利用函数性质判断方程解的存在性高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

利用函数性质判断方程解的存在性1.理解函数零点概念，了解函数零点与方程根的关系.提升数学抽象素养（难点）2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.提升数学逻辑推理素养(易错点）3.会求函数的零点.提升数学运算素养（重点）给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？提示：方程的根为－3,1.

问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？提示：交点为(－3,0)，(1,0)．问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？提示：相等．

问题导入：

一．函数的零点1.函数的零点：函数y＝f(x)的

与

称为这个函数的零点．2.注意：（1）求函数的零点就是求方程f(x)=0的根。（2）函数的零点不是一个点，而是具体的自变量的取值。（3）函数的零点可以有一个或多个，也可能没有。图像横轴的交点的横坐标3.方法：方程f(x)＝0有实数根

函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

函数y＝f(x)有零点

例1求下列函数的零点．(1)y＝－x2－x＋20；

(2)f(x)＝x4－1.

[思路点拨]先因式分解，再确定函数的零点．[精解详析]

(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.故函数的零点－5,4；(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.[一点通]求函数的零点常用方法是解方程(1)一元二次方程可用求根公式求解．(2)高次方程可用因式分解法求根．练习：求出下列函数的零点(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；

(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16.解:(1)令-8x2+7x+1=0,即8x2-7x-1=0,∴x=-或x=1∴f(x)的零点为-和1(2)令1+log3x=0,则log3x=-1解得X=所以函数的零点为(3)令4x-16=0,则4x=42，解得x=2，所以函数的零点为2二．函数零点的判定1.方法：如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号

，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．f(a)f(b)<0有一个连续相反2.注意:a.函数y=f(x)的图像必须是连续曲线，且f(a)·f(b)<0.b.只能判断零点的存在，可能有一个或多个，但并不能求出根的值c.当f(a)·f(b)>0时,在区间(a,b)内可能有零点也可能没零点。d.如果知道y=f(x)是单调函数，那么零点就只有一个。例2.已知函数f(x)=3x-x2.问：方程f(x)=0在区间[-1，0]内有没有实数解？为什么?解因为f(-1)＜0,f(0)＞0,其图像是连续曲线，所以函数f(x)在区间[-1，0]内有零点即方程f(x)=0在区间[-1，0]内有实数解变式：方程f(x)=0在R上有几个实数解呢？函数对应的方程为3x-x2＝0即求函数y＝3x

与y＝x2图像交点个数．在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图知有1个交点．从而函数y＝3x-x2有一个零点．1.已知方程2x-1=5-x,则该方程在哪个区间内一定有解（）A.(0,1）B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

题组练习：答案：C解：(1)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝log2x与y＝x－2图像交点个数．在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图只有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点．

5.判断下列函数有几个零点？(1)y＝log2x－x＋2(2)y＝ex＋2x－6；方法二：由于y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增．又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6-

6＝e3>0.∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点；（2）方法一：函数对应的方程为ex+2x-6=0.即求函数y＝ex

与y＝--2x+6图像交点个数．在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，只有一个交点.所以此函数只有一个零点

5.判断下列函数有几个零点？(1)y＝log2x－x＋2(2)y＝ex＋2x－6；[一点通]

判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．(2)用定理：零点存在性定理,及函数的单调性。

(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．补充练习1.函数f(x)=-x2-2x+3的零点是()A.3,-1B.-3,1C.1,3D.-1,-32.二次函数y=ax2+bx+c,a*c＜0,则函数的零点个数是()A.0B.1C.2D.3

BC3.若函数f(x)=ax+2在区间[-2,1]上存在零点，则实数的取值范围是()A.[-2,1]B.[-1,2]C.[-2.5,4]D.（-∞,-2]∪[1，+∞）D4．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数

g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．

解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，

∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx

＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.

答案：0，－1思