2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第1章 集合

第一章集合、常用逻辑用语

集合

【考试要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或生表示.

⑶集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素,

就称集合A为集合8的子集，记作4U2(或22A).

(2)真子集：如果集合但存在元素xGB,且金A，就称集合A是集合8的真子集，记

作A8(或BA).

(3)相等：若AU8,且8GA,则A=8.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

\表示

文字语言集合语言图形语言记法

运

并集所有属于集合A或属于集

合B的元素组成的集合

所有属于集合A旦属于集

交集且％£5}

合B的元素组成的集合

全集U中不属于集合A的

补集且x建A}

所有元素组成的集合

【常用结论】

1.若集合A有〃(〃21)个元素，则集合A有2"个子集，2"—1个真子集.

2.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)集合{xGN*=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2){x[y=f+l}={y|y=jv2+l}={(x,y)|y=f+l}.(X)

(3)若ie{f,x},则x=-l或x=l.(X)

(4)对任意集合A,B,都有(ACB)=(AU8).(V)

【教材改编题】

1.若集合A={xGN|2x+10>3尤},则下列结论正确的是()

A.B.8GA

C.{4}£AD.{0}UA

答案D

2.已知集合知={,+1,-2),N—{b,2],若M=N,则a+b=.

答案T

1=2,

解析\'M=N,：.]

b=-2,

〃=1,

•—1.

一g=-2,

3.已知全集。=&集合A={x|lWxW3},2=国弱\4},则ACB=,

答案{x|2WxW3){x|-2<xW3}

解析：全集U=R,集合A={尤|1WXW3},2={尤度24}={彳以忘一2或x22},

.*•[uB={x\—2<x<2},

.•.ACB={x|2WxW3},AU([uB)={x|—2<xW3}.

题型一集合的含义与表示

例1(1)(2020•全国III)已知集合A={(尤，y)\x,y^N*,尤},B={(x,y)|尤+y=8},则ACB

中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析AQB={(x,y)|尤+y=8,x,"N*,y〉x}={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)},共4个元素.

(2)若集合A={a—3,2a—1,a-4},且一3GA,则实数。=.

答案。或1

解析①当a—3=-3时，«=0,

此时4={-3,-1,-4),

②当2a—1——3时，a——1,

此时A={—4,-3,一3}舍去，

③当层—4——3时，a—±l,由②可知”=—1舍去，则当a=l时，A={—2,1,—3),

综上，a—0或1.

【教师备选】

若集合A={x\kx1+x+1=0}中有且仅有一个元素，则实数k的取值集合是.

答案，o,

依Wo,

解析依题意知，方程近2+彳+1=0有且仅有一个实数根，.•#=()或

3=1—4左=0,

.,.上=0或左=；,

的取值集合为，0,

思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限

制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1(1)已知集合A=]x£N±£Z则集合A中的元素个数为()

A.3B.4

C.5D.6

答案C

4

解析—'GZ,

x~2

.,.尤一2的取值有-4,—2,—1,1,2.4,

尤的值分别为一2,0,1,3,4,6,

又xGN,故尤的值为0,1,3,46

故集合A中有5个元素.

⑵已知a,6GR,集合{1,a+b,a}=，0,与，则。2023+62023=.

答案o

解析{1,a+b9〃}=，，力且aWO,

.,.cz+b=O,.'.a——b,

.•.{1,0,-b}=[Q,-1,b},

.,.b=l,a=~l,

...々2023+62023=0.

题型二集合间的基本关系

例2(1)设集合尸={y|y=/+l},M={x\y=^+1},则集合M与集合尸的关系是()

A.M=PB.PGM

C.MPD.PM

答案D

解析因为P={y|y=f+l}={y|y》l},M=[x\y=x1+1}=R,因此尸M.

(2)已知集合4=3一3・]忘4},B={x|2m-l^^m+l),且3GA,则实数机的取值范围是

答案[—1，+°°)

解析

①当6=0时，2机一1>m+1,解得加>2；

2m—l^m+1,

②当3W0时，(2加一12—3,

“+1W4,

解得一1&m&2.

综上，实数机的取值范围是［—1,+8).

延伸探究在本例(2)中，若把5GA改为BA,则实数机的取值范围是

答案［—1，+°°)

解析①当5=0时，2m—l>m+1,m>2；

②当5W0时,

2m—l^m+1,2m—l^m+1

<2根一12—3,或《2加一1>—3,

m~\~1<4、机+1W4.

解得一1

综上，实数小的取值范围是［-1,+8).

【教师备选】

已知M,N均为R的子集，若NU(［R〃)=N,则()

A.MUNB.NJM

C.D.［RNUM

答案D

解析由题意知，［RMUN,其Venn图如图所示，

,只有［RNUM正确.

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2(1)已知集合4=国/一3%+2=0},2={彳6凹/-6无＜0},则满足ACUB的集

合C的个数为()

A.4B.6

C.7D.8

答案C

解析VA={1,2},8={1,2,3,4,5},

且ACM8,

二集合C的所有可能为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5),

共7个.

(2)已知集合/=**=1},N={x|ax—l=O},若MCN=N,则实数。的值为.

答案0,±1

解析VM={-1,1},且MCN=N,

:.NUM.

若N=0,则a=0；

若NW0,则N=，5},

•,1=1或5=T'

.\a=±l

综上有a=±l或〃=0.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2021•全国乙卷)已知集合5={，卜=2〃+1,wGZ},T={t\t=4n+1,n^Z},贝!JSAT

等于()

A.0B.SC.TD.Z

答案c

解析方法一在集合T中，令"=A/ez),贝(If=4"+l=2(2左)+1(左GZ),而集合S中，s

=2n+l(«ez),所以必有TGS,

所以TnS=T.

方法二S={…,-3,-1,1,3,5,-},T={…，-3,1,5,­•­),观察可知，TJS,所以TAS

=T.

(2)集合A={尤层-3x—4\0},B={x|l<x<5},则集合([RA)UB等于()

A.[-1,5)B.(-1,5)

C.(1,4]D.(1,4)

答案B

解析因为集合A={x|/-3尤一4'0}={无仇・-1或x24},

又8={x[l<x<5},

所以[RA=(—1,4),

则集合([RA)UB=(—1,5).

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(1)(2022・厦门模拟)已知集合4={1,a],B={x|log2x<l},且AAB有2个子集，则实

数a的取值范围为()

A.(―00,0]

B.(0,1)U(1,2]

C.[2,+8)

D.(—8,0]U[2,+8)

答案D

解析由题意得，

B={x|log2X<l}={x|0<x<2},

AB有2个子集，

AAAB中的元素个数为1；

Vie(AAB),

a^(A0B),即a住3,...“WO或〃N2,

即实数。的取值范围为(一8,0]U[2,+8).

(2)已知集合4={%|3，一2x—IWO},3={x|2〃<x<〃+3},若AG8=0,则实数4的取值范围

是()

A1°T1

A.〃〈一行或a>2

c-10-

B.与■或2

C.。<一工或〃>2

D.〃W一/或

答案B

解析4={彳|3/一2x—lWO}={x|-gwxWl

①8=0,2a2a+3=a》3,符合题意；

a<3,

。<3,

②8W0,(—1或

。+3W-§2心1,

解得¥或3・〃<3.

•.a的取值范围是aW—9或42m.

【教师备选】

（2022•铜陵模拟）已知A={4rW0或x23},5={RxW〃一1或x2〃+l},若AA（［R5）W0,则

实数〃的取值范围是（）

A.1W〃W2B.l<a<2

C.或D.或〃>2

答案D

解析A={RxW0或x23},3={MxWa—1或x2〃+l},

所以［RB={x|tz—1］；

又AG（［R3）W0,

所以a—1<0或a~\~1>3,

解得a<\或a>2,

所以实数〃的取值范围是〃<1或a>2.

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3（1）（2021•全国甲卷）设集合〃=30<尤<4}用"忙《51，则MHN等于（）

A.lx10<x<|jB,lx||<x<4I

C.{x|4W尤<5}D.{x［0<xW5}

答案B

解析因为Af={尤［0<x<4},N=（x及WxW5k

所以AfCNixIMcxaj.

（2）（2022•南通模拟）设集合A={1,a+6,a1},B={2a+l,a+b],若AC8={4},贝!]a=

,b=.

答案22

解析由题意知，4£A,所以a+6=4或a2=4,

当a+6=4时，则。=一2,得4={1,4,4},

故应舍去；

当，=4时，则a=2或a=—2（舍去），

当a=2时，A={1,4,8},B={5,2+b],

又4GB,所以2+b=4,得6=2.

所以a=2,b=2.

题型四集合的新定义问题

例5（1）已知集合4=*6n成一2x—3W0},2={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”：

A*B={X|X=XI+%2,尤PA，X2^B},则中的所有元素数字之和为（）

A.15B.16C.20D.21

答案D

解析由f—2x—3W0,得（x+l）（龙一3）W0,得4={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=xi+x2,不GA,

X2^B],所以A*8中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3（舍去），2+3=5,

3+1=4（舍去）,3+3=6,所以4*8={1,2,3,4,5,6},所以A*8中的所有元素数字之和为21.

（2）非空数集A如果满足：①0住4②若VxdA,有:GA,则称A是“互倒集”.给出以下数

集：①{xeR|f+or+l=0}；②{xk2—6x+lW0}；③[xG[l,4]j,其中是“互倒

集”的序号是.

答案②③

解析①中，{X^为/+"+1=0},二次方程判别式/=“2—4,故一2<a<2时，方程无根，

该数集是空集，不符合题意；

②中，{4?一6尤+1W0},即{尤|3—2加WxW3+2小},

显然044

T1J-1

又充至『三死

即3-2吸W*3+2/，

故：也在集合中，符合题意；

③中，x£[l,4]j,

易得卜|吴户21,O^A,

又;故"也在集合A中，符合题意.

【教师备选】

对于任意两集合A,B,定义A—8={x|xdA且遇用，A*B=(A-B)U(B-A),记4={尤以20},

B={x|-3WxW3},则A*B=.

答案{x|-3Wx<0或无>3}

解析：A={4x20},2={尤|-3WxW3},

：.A~B={x\x>3],B-A={x\~3^x<0}.

.,.A*B={x|—3W尤<0或无>3}.

思维升华解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义

和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

跟踪训练4若集合Ai，4满足4UA2=A，则称(AI，&2)为集合A的一种分拆，并规定：当

且仅当4=4时，(4,4)与(4,Ai)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集

合A的不同分拆种数是.

答案27

解析不妨令A={1,2,3},：AILM2=A,

当4=0时,A2={1,2,3),

当4={1}时，4可为{2,3},{1,2,3}共2种,

同理Ai={2},{3}时，4各有2种，

当4={1,2}时，4可为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种,

同理4={1,3},{2,3}时,4各有4种,

当4={1,2,3}时，4可为4的子集，共8种，

故共有1+2义3+4义3+8=27(种)不同的分拆.

课时精练

1.（2021•全国乙卷）已知全集U={1,2,345},集合M={1,2},集合N={3,4},则［《MU助

等于（）

A.{5}B.{1,2}

C.{3,4}D.{1,2,3,4）

答案A

解析方法一(先求并再求补)因为集合〃={1,2},N={3,4},所以MUN={1,2,3,4}.

又全集U={1,2,3,4,5},

所以CMMUN)={5}.

方法二(先转化再求解)因为[i/(MUN)=([uM)C([uN)，1的={3,4,5},[小={1,2,5},所以

Cu(MUAD={3,4,5}n{l,2,5}={5}.

2.已知集合。=&集合A={x|p三>2},B={y\y=^+2],则An。/)等于()

A.RB.(1,2]

C.(1,2)D.[2,+8)

答案C

解析4={尤|5+3>2}=(1,+°°),

B={yly=f+2}=[2,+8),

[/=(—8,2),

••.AC([/)=(1,2).

3.已知集合/={1,2,3},双={(彳,创匹知,后知,彳+产必，则集合N中的元素个数为()

A.2B.3C.8D.9

答案B

解析由题意知，集合N={(1,1),(1,2),(2,1)},所以集合N的元素个数为3.

4.(2022•青岛模拟)已知集合&={.,a2,俏}的所有非空真子集的元素之和等于9,则的十

痣+俏等于()

A.1B.2C.3D.6

答案C

解析集合4={的,a2,俏}的所有非空真子集为{的},{«2},{的},[ai,避},{ai,的},{。2,

的},

则所有非空真子集的兀素之和为41+42+03+01+02+41+43+42+43=3(41+42+43)=9,

所以41+。2+。3=3.

5.已知集合p={8y)|x+y=l},Q={(x,y)\jc+y1=1},则下列说法正确的是()

①PUQ=R；

②PCQ={(1,O),(0,1)}；

③尸门。={(无，丫)|尤=0或1,y=0或1}；

④PCQ的真子集有3个.

A.①②④B.②③④

C.②④D.③④

答案C

|x+y=l,

解析联立2「，

(x1+y—l,

\x=\,[x=0,

解得.或

[y=01y=l,

•50={(1,0),(0,1)),

故②正确，③错误；

又尸，。为点集，，①错误；

又尸C。有两个元素，有3个真子集，

•••④正确.

6.已知集合4=5|炉一4W0},8={x|2x+aW0},若AUB=8,则实数a的取值范围是()

A.a<—2B.aW—2

C.a>—4D.aW—4

答案D

解析集合A={x|-2WxW2},

j,由AU3=B可得AM,作出数轴如图.

可知一1三2,即aW—4.

7.(2022・重庆模拟)已知全集U={尤GN|log2X<3},A={1,2,3)，Ct/(AnB)={1,2,4,5,6,7),则集

合B不可能为()

A.{3,6}B.{3,4,5}

C.[2,3,6}D.{3,5,6}

答案C

解析由log2%<3得0<x<23,即0<x<8,

于是得全集U={123,4,5,6,7},

因为CtKAnB)={1,2,4,5,6,7},

则有An8={3},3G8；

对于A选项，若2={3,6},

则ACB={3},[u(ACB)={1,2,4,5,6,7},A可能；

对于B选项，若2={3,4,5},

则AC2={3},[u(ACB)={124,5,6,7},B可能；

对于C选项，若8={2,3,6},则AC3={2,3},

所以[MAAB)={1,4,5,6,7},矛盾，故C不可能；

对于D选项，若8={3,5,6},

则AA8={3},[u(AC8)={1,2,45,6,7},D可能.

8.已知全集。的两个非空真子集A,2满足则下列关系一定正确的个数是()

①ACB=0；®ADB=Bi

③AUB=U；④((uB)UA=A.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},

满足([UA)UB=8,

但AC8W0,AHB^B,故①②均不正确；

由((必)U8=B,知(C必)UB,

.•.U=AU")£(AUB),：.AiJB=U,

由([必)=8,知([uB)£A,

.\(Ci/B)UA=A,故③④均正确.

9.设〃={0』,2,3},+mx=0},若]以={1,2},则实数机=.

答案一3

解析由题意可知，

A={xe[7|/+妙=0}={0,3},

即0,3为方程/+必=0的两个根，

所以77?=—3.

10.(2022・宁夏模拟)已知全集U=R,集合M={xGZ||x—1|<3},N={—4,—2,0,1,5},则下

列Venn图中阴影部分的集合为.

答案{-1,2,3)

解析集合M={x£Z||x-l|<3}={x£Z|-3<x-1<3}={xez|-2<x<4}={—1,0,1,2,3},

Venn图中阴影部分表示的集合是MH([RN)={—1,2,3}.

11.已知集合4={序，—2},B—{m,m-3],若ACB={-2},则AUB=.

答案{-5,-2,4)

解析VAnJB={-2},

若机=—2,则4={4,-2},B={-2,-5),

：.AC\B={-2},AUB={-5,-2,4)；

若m一3=—2,则机=1,

••-A={1,—2},B={1,-2},

：.AnB={l,—2}(舍去),

综上，有AU8={-5,-2,4).

12.已知集合A={x|y=lg(a—x)},B={x|l<x<2},且([RB)UA=R,则实数。的取值范围是

答案[2,+°°)

解析由已知可得A=(—8,a),

[RB=(—8,1]U[2,+°0),

V(CRB)UA=R,・・・〃22.

13.若尤GA,则就称A是“伙伴关系”集合，集合M=,—1,0,I，I，1,2,3,41

的所有非空子集中，