\a<x<a1},若Nc8=0,则实

数a的取值范围是（）

A.B.[4,+a>）C.（-oo,-l）u（2,4）D.[-l,2]o[4,+co）

8.（2022•江苏南京•南京市第一中学校考三模）非空集合力="€"|0<工<3},

B={yEN\y2-my+\<0,meR},A[}B=A{3B,则实数的取值范围为（）

9.（2022•山西朔州•统考三模）己知集合[={xeZ,<3},B=^xa<x<a+^,若/cB有2个元素，

则实数。的取值范围是（）

A.[I,—）B.1却卜[T，0）51,+8）D.1

10.（2022•江苏盐城・江苏省滨海中学校考模拟预测）已知集合上{2,-2},S=（x|x2-ax+4=0},若

=则实数。满足（）

A.{a|-4<a<4}B.{a\-2<a<2\C.{-4,4}D.{a\-4<a<4]

11.（2022•安徽合肥•合肥市第八中学校考模拟预测）己知集合4={xlX2-3X+2=0},

3={X[0<X<6,X€N},则满足条件A口Cq8的集合C的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

12.（2022・陕西渭南•统考一模）已知集合/={X|X2-X-1240},B={x\2m-l<x<m+i]=B,则

实数机的取值范围为（）

A.[-1,2）B.[-1,3]C.[-2,+8）D.[-1,+8）

二、填空题

13.（2023・上海静安•统考一模）己知全集为实数集R,集合“=卜|、422"256},

N={x|logs（x2-4x）>1},则kcN=.

14.（2023•上海闵行・上海市校考模拟预测）设已知集合/={1,3,。},8={1,/-。+1},且8^/1,

则".

15.（2022•上海金山•统考一模）若集合4={（x））|（x+y）2+x+y-240},

B={（x,^）|（x-«/+（jv-2«-1）2<a2-1},且ZC8W0,则实数0的取值范围是.

三、解答题

16.（2022•河南郑州•郑州外国语学校校联考模拟预测）已知集合

A—>1|,fl=|x||2x-13|<7|,C=<a}.

⑴求山民（露加8；

⑵若4CCH0,求。的取值范围.

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式

一、结论

1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：

418=Zn3=/=NU8=8=/nG8=0=GZU8=/（其中/为全集）

（1）当/=8时，显然成立

（2）当”8时，ue〃”图如图所示，结论正确.

2、子集个数问题：若一个集合/含有〃（“wND个元素，则集合/的子集有2"个，非空子集有2”-1

个.

真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

理解Z的子集有2"个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则〃个元素共有2”种选

择，该结论需要掌握并会灵活应用.

二、典型例题（高考真题+高考模拟）

例题1.（2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测）设集合〃={XWZ|X2<100<2、},则/的所有子集的

个数为（）

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【详解】解：解不等式偏<100得-10<x<10,

解不等式100<2,得才>1。82100,

67

i^log22<log2100<log22,

2V

所以，M=[x&7\x<100<2}={XGZ|log2100<x<10}={7,8,9},

所以，川的所有子集的个数为2?=8个.

故选：C

【反思】本题考查子集的概念，不等式.本题在求集合个数时，先求出集合〃中的元素个数，再根据集合

元素的个数利用公式子集的个数为2"个得到结论.

例题2.(2022•吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数/(X)」第二：)的定义域为

集合A,关于x的不等式以-2a+140(“w0)的解集为8.

⑴当”1时，求低力U8；

(2)若是xeQZ的充分条件，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴(4力U8={小41或x23}.

(2)[T,0)U(0,；

“、logd(3—x)f3—x>0

(1)解：要使函数〃x)=片/有意义,则°,C，解得-2<x<3,

，2x+4[2x+4>0

所以“={x|-2<x<3},所以44={x|x4-2或x23},

iCRA

当a=l时,5={x|x<l},

所以(Q/"8={x|x41或x23}.

B

c#___________________________CRA

(2)解：由⑴得"={x|-2<x<3},Q/={x|xW-2或x23}

因为是的充分条件，则8=4工，

①当4>0时，5=jx|x<2—]=则2—<—2,所以0<a4：：

aIa4

-2

②当"0时，8=,则2-。1之3,所以—14口<0；

综上所述，实数0的取值范围是[T,0)U(0，5.

【反思】对于本例第1问，可以通过借助数轴，画出对应范围，结合图形求交集，并集，补集，注意端点

处是实心还是对应空心.

对于本例第2问，由于集合8表示ax-2a+140(ax0)的解集，需要讨论①。〉0,②。<0,再结合数轴求

解.

例题3.(2022•江西•校联考模拟预测)设全集t/=R,集合/={X|2X2-9X+440},

B={x[2-a<x<a}.

⑴当4=2时，求C0(Zu8)；

(2)若4口8=/，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴(_8,0]34，+8)

⑵(4,+oo)

⑴解：当“=2时，8={x[0<x<2},A=^x\2x2-9x+4<0}=Ix|(x-4)(2x-l)<0|=<x<41

所以/U8=(O,4]

又全集U=R

所以「,(1118)=(-哂0]U(4,+8)

(2)解：由(1)知，4=卜B=[y\2-a<x<a\

由/口8=4可得：A=B,则

B

2-a

2-〃<5,解得:

a>4

所以实数。的取值范围为：a«4,+oo)

【反思】对于本例第2问，由=/=4=利用数轴得到变量的取值范围.

例题4.(2022•山东济宁•统考模拟预测)已知集合Z={xla4x4a+3},8={x|x4-2或xN6}.

(1)若4cB=0,求。的取值范围；

⑵若AuB=B,求a的取值范围.

【答案】(1)-2<a<3；(2)a<-5^a>6.

【详解】(1)因为集合4={x|aVx4a+3},8={x|x4-2或x»6},且/c8=0,

(a>—2

所以、，，解得-2<a<3；

a+3<6

£7+36

(2)因为4口8=8,所以4勺8,

因为。<。+3恒成立，所以/W0,

所以。+32或。26,

解得aW-5或a26.

BAB

a+3

【反思】本例第2问中，AuB=B=A=B,解题时注意讨论①/=0,②.再借助数轴解题.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023广东深圳・统考一模）满足等式{0,1}。X=卜€昨3=》}的集合、共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】解：方程的实数根有x=O,x=l,x=-l,解集构成的集合为{0,1,7},

即{0,1}UX={0,1,-1},则符合该等式的集合丫为万={-1},X={0,l},X={0,-l},X={0,l,-l},

故这样的集合X共有4个.

故选：D.

2.（2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测）已知集合力=卜,<1}，8=卜卜2-2》-3叫，则（）

A.{x|l<x<3|B.{x“4x43或-14x<0}

C.1x|-l<x<0|D.{x[l<x43或-14x<0}

【答案】D

[详解】集合A=卜上<11=卜,（0或x〉l},5={X|X2-2X-3<0）={X|-1<X<3）.

所以/仆8={x[l<x43或-14x<0}.

故选：D

3.（2023,全国•模拟预测）集合M={x|x2_4x+340,xeR},N={x|依-1>O,xeZ},若集合McN只有

一个子集，则“e（）

A.（1,+8）B.（；，+8）C.18,gD.

【答案】C

【详解】由"={x|x?-4X+340,XGR}得A/={x|14x43},

又汽={x|ax-l>O,xeZ}且集合McN只有一个子集，则A/cN=0.

当。=0时，集合汽=0,则满足McN=0,满足题意；

当。<0时，集合N={x|ax-l>O,xeZ}={x|x<：,xez},则满足McN=0,满足题意；

当”>0时，集合N={x|ax-1>0,xeZ}={x|x>1,xez),若满足A/cN=0,则：N3,0<a<1.

综上，则有

故选：C

4.(2023•湖南•模拟预测)已知集合/=卜,-2<工<.+3},8=卜|(》-1)口-4)>0},若AuB=R,则”的

取值范围是()

A.(-8,1)B.(1,3)C.[1,3]D.[3,”)

【答案】B

[详解]因为8=卜卜_1)(》_4)>0}=,k<]或x>4},A=[x\a-2<x<a+3]

又Zu8=R,

ftz-2<1

所以只需{,.解得

[a+3>4

故选：B.

5.(2023•甘肃•模拟预测)已知全集。=1<,集合M=*|-24x43},N={x\x<-2^x>4}9那么集合

C，M)c(CuN)等于

A.{x13<x<4}B.{x|x<>4}C.{x13<x<4}D.{x|-l<x<3}

【答案】A

【详解】={x|x<-2或x>3},C"N={x|-24x44},

.•.(Ct,M)n(Cy?/)={x|3<x<4}.

故选A.

6.(2022•湖南♦校联考模拟预测)已知非空集合/={x|/(x)4a},8={x]/(/(x))4a},aeR,其中

/(x)=f—3x+3,若满足8=/,则a的取值范围为()

A.[3,+00)B.(-a>,l]u[3,+oo)C.得收)D.^,+00]

【答案】A

【详解】A={x\x2-3x+3<a],

因为A非空，故可设4={x|再4x4%}，则x”当为方程/-3x+3-a=0的两个实数根.

设g(x)=x2-3x+3-a,

又8={x|X1</(x)<x,}c{x|x1<%<%,),

A=9-4(3-a)>0

3

因为8u4，故々4a,所以，a>—，解得a>3.

2

a2-3a-^3-a>0

故选：A.

7.(2022•陕西•统考模拟预测)已知集合/={x|》2-3x-4=0),B={x\a<x<a2},若力c8=0,则实

数a的取值范围是()

A.(-oo,-l]B.[4,+oo)C.(-oo,-l)u(2,4)D.[-l,2]u[4,+oo)

【答案】D

【详解】解:由题知4={X|X2-3X-4=0}={-I,4},

因为4c3=0,

2

所以，当8=k|4<、<。2}=0时，a>af解得OWaWl,

a2<4,

(q>4

当3={x[a<x<a2}#0时，心-1或J"〉/解得ae[T0)U(l,2]U[4,+8),

a2>a1

综上，实数a的取值范围是11,2]口[4,+8).

故选：D

8.(2022•江苏南京•南京市第一中学校考三模)非空集合力={xeN[0<x<3},

B={yGN\y2-my+\<0,meR},/仆8=/118,则实数”?的取值范围为()

(510121712101(517'

123JI4JI3J124J

【答案】A

【详解】解：由题知/={xeN|0<x<3}={l,2},

因为Zn8=/U8,所以/=8,

所以8={yeN一叼+1<0,meR}={1,2},

故令函数/(x)=x2-加x+1,

所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得:

7(3)>0[10-3*0

</(2)<0,即5-2加<0,解得9<加工12,

/(1)<02-w<0

所以，实数”?的取值范围为他与.

故选：A

9.（2022•山西朔州・统考三模）已知集合力={xeZ,<3},8=卜<x<a+g},若有2个元素,

则实数。的取值范围是（）

B.1~1'。卜.’T，0)D(L+8)D.

【答案】D

【详解】解：因为工=卜€2,2<3}={_1,0/},B=Ua<x<a+^

a<-\-1<<0

若Zc8有2个元素，则〈0<“+乜1或'3।，解得一二<。<一1或一不<。<0，

a+->l22

22

所以，实数”的取值范围是

故选：D.

10.（2022•江苏盐城・江苏省滨海中学校考模拟预测）已知集合上任，-2},5=1,7+4=0},若

=则实数。满足（）

A.{a|-4<a<4}B.{a\-2<a<2\C.{-4,4}D.{fl|-4<a<4}

【答案】D

【详解】因为/口8=/，所以8。4,当5=0时，△=/一16<0，即-4<a<4,满足题意；

当3x0时，若△=/-16=0，则a=-4或4,当a=-4时，B={-!],满足题意；当。=4时，8={2},

满足题意；

若公=片-16>0，贝以2,2是方程/-办+4=0的两根，显然-2x2=-4x4,故不合题意,

综上：实数a满足{a|-44a44}.

故选：D

11.（2022•安徽合肥•合肥市第八中学校考模拟预测）已知集合/={x|f-3x+2=0},

B={X\0<X<6,XGN},则满足条件AiC=8的集合C的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【详解】因为“={x|X2-3X+2=0}={1,2},8={x|0<x<6,xeN}={l,2,3,4,5},

且AC三B

所以集合C的个数为2,-1=7

故选：C

12.（2022•陕西渭南•统考口模）已知集合/={X|X2-X-12V0},5={x|2m-l<x<m+l}.且“模8=8,则

实数机的取值范围为（）

A.[-1,2）B.[-1,3]C.[-2,+8）D.[-1,+8）

【答案】D

【详解】由》2-1240,得-34x44.

即/=[-3,4].

由力=即

当夕=。时，满足条件，则2w-1>m+1解得m>2.

〃？+1>2ni-1

当5工。时，要使得8=4,则2加一12-3.

+1<4

解得：一1«加<2.

综上满足条件的用的范围是：〃?之T.

故选：D.

二、填空题

13.（2023•上海静安・统考一模）已知全集为实数集R,集合22*42561,

2

Af={x|log5（x-4x）>1},则而cN=.

【答案】（-8,-2）=（5,+8）

【详解】不等式2422,4256可整理为y442获42%所以-442x48,解得-24x44,所以

M={x\-2<x<4|,M={x[x<-2或x>4},

不等式1。85卜2-4耳>1可整理为1。85卜2—4》）>1。855,所以X2-4X>5,HP（x-5）（x+l）>0,解得x<-l或

x>5,所以N={x[x<-1或x>5},A/nN=（-8,-2）U（5,+8）.

故答案为：（-00,-2）U（5,+00）,

14.（2023・上海闵行・上海校考模拟预测）设已知集合力={1,3,48={1,“2-。+1},且Bq/,

贝.

【答案】-1或2

【详解】丁8q4，/一。+1=3或/一〃+1=〃.

①由T—a+1=3得〃2—。—2=0解得。=—1或。=2,当〃=—1时，[={1,3,—1},5={1,3},满足8=4,

当。=2