2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§3

知识点一双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

知识点三有关双曲线的计算、证明1．待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；若过两个已知点则设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)．2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b.4．渐近线与离心率eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1).题型一双曲线的定义例1已知双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上的一点．若|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48 B．24C．12 D．6答案B解析由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知△PF1F2为直角三角形，因此＝eq\f(1,2)|PF1|×|PF2|＝24.感悟与点拨利用双曲线的定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清研究对象是整条双曲线，还是双曲线的一支．跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．(2)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为________．答案(1)x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)(2)26解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2<6，∴点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)如图，由双曲线的定义可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF2|－|PF1|＝2a，,|QF2|－|QF1|＝2a，))将两式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.

题型二求双曲线的标准方程例2(1)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1(2)已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________．答案(1)C(2)eq\f(x2,4)－y2＝1解析(1)由焦点F2(5,0)知c＝5，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，得a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，eq\r(3))，∴λ＝16－4×(eq\r(3))2＝4，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.感悟与点拨求双曲线的标准方程常用待定系数法．待定系数法的具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．跟踪训练2(1)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)和椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的标准方程为________．(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线的标准方程为________．答案(1)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1(2)eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1解析(1)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点为F1(－eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，离心率为e＝eq\f(\r(7),4).由于双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦点，∴a2＋b2＝7.又双曲线的离心率e＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(7),a)，∴eq\f(\r(7),a)＝eq\f(2\r(7),4)＝eq\f(\r(7),2)，∴a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.(2)x2－2y2＝2化为标准方程得eq\f(x2,2)－y2＝1，设与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.题型三双曲线的几何性质例3(1)(2017年4月学考)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点A作倾斜角为45°的直线l，l交y轴于点B，交双曲线的一条渐近线于点C，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为()A．5 B.eq\r(5)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(5),2)(2)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为________．答案(1)B(2)x±y＝0解析(1)由题意可知，设双曲线的右顶点为D，连接CD，由题意可知，|OA|＝|OB|＝|OD|＝a，OB是△ADC的中位线，则|CD|＝2a，则C(a,2a)，将C代入双曲线的渐近线方程y＝eq\f(b,a)x，整理得，b＝2a，则该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，∴双曲线的离心率为eq\r(5)，故选B.(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，因为A1B⊥A2C，所以eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.因此该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即x±y＝0.感悟与点拨双曲线的几何性质的常考题型为求双曲线的渐近线和离心率．(1)对于双曲线的渐近线问题，注意公式中双曲线的焦点所在的坐标轴，当焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.当焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x.(2)对于双曲线的离心率问题，根据条件，建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后求解即可．跟踪训练3(1)(2018年4月学考)双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(1,3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±3x(2)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为eq\f(\r(3),4)c，则双曲线的离心率为________．答案(1)C(2)2解析(2)过点O作AB的垂线，垂足为E，如图所示，在△OAB中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝eq\f(\r(3),4)c，|AB|＝eq\r(a2＋b2)＝c.因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，所以c·eq\f(\r(3),4)c＝ab，即eq\f(\r(3),4)(a2＋b2)＝ab，两边同除以a2，得eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－eq\f(b,a)＋eq\f(\r(3),4)＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)或eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)(舍去)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2.一、选择题1．(2018年6月学考)双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的焦点坐标是()A．(－5,0)，(5,0) B．(0，－5)，(0,5)C．(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0) D．(0，－eq\r(7))，(0，eq\r(7))答案A2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的焦点坐标为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程是()A．y＝±eq\r(5)x B．y＝±eq\f(\r(5),5)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\r(3)x答案C解析由题意可知eq\r(a2＋1)＝2，∴a＝±eq\r(3)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x.3．若双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为()A．7 B．23C．5或25 D．7或23答案D解析∵双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，∴2a＝8，(5,0)，(－5,0)是双曲线的两个焦点，∵点P在双曲线上，∴||PF1|－|PF2||＝8，∵点P到点(5,0)的距离为15，∴点P到点(－5,0)的距离是15＋8＝23或15－8＝7.4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(5,4)x B．y＝±eq\f(4,5)xC．y＝±eq\f(3,4)x D．y＝±eq\f(4,3)x答案D解析由题意可知实轴长为2a，虚轴长为4，焦距长为2eq\r(a2＋4)，因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则2a＋2eq\r(a2＋4)＝8，解得a＝eq\f(3,2)，因此双曲线的方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.5．设双曲线eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．－4B．－3C．2D．1答案A解析因为方程表示双曲线，所以a<0，标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,－a)＝1，所以渐近线方程为y＝±eq\f(3,\r(－a))x，所以eq\f(3,\r(－a))＝eq\f(3,2)，解得a＝－4.6．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点()A．在x轴上 B．在y轴上C．在x轴或y轴上 D．无法判断答案A解析因为m>n>0，所以点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．7．(2016年10月学考)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若|F1B|＝3|F2A|，则该双曲线的离心率是()A.eq\f(5,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,2)D．2答案C解析由题意知|F1B|＝|F1A|＝2c，|AF2|＝2c－2a，已知|F1B|＝2c＝3|AF2|＝6c－6a，即4c＝6a，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).8．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5)B．5C.eq\r(2)D．2答案A解析焦点(c,0)到渐近线y＝eq\f(b,a)x的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝2a，解得b＝2a.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).9．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3答案B解析设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2,a2)－1))＝eq\f(b4,a2)，∴y＝±eq\f(b2,a)，故|AB|＝eq\f(2b2,a).依题意，得eq\f(2b2,a)＝4a，∴eq\f(b2,a2)＝2，∴eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝2，∴e＝eq\r(3).10．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线，设过点M(b,0)且平行于l1的直线交l2于点P.若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\f(\r(14－2\r(41)),2) D.eq\f(\r(14＋2\r(41)),2)答案B解析根据题意可得F1(－c,0)，F2(c,0)，双曲线的渐近线方程l2为y＝eq\f(b,a)x，①直线PM的方程为y＝－eq\f(b,a)(x－b)，②联立①②，可得x＝eq\f(b,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(b2,2a)))，∴eq\o(F1P,\s\up6())＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c，\f(b2,2a)))，eq\o(F2P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－c，\f(b2,2a)))，∵PF1⊥PF2，∴eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c，\f(b2,2a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－c，\f(b2,2a)))＝0，∴eq\f(b2,4)－c2＋eq\f(b4,4a2)＝0，又a2＋b2＝c2，∴b2＝4a2，∴c2＝5a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，故选B.二、填空题11．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．答案3

12．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为____________．答案eq\f(x2,2)＋y2＝1解析由题意知，双曲线eq\f(x2,\f(1,2))－eq\f(y2,\f(1,2))＝1的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，离心率e＝eq\r(2).设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．又c＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝eq\r(2)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，∴椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.13．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为________．答案eq\f(1＋\r(5),2)解析设右焦点为F，由条件可得|MF|＝|OF|，即eq\f(b2,a)＝c，则c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).由e>1可得e＝eq\f(1＋\r(5),2).14．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线垂直于直线l：x－2y－5＝0，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为________________．答案eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1解析由题意得－eq\f(b,a)＝－2，即b＝2a，又焦点(c,0)在x－2y－5＝0上，所以c＝5，双曲线中a2＋b2＝c2，解得a＝eq\r(5)，b＝2eq\r(5)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20