新高考二轮复习六立体几何第二讲点直线平面之间的位置关系学案

专题六立体几何

第二讲点，直线，平面之间的位置关系

(-)考点解读

高考考点考点解读

与空间位置关系有关的1.多以命题的形式出现，判断命题的真假

命题真假的判断2.考查空间几何体中点、线、面的位置关系

证明平行关系1.以多面体为命题背景，证明线线平行、线面平行、面

面平行

2.以三视图的形式给出几何体，判断或证明平行关系，

考查平行的判定及性质

证明垂直关系1.以多面体为命题背景，证明线线垂直、线面垂直、面

面垂直

(二)核心知识整合

考点1:线面平行与垂直的判定与性质

定理名称文字语言图形语言符号语言

线面平行的判平面外一条直线与平面内___a

定定理的一条直线平行，则这条haa>alla

a!lb

直线与此平面平行

线面平行的性一直线与一个平面平行，alia

质定理则过这条直线的任何一个au0>allh

anp-b

平面与此平面的交线与该Xb/

直线平行

线面垂直的判一条直线和一个平面内的aua

定定理两条相交直线都垂直，则bua

aryb=A>1La

该直线与此平面垂直Ila

Zwlib

1.如图，在正方体ABC。-AgCQ中，点M在线段8G（不包含端点）上运动，则下列判断

中正确的是（）

门

①4附〃平面ACR；

②异面直线4M与AQ所成角的取值范围是（方弓；

③AC，平面恒成立；

④三棱锥。-AMC的体积不是定值.

A.①③B.①②C.①②③D.②④

［答案］:B

［解析］在正方体中，连接48，AG，如E即，

D_____________

口}jfr

因对角面ABCQ是矩形，则ADJ/BC1，而8G<X平面ACDtAD,u平面ACDt，于是得BCJ!

平面4CR，同理，〃平面ACR，

而ASBG=B,A8,BC|U平面ABC］，因此，平面A^G〃平面ACR，又AMU平面

A,BC,，故有AM〃平面ACD,，①正确；

因ADJIBC,,即异面直线AM与AR所成角即为A.M与8G所成角，而△A^G是正三角形,

点”在线段BG（不包含端点）上运动时，A”与BG所成角范围为（早］，②正确；

当M为BC的中点时，直线B附过点C，48=60。，即此时AC与gM不垂直，AC,

平面不恒成立，③错误；

因为BCJ!平面ACR，则匕-此=V…s=匕-AS，即三棱锥D,-AMC的体积是定值，④

错误.

故选：B.

2.如图，在圆柱oq中，正三棱柱ABC-A与G的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周

上，尸为AG上一点，a尸=2尸G，E为8c的中点，则下列关系正确的是（）

①。1尸〃平面ABC；②。1刊/平面AB|C；③0尸_1_平面&AE；④O|FJ■平面AAB.

A.①②B.0（3）C.②③D.（3）@

［答案］:B

［解析］对于①,01为△AB|G的重心,A尸=2尸G，.•.01尸〃4G，又BGi/BC，:.O\FMBC，

又BCu平面ABC,QFcZ平面ABC,〃平面A8C,①正确；

对于②，由①知：o尸〃Be，又4G4用=用，；.o尸与A4相交，又4冉＜=平面Age，

.•・。1尸与平面AB|C相交,②错误；

对于③，△A8C为等边三角形，E为BC中点、,:.AE±BC）由①知0F//BC，；.AE_L0尸，

A4,_L平面A4G，。L(=平面Age；，AAA,1O.F;又叫AE=A,44,,AEu平面

AAE，.•.O|F_L平面AAE，③正确；

对于④，由①知：O\FHBC，又△A8C为等边三角形，.•.NABC=1，.•.异面直线。尸与

AB所成角为即°尸与A8不垂直，

二.。/_1,平面A4B不成立，④错误.

故选：B.

「规律总结」

(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.

(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有

关定，进行肯定或否定.

(D证明线线平行的常用方法

①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行.

②利用平行四边形进行转换.

③利用三角形中位线定理证明.

④利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行.

②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行.

(D证明线线垂直的常用方法

①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直.

②利用勾股定理逆定理.

③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.

(2)证明线面垂直的常用方法

①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直.

②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直.

③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.

［跟踪训练］

1.如图，已知正方体ABC。-AqCQ,M,N分别是A。，RB的中点，则（）

DiCi

与直线。田垂直，直线MN〃平面48CQAQ与直线

平行，直线用N,平面8。£>蜴与直线A8相交，直线MN〃平面A8C。与直线

RB异面,直线平面8。£）蜴

［答案］:A

［解析］A。，平面ABR,故，排除B,C项；连接AQ,可知MN//AB,所以MN"

平面ABC。，A项正确；因为AB不垂直于平面B£»R4,MN//AB,所以直线MN不垂直于

平面8。£）百，D项错误.

故选A.

2.在正四面体尸-ABC中，尸分别是A8,BC,C4的中点，下面四个结论中不成立的是

（）

A.8C//平面尸B.£>F_L平面PAE

C.平面PDF1平面ABCD.平面PDF_L平面尸4E

［答案］:C

［解析］•••在正四面体2-ABC中，。,瓦尸分别是AB,BC,CA的中点，

R

，DF!IBC,

,/DFu平面PDF,BCa平面PDF,

，8C//平面尸。尸，故A正确；

;AB=AC=PB=PC,E是8c中点，

AELBC,PE1BC,；AEcPE=E,，BC_L平面PAE,

VDF!IBC,；.OF_L平面PAE,故8正确；

：OF_L平面尸AE,OFu平面ABC,.•.平面PAE_L平面ABC,

:平面PAEc平面PDE=PE,且PE与平面ABC不垂直，，平面PDE与平面ABC不垂

直，故C错误；_L平面PAE,且。Fu平面尸。尸，

/.平面PDF1平面PAE,故D正确，故选C.

考点2：面面平行与垂直的判定与性质

定理名称文字语言图形语言符号语言

面面平行的判如果一个平面内有两条相aaa

定定理交的直线都平行于另一平/X：/bua

acb=Pa!Ip

面，那么这两个平面平行al1(3

//bHB

面面平行的性如果两个平行平面同时和alip

质定理第三个平面相交，那么他/彳/yoa=a>a!lb

yc/3=b

们的交线平行

面面垂直的判一个平面过另一个平面的

%a.La)八

/

定定理垂线，则这两个平面垂直

y

面面垂直的性两个平面垂直，则一个平a1)3

/bu0

质定理面内垂直于交线的直线与»hLa

ac。=a

另一个平面垂直匕

LZjb

［典型例题］

a,夕为两个平面，则a的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与（3平行

B.a内有两条相交直线与13平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

［答案］:B

［解析］对于A,a内有无数条直线与0平行，当这无数条直线互相平行时，a与£可能

相交，所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一

条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面

可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正

确.综上可知选B.

2.如图，设E,F,06分别是长方体4BCD-A4CQ的棱A8,GD，A综CQ的中点，则平面

EFRA与平面BCF：的位置关系是（）

£>i居G

［解析］片和耳分别是A耳和。G的中点，AR〃回耳.

又-AQ平面BCU&Eu平面BCU.'AR〃平面8c耳目.

又，E,和E分别是4耳和AB的中点，.•.AE//8E,且Ag=3E,

四边形AE8&是平行四边形，又AE&平面8。百目,

u平面BCF］Et,:.AE〃平面BCF、E,.AEu平面EFD,A,

ARu平面EFRA，AEcAR=A".平面EFDA"平面BCFg.

故A正确.

「规律总结」

证明面面平行，依据判定定，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而

将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.

证明面面垂直常用面面垂直的判定定，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂

直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、

高线或添加辅助线解决.

［跟踪训练］

1.如图，AB是的直径，以垂直所在的平面，C是圆周上不同于的任意一点,

分别为K4,VC的中点，则下列结论正确的是（）

C

A.MN//AB

B.MN与BC所成的角为45

C.0cl平面VAC3C，平面UBC

［答案］:D

［解析］依题意，MN//AC,又直线AC与AB相交,因此，与AB不平行;注意到

4c_LBC,因此MN与8c所成的角是90;注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面

VAC不垂直；由于8C_LAC,BCJLV:4,因此BC_L平面VAC.又BCu平面VBC,所以平面

VBC±平面K4C.综上所述，故选D.

2.如图，在三棱锥A-BCO中，ACLAB,BC1BD,平面A8C_L平面88.①AC_L:②

ADLBC;③平面ABC_L平面A8Q;④平面AC£）_L平面A8Q.以上结论中正确的个数有

)

A

A.lB.2

［答案］:C

［解析］:平面ABC±平面8CZ）,平面ABCc平面BCD=BC,BCYBD,：.BD±平面ABC.

又ACu平面ABC,；.BDYAC,故①正确.

,/BDu平面ABC，二平面A3。1平面ABC,故③正确.

•/ACLAB,BDlAC,ABnBD=：B.

：.AC±平面ABD.又ACu平面ACD,

平面ACO_L平面A8Q,故④正确.综上，①③④正确，选C.

考点3：平行和垂直关系综合应用

面面平行的判定

线面平行的利定面面平行的判定

（面面平行的性质）

面面平行的性质

面面垂直的判定

而

线线线面垂直的判定、面面垂直的判定、面面

W直

垂宜〈i垂直

线面垂青的性质面面垂直的性质

面面垂直的性质

［典型例题］

A8CD与正方形ABE尸所在平面互相垂直，P,。分别是AC,尸8上的动点，R是AB中点，则

下列结论正确的是（）

P,Q分别是AC,FB的中点，则PQ与EC是异面直线

P,。分别是AC,FB的中点，则P。〃平面ECA

P,Q分别是AC,必的中点，则平面RPQ,平面ABCD

D.BF1AC

［答案］:C

［解析］

选项正误原因

AX连接AE,EC,由。是EB的中点及正方形ABE/，得。是4E中点，P

是AC的中点，在V4CE中，由中位线定理可得尸Q//EC,故PQ与EC

非异面直线

BX当P,Q分别是AC,EB的中点时，P,Q分别在AC,AE上，故PQu平

面ECA

C7正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直,故AF，平面ABCD,连接RQ,

RP,PQ,R,Q分别是AB,尸8的中点，故RQ〃4尸，故RQ_L平面ABC。，

RPQ,所以平面RP。，平面ABC。

DX假设BFJ.AC,由正方形A8C。与A8EF所在平面互相垂直，得AFL平

ffiABCD,故AF_LAC,AFcBF=F,故AC_L

平面A8EF,而正方形ABC。与48EB所在平面互相垂直，故AOJ.平面

ABEF,则过A点有两条直线垂直同一平面，故假设不成立

E

2.如图，在正方体ABC。-A8CQ中，P,Q,R,分别为棱AR,AB,CG，4用,86的中

点，则下列结论正确的个数为（）

①平面PQR截正方体表面得五边形；

②MN〃平面PQR；

③MN与PQ所成的角为90°；

④MN_L平面PQR.

A.lB.2

［答案］:B

［解析］根据题意可得平面尸。/?截正方体各棱的中点，得截面为正六边形PA2GRE,如图所

示，所以①错误；由图可得MN//PE,MNU平面PQR,PEu平面PQR,所以MN〃平面PQR,

所以②正确，④错误；由题易得所以MN与PQ所成的角为90。，所以

③正确，故选B.

「规律总结」

1.求解平面图形折叠问题的关键和方法

(D关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量,

充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.

(2)方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问

题转化到我们熟悉的几何中解决.

(1)对命题条件探索的三种途径：

①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；

②先通过命