![2023年高考数学一轮复习(全国版理) 第1章 集合_第1页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/15/0C/wKhkGGYMmsOAQRcnAAGjI6wVMj4359.jpg)
![2023年高考数学一轮复习(全国版理) 第1章 集合_第2页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/15/0C/wKhkGGYMmsOAQRcnAAGjI6wVMj43592.jpg)
![2023年高考数学一轮复习(全国版理) 第1章 集合_第3页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/15/0C/wKhkGGYMmsOAQRcnAAGjI6wVMj43593.jpg)
![2023年高考数学一轮复习(全国版理) 第1章 集合_第4页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/15/0C/wKhkGGYMmsOAQRcnAAGjI6wVMj43594.jpg)
![2023年高考数学一轮复习(全国版理) 第1章 集合_第5页](http://file4.renrendoc.com/view5/M01/15/0C/wKhkGGYMmsOAQRcnAAGjI6wVMj43595.jpg)
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文档简介
第一章集合、常用逻辑用语
集合
【考试要求】1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系,理解
集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
【知识梳理】
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或生表示.
⑶集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合正整数集整数集有理数集实数集
(或自然数集)
符号NN*(或N+)ZQR
2.集合的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素,
就称集合A为集合8的子集,记作4U2(或22A).
(2)真子集:如果集合但存在元素xGB,且金A,就称集合A是集合8的真子集,记
作A8(或BA).
(3)相等:若AU8,且8GA,则A=8.
(4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的
真子集.
3.集合的基本运算
\表示
文字语言集合语言图形语言记法
运
并集所有属于集合A或属于集
合B的元素组成的集合
所有属于集合A旦属于集
交集且%£5}
合B的元素组成的集合
全集U中不属于集合A的
补集且x建A}
所有元素组成的集合
【常用结论】
1.若集合A有〃(〃21)个元素,则集合A有2"个子集,2"—1个真子集.
2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(1)集合{xGN*=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)
(2){x[y=f+l}={y|y=jv2+l}={(x,y)|y=f+l}.(X)
(3)若ie{f,x},则x=-l或x=l.(X)
(4)对任意集合A,B,都有(ACB)=(AU8).(V)
【教材改编题】
1.若集合A={xGN|2x+10>3尤},则下列结论正确的是()
A.B.8GA
C.{4}£AD.{0}UA
答案D
2.已知集合知={,+1,-2),N—{b,2],若M=N,则a+b=.
答案T
1=2,
解析\'M=N,:.]
b=-2,
〃=1,
•—1.
一g=-2,
3.已知全集。=&集合A={x|lWxW3},2=国弱\4},则ACB=,
答案{x|2WxW3){x|-2<xW3}
解析:全集U=R,集合A={尤|1WXW3},2={尤度24}={彳以忘一2或x22},
.*•[uB={x\—2<x<2},
.•.ACB={x|2WxW3},AU([uB)={x|—2<xW3}.
题型一集合的含义与表示
例1(1)(2020•全国III)已知集合A={(尤,y)\x,y^N*,尤},B={(x,y)|尤+y=8},则ACB
中元素的个数为()
A.2B.3C.4D.6
答案C
解析AQB={(x,y)|尤+y=8,x,"N*,y〉x}={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)},共4个元素.
(2)若集合A={a—3,2a—1,a-4},且一3GA,则实数。=.
答案。或1
解析①当a—3=-3时,«=0,
此时4={-3,-1,-4),
②当2a—1——3时,a——1,
此时A={—4,-3,一3}舍去,
③当层—4——3时,a—±l,由②可知”=—1舍去,则当a=l时,A={—2,1,—3),
综上,a—0或1.
【教师备选】
若集合A={x\kx1+x+1=0}中有且仅有一个元素,则实数k的取值集合是.
答案,o,
依Wo,
解析依题意知,方程近2+彳+1=0有且仅有一个实数根,.•#=()或
3=1—4左=0,
.,.上=0或左=;,
的取值集合为,0,
思维升华解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限
制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1(1)已知集合A=]x£N±£Z则集合A中的元素个数为()
A.3B.4
C.5D.6
答案C
4
解析—'GZ,
x~2
.,.尤一2的取值有-4,—2,—1,1,2.4,
尤的值分别为一2,0,1,3,4,6,
又xGN,故尤的值为0,1,3,46
故集合A中有5个元素.
⑵已知a,6GR,集合{1,a+b,a}=,0,与,则。2023+62023=.
答案o
解析{1,a+b9〃}=,,力且aWO,
.,.cz+b=O,.'.a——b,
.•.{1,0,-b}=[Q,-1,b},
.,.b=l,a=~l,
...々2023+62023=0.
题型二集合间的基本关系
例2(1)设集合尸={y|y=/+l},M={x\y=^+1},则集合M与集合尸的关系是()
A.M=PB.PGM
C.MPD.PM
答案D
解析因为P={y|y=f+l}={y|y》l},M=[x\y=x1+1}=R,因此尸M.
(2)已知集合4=3一3・]忘4},B={x|2m-l^^m+l),且3GA,则实数机的取值范围是
答案[—1,+°°)
解析
①当6=0时,2机一1>m+1,解得加>2;
2m—l^m+1,
②当3W0时,(2加一12—3,
“+1W4,
解得一1&m&2.
综上,实数机的取值范围是[—1,+8).
延伸探究在本例(2)中,若把5GA改为BA,则实数机的取值范围是
答案[—1,+°°)
解析①当5=0时,2m—l>m+1,m>2;
②当5W0时,
2m—l^m+1,2m—l^m+1
<2根一12—3,或《2加一1>—3,
m~\~1<4、机+1W4.
解得一1
综上,实数小的取值范围是[-1,+8).
【教师备选】
已知M,N均为R的子集,若NU([R〃)=N,则()
A.MUNB.NJM
C.D.[RNUM
答案D
解析由题意知,[RMUN,其Venn图如图所示,
,只有[RNUM正确.
思维升华(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则
易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转
化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2(1)已知集合4=国/一3%+2=0},2={彳6凹/-6无<0},则满足ACUB的集
合C的个数为()
A.4B.6
C.7D.8
答案C
解析VA={1,2},8={1,2,3,4,5},
且ACM8,
二集合C的所有可能为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5),
共7个.
(2)已知集合/=**=1},N={x|ax—l=O},若MCN=N,则实数。的值为.
答案0,±1
解析VM={-1,1},且MCN=N,
:.NUM.
若N=0,则a=0;
若NW0,则N=,5},
•,1=1或5=T'
.\a=±l
综上有a=±l或〃=0.
题型三集合的基本运算
命题点1集合的运算
例3(1)(2021•全国乙卷)已知集合5={,卜=2〃+1,wGZ},T={t\t=4n+1,n^Z},贝!JSAT
等于()
A.0B.SC.TD.Z
答案c
解析方法一在集合T中,令"=A/ez),贝(If=4"+l=2(2左)+1(左GZ),而集合S中,s
=2n+l(«ez),所以必有TGS,
所以TnS=T.
方法二S={…,-3,-1,1,3,5,-},T={…,-3,1,5,•),观察可知,TJS,所以TAS
=T.
(2)集合A={尤层-3x—4\0},B={x|l<x<5},则集合([RA)UB等于()
A.[-1,5)B.(-1,5)
C.(1,4]D.(1,4)
答案B
解析因为集合A={x|/-3尤一4'0}={无仇・-1或x24},
又8={x[l<x<5},
所以[RA=(—1,4),
则集合([RA)UB=(—1,5).
命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)
例4(1)(2022・厦门模拟)已知集合4={1,a],B={x|log2x<l},且AAB有2个子集,则实
数a的取值范围为()
A.(―00,0]
B.(0,1)U(1,2]
C.[2,+8)
D.(—8,0]U[2,+8)
答案D
解析由题意得,
B={x|log2X<l}={x|0<x<2},
AB有2个子集,
AAAB中的元素个数为1;
Vie(AAB),
a^(A0B),即a住3,...“WO或〃N2,
即实数。的取值范围为(一8,0]U[2,+8).
(2)已知集合4={%|3,一2x—IWO},3={x|2〃<x<〃+3},若AG8=0,则实数4的取值范围
是()
A1°T1
A.〃〈一行或a>2
c-10-
B.与■或2
C.。<一工或〃>2
D.〃W一/或
答案B
解析4={彳|3/一2x—lWO}={x|-gwxWl
①8=0,2a2a+3=a》3,符合题意;
a<3,
。<3,
②8W0,(—1或
。+3W-§2心1,
解得¥或3・〃<3.
•.a的取值范围是aW—9或42m.
【教师备选】
(2022•铜陵模拟)已知A={4rW0或x23},5={RxW〃一1或x2〃+l},若AA([R5)W0,则
实数〃的取值范围是()
A.1W〃W2B.l<a<2
C.或D.或〃>2
答案D
解析A={RxW0或x23},3={MxWa—1或x2〃+l},
所以[RB={x|tz—1];
又AG([R3)W0,
所以a—1<0或a~\~1>3,
解得a<\或a>2,
所以实数〃的取值范围是〃<1或a>2.
思维升华对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;
如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况.
跟踪训练3(1)(2021•全国甲卷)设集合〃=30<尤<4}用"忙《51,则MHN等于()
A.lx10<x<|jB,lx||<x<4I
C.{x|4W尤<5}D.{x[0<xW5}
答案B
解析因为Af={尤[0<x<4},N=(x及WxW5k
所以AfCNixIMcxaj.
(2)(2022•南通模拟)设集合A={1,a+6,a1},B={2a+l,a+b],若AC8={4},贝!]a=
,b=.
答案22
解析由题意知,4£A,所以a+6=4或a2=4,
当a+6=4时,则。=一2,得4={1,4,4},
故应舍去;
当,=4时,则a=2或a=—2(舍去),
当a=2时,A={1,4,8},B={5,2+b],
又4GB,所以2+b=4,得6=2.
所以a=2,b=2.
题型四集合的新定义问题
例5(1)已知集合4=*6n成一2x—3W0},2={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:
A*B={X|X=XI+%2,尤PA,X2^B},则中的所有元素数字之和为()
A.15B.16C.20D.21
答案D
解析由f—2x—3W0,得(x+l)(龙一3)W0,得4={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=xi+x2,不GA,
X2^B],所以A*8中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,
3+1=4(舍去),3+3=6,所以4*8={1,2,3,4,5,6},所以A*8中的所有元素数字之和为21.
(2)非空数集A如果满足:①0住4②若VxdA,有:GA,则称A是“互倒集”.给出以下数
集:①{xeR|f+or+l=0};②{xk2—6x+lW0};③[xG[l,4]j,其中是“互倒
集”的序号是.
答案②③
解析①中,{X^为/+"+1=0},二次方程判别式/=“2—4,故一2<a<2时,方程无根,
该数集是空集,不符合题意;
②中,{4?一6尤+1W0},即{尤|3—2加WxW3+2小},
显然044
T1J-1
又充至『三死
即3-2吸W*3+2/,
故:也在集合中,符合题意;
③中,x£[l,4]j,
易得卜|吴户21,O^A,
又;故"也在集合A中,符合题意.
【教师备选】
对于任意两集合A,B,定义A—8={x|xdA且遇用,A*B=(A-B)U(B-A),记4={尤以20},
B={x|-3WxW3},则A*B=.
答案{x|-3Wx<0或无>3}
解析:A={4x20},2={尤|-3WxW3},
:.A~B={x\x>3],B-A={x\~3^x<0}.
.,.A*B={x|—3W尤<0或无>3}.
思维升华解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义
和要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.
跟踪训练4若集合Ai,4满足4UA2=A,则称(AI,&2)为集合A的一种分拆,并规定:当
且仅当4=4时,(4,4)与(4,Ai)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素,则集
合A的不同分拆种数是.
答案27
解析不妨令A={1,2,3},:AILM2=A,
当4=0时,A2={1,2,3),
当4={1}时,4可为{2,3},{1,2,3}共2种,
同理Ai={2},{3}时,4各有2种,
当4={1,2}时,4可为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种,
同理4={1,3},{2,3}时,4各有4种,
当4={1,2,3}时,4可为4的子集,共8种,
故共有1+2义3+4义3+8=27(种)不同的分拆.
课时精练
1.(2021•全国乙卷)已知全集U={1,2,345},集合M={1,2},集合N={3,4},则[《MU助
等于()
A.{5}B.{1,2}
C.{3,4}D.{1,2,3,4)
答案A
解析方法一(先求并再求补)因为集合〃={1,2},N={3,4},所以MUN={1,2,3,4}.
又全集U={1,2,3,4,5},
所以CMMUN)={5}.
方法二(先转化再求解)因为[i/(MUN)=([uM)C([uN),1的={3,4,5},[小={1,2,5},所以
Cu(MUAD={3,4,5}n{l,2,5}={5}.
2.已知集合。=&集合A={x|p三>2},B={y\y=^+2],则An。/)等于()
A.RB.(1,2]
C.(1,2)D.[2,+8)
答案C
解析4={尤|5+3>2}=(1,+°°),
B={yly=f+2}=[2,+8),
[/=(—8,2),
••.AC([/)=(1,2).
3.已知集合/={1,2,3},双={(彳,创匹知,后知,彳+产必,则集合N中的元素个数为()
A.2B.3C.8D.9
答案B
解析由题意知,集合N={(1,1),(1,2),(2,1)},所以集合N的元素个数为3.
4.(2022•青岛模拟)已知集合&={.,a2,俏}的所有非空真子集的元素之和等于9,则的十
痣+俏等于()
A.1B.2C.3D.6
答案C
解析集合4={的,a2,俏}的所有非空真子集为{的},{«2},{的},[ai,避},{ai,的},{。2,
的},
则所有非空真子集的兀素之和为41+42+03+01+02+41+43+42+43=3(41+42+43)=9,
所以41+。2+。3=3.
5.已知集合p={8y)|x+y=l},Q={(x,y)\jc+y1=1},则下列说法正确的是()
①PUQ=R;
②PCQ={(1,O),(0,1)};
③尸门。={(无,丫)|尤=0或1,y=0或1};
④PCQ的真子集有3个.
A.①②④B.②③④
C.②④D.③④
答案C
|x+y=l,
解析联立2「,
(x1+y—l,
\x=\,[x=0,
解得.或
[y=01y=l,
•50={(1,0),(0,1)),
故②正确,③错误;
又尸,。为点集,,①错误;
又尸C。有两个元素,有3个真子集,
•••④正确.
6.已知集合4=5|炉一4W0},8={x|2x+aW0},若AUB=8,则实数a的取值范围是()
A.a<—2B.aW—2
C.a>—4D.aW—4
答案D
解析集合A={x|-2WxW2},
j,由AU3=B可得AM,作出数轴如图.
可知一1三2,即aW—4.
7.(2022・重庆模拟)已知全集U={尤GN|log2X<3},A={1,2,3),Ct/(AnB)={1,2,4,5,6,7),则集
合B不可能为()
A.{3,6}B.{3,4,5}
C.[2,3,6}D.{3,5,6}
答案C
解析由log2%<3得0<x<23,即0<x<8,
于是得全集U={123,4,5,6,7},
因为CtKAnB)={1,2,4,5,6,7},
则有An8={3},3G8;
对于A选项,若2={3,6},
则ACB={3},[u(ACB)={1,2,4,5,6,7},A可能;
对于B选项,若2={3,4,5},
则AC2={3},[u(ACB)={124,5,6,7},B可能;
对于C选项,若8={2,3,6},则AC3={2,3},
所以[MAAB)={1,4,5,6,7},矛盾,故C不可能;
对于D选项,若8={3,5,6},
则AA8={3},[u(AC8)={1,2,45,6,7},D可能.
8.已知全集。的两个非空真子集A,2满足则下列关系一定正确的个数是()
①ACB=0;®ADB=Bi
③AUB=U;④((uB)UA=A.
A.1B.2C.3D.4
答案B
解析令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},
满足([UA)UB=8,
但AC8W0,AHB^B,故①②均不正确;
由((必)U8=B,知(C必)UB,
.•.U=AU")£(AUB),:.AiJB=U,
由([必)=8,知([uB)£A,
.\(Ci/B)UA=A,故③④均正确.
9.设〃={0』,2,3},+mx=0},若]以={1,2},则实数机=.
答案一3
解析由题意可知,
A={xe[7|/+妙=0}={0,3},
即0,3为方程/+必=0的两个根,
所以77?=—3.
10.(2022・宁夏模拟)已知全集U=R,集合M={xGZ||x—1|<3},N={—4,—2,0,1,5},则下
列Venn图中阴影部分的集合为.
答案{-1,2,3)
解析集合M={x£Z||x-l|<3}={x£Z|-3<x-1<3}={xez|-2<x<4}={—1,0,1,2,3},
Venn图中阴影部分表示的集合是MH([RN)={—1,2,3}.
11.已知集合4={序,—2},B—{m,m-3],若ACB={-2},则AUB=.
答案{-5,-2,4)
解析VAnJB={-2},
若机=—2,则4={4,-2},B={-2,-5),
:.AC\B={-2},AUB={-5,-2,4);
若m一3=—2,则机=1,
••-A={1,—2},B={1,-2},
:.AnB={l,—2}(舍去),
综上,有AU8={-5,-2,4).
12.已知集合A={x|y=lg(a—x)},B={x|l<x<2},且([RB)UA=R,则实数。的取值范围是
答案[2,+°°)
解析由已知可得A=(—8,a),
[RB=(—8,1]U[2,+°0),
V(CRB)UA=R,・・・〃22.
13.若尤GA,则就称A是“伙伴关系”集合,集合M=,—1,0,I,I,1,2,3,41
的所有非空子集中,
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