(5.6)-4-6 根轨迹与系统性能分析

根轨迹与系统性能分析确定根轨迹上的特征根分析系统的暂态特性附加开环零点的影响附加开环极点的影响偶极子的影响0201030040501确定根轨迹上的特征根

求特定的K*值对应的特征根时，可以采用试探法，在根轨迹图上用模值条件确定特征根的位置。通常先确定在实轴上的特征根，然后确定其它的复数特征根。例

假设系统的结构图如图所示，它的开环传递函数为试确定K*=10的特征根。01确定根轨迹上的特征根01确定根轨迹上的特征根首先作出根轨迹如图所示。由图可知，在-4~-∞区间实轴上有根轨迹。于是可在-4~-∞间取不同试点，求得的一个特征根为根据已知的开环传递函数，可得闭环系统特征方程式求得实根之后，再求复根。根据代数方程中根与系数关系得或02分析系统的暂态特性02分析系统的暂态特性如果闭环系统的零点是已知的，于是可以根据闭环系统零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态特性。02分析系统的暂态特性根轨迹增益

特征根

阻尼比

暂态特性03附加开环零点的影响

03附加开环零点的影响增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能，下面以三阶系统为例来说明。设系统的开环传递函数为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为图a03附加开环零点的影响

1.，设则相应系统的根轨迹如图b所示。由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大系数和临界频率都有所提高。下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。图b，设相应的根轨迹如图c所示此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析。03附加开环零点的影响图c在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点却距离轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。，设相应系统根轨迹如图d所示。03附加开环零点的影响图d03附加开环零点的影响从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引入比例微分调节，即属于此种情况。原(1)(2)(3)04附加开环极点的影响

设系统的开环传递函数其对应的系统根轨迹如图a所示。若系统增加开环极点，开环传递函数变为

其相应的根轨迹如图b所示。04附加开环极点的影响图a04附加开环极点的影响图b05偶极子的影响

05偶极子的影响在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。在系统中附加偶极子可以在基本保持系统的稳定性和瞬态响应性能不变的情况下显著改善系统的稳定性能。在随动系统的滞后校正中即采用这种方法来提高系统的稳态性能指标。因此，在分析控制系统的稳态性能时，要考虑所有闭环零极点的影响，而决不能忽略象偶极子这样的零极点对的影响，尽管在分析动态性能指标时可近似认为它们的影响相互抵消。设开环传递函数的时间常数形式为：