2023年中考数学考前第24讲：函数中相似形存在问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第24讲：函数中相似形存在问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

存在性问题是根据已知的条件，探索制定适合某个问题的结论的数值、点、直线或其图

形是否存在的题目，对于相似三角形存在问题.在中考中函数图象中点的存在问题是重点，

其解题思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的

计算、推理，若导出矛盾，则否定先前假设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得

出问题的结论.它主要考查考生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，由于这类

题目的综合性极强.因此中考常以压轴题出现.

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,

因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程,

解方程并检验.

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）.

【例题1】如图所示，在平面直角坐标系中，OC经过坐标原点。，且与X轴，y轴分别相

交于M（4,0）,N（0,3）两点.已知抛物线开口向上，与。C交于N,H,P三点，P为

抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直X轴于点D.

（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交X轴于A,B两点，在抛物线上是否存在点Q,使得SmWOPMN=8SaQAB,且

△QABSAOBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

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【例题2】如图，在平面直角坐标系xθy中，抛物线y=-L<2+bx+c过点A(0,4)和C(8,

0),P(t,0)是X轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋

转90。得线段PB.过点B作X轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.

⑴求b,c的值；

(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；

(3)是否存在t,使得以A,B,D为顶点的三角形与aAOP相似？若存在，求此时t的值；

若不存在，请说明理由.

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1.如图1,抛物线y=αχ2+bχ-3与X轴交于41,0)、8(3,0)两点，与y轴交于点D,顶点为

C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在X轴下方的抛物线上是否存在点A4,过M作MNJ_x轴于点N,使以A、M、N为顶

点的三角形与48C0相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

2.如图，抛物线y=-,χ2+三x+2与X轴交于点A,B,与y轴交于点C.

(1)试求A,B,C的坐标;

(2)将aABC绕AB中点M旋转180。，得到^BAD.

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由：

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使ABMP与aBAD相似？若存在，请直接写出所

有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

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3.如图1-1,抛物线I=Lr+4与X轴交于A、8两点（A点在8点左侧），与y轴交于

82

点C∙动直线EF（£F〃x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分

别交y轴、线段BC于£、F两点,动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的

速度向原点。运动.是否存在3使得48PF与AABC相似.若存在，试求出t的值；若不

存在，请说明理由.

图1

4.如图所示，抛物线y=χ2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（-1,0）、（0,

-3）.

（1）求抛物线的函数解析式：

（2）点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与X轴的另一交点，点D为y轴上一点,且DC=DE,

求出点D的坐标：

（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与ADOC

相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

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5.如图,已知A(-2,O),B(4,0),抛物线y=aχ2+bx-1过A、B两点,并与过A点的直

线y=-∙Lχ-1交于点C.

2

(1)求抛物线解析式及对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPo的周长最小？若存在，求出点P

的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N.

问：是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与AAOC相似，若存在，求出

点N的坐标，若不存在，请说明理由.

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6.如图，已知直线y=-2x+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点P是线

段AB上一动点，过点P作PC,X轴于点C,交抛物线于点D.

2

（1）若抛物线的解析式为V=-2X+2X+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与

△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

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7.如图1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=αχ2+bx(α>0)经过点A和X轴

正半轴上的点B,AO=BO=2,/408=120。.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)连结。/M,求NAoM的大小；

(3)如果点C在X轴上，且AABC与AAOM相似，求点C的坐标.

图1

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8.在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=--χ2+bx+c经过点A(-2,0),B(8,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点，PDlBC,

垂足为点D.

①是否存在点P,使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由；

②当APDC与ACOA相似时，求点P的坐标.

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2023年中考数学考前冲刺第24讲：函数中相似形存在问题

答案解析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

存在性问题是根据已知的条件，探索制定适合某个问题的结论的数值、点、直线或其图

形是否存在的题目，对于相似三角形存在问题.在中考中函数图象中点的存在问题是重点，

其解题思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合己知条件进行正确的

计算、推理，若导出矛盾，则否定先前假设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得

出问题的结论.它主要考查考生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，由于这类

题目的综合性极强.因此中考常以压轴题出现.

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，

因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程,

解方程并检验.

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组).

【例题1】如图所示，在平面直角坐标系中，OC经过坐标原点。，且与X轴，y轴分别相

交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上，与。C交于N,H,P三点，P为

抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直X轴于点D.

(1)求线段CD的长及顶点P的坐标；

(2)求抛物线的函数表达式：

(3)设抛物线交X轴于A,B两点，在抛物线上是否存在点Q,使得SmMPMN=8SZIQAB,且

△QABS^OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

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【分析】（I）连接。C,由勾股定理可求得MN的长，则可求得。C的长，由垂径定理可求

得OD的长，在RtAOCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；

（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；

（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由SmSJBOPMN=8SZSQAB可求得点Q到X轴的距离，

且点Q只能在X轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明AQABS∕∖OBN即可.

【解答】解：

（1）如图，连接。C,

VM(4,O),N(0,3),

.∙.0M=4,ON=3,

ΛMN=5,

.∙.0C=5MN=∙∣∙,

VCD为抛物线对称轴，

Λ0D=MD=2,

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在Rt∆0CD中，由勾股定理可得CD=JoC2-OD2=J(∙∣∙)2-2Z∙∣,

53

ΛPD=PC-CD=-=1,

22

,P(2,-1)；

(2)：抛物线的顶点为P(2,-1),

.∙.设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2-1,

:抛物线过N(0,3),

Λ3=a(0-2)2-1,解得a=l,

.∙.抛物线的函数表达式为y=Cx-2)2-l,即y=×2-4X+3；

(3)在y=χ2-4x+3中，令y=0可得C)=X2-4x+3,解得X=I或x=3,

ΛA(1,0),B(3,0),

ΛAB=3-1=2,

VON=3,OM=4,PD=I,

∙*∙S四边形OPMN=SaθMp+SzxoMN==OM∙PD+-^OM∙ON='x4xl+之X4X3=8=8S,AQAB,

•∙SΔQAB=1>

设Q点纵坐标为y,则XlyI=1,解得y=l或y=-l,

当y=l时，则4QAB为钝角三角形，而aOBN为直角三角形，不合题意，舍去,

当y=-1时.，可知P点即为所求的Q点,

tD为AB的中点，

,AD=BD=QD,

Λ∆QAB为等腰直角三角形,

∙.,0N=0B=3,

ΛΔOBN为等腰直角三角形,

Λ∆QAB^∆OBN,

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,-1).

【例题2】如图，在平面直角坐标系xθy中，抛物线y=-1χ2+bx+c过点A(0,4)和C(8,

6

0),P(t,0)是X轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋

转90。得线段PB.过点B作X轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.

⑴求b,c的值；

第11页共30页

(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；

(3)是否存在3使得以A,B,D为顶点的三角形与aAOP相似？若存在，求此时t的值:

解：(1)∙.∙A(O,4),C(8,0)在抛物线上,

a=4,Ib=',

二'θ=-1χ82+8b+c,解得.6

6L=4；

(2)VNAOP=NPEB=90。，

ZOAP=90。一NAPO=NEPB,

ACAP

Λ∆AOP∞∆PEB,：.­=—,

PEPB

VAO=4,AP=2MP=2PB,

ΛPE=2,0E=0P+PE=t+2,

又YDE=OA=4,

点D的坐标为(t+2,4),

当点D落在抛物线上时，

⅛-⅛+2)2+¾+2)+4=4,

66

解得t=3或t=-2,

Vt>O,

Λt=3,故当t为3时，点D落在抛物线上;

第12页共30页

(3)存在t,能够使得以A,B,D为顶点的三角形与aAOP相似.

理由如下：①当Oet<8时，若APOAS∕∖ADB,

则坨=A。，即不整理，得t2+i6=0,

ADBDt+24-4

2

ʌt无解;

若aPOAs∕∖BDA,

同理，解得t=-2±2#(负值舍去)：

②当t>8时，若^P0AsZ∖ADB,则强=皿,

ADBD

t4

即丁一=，

t+24—1ɪt

2

解得t=8±4√^(负值舍去)；

⅛∆POA∞∆BDA,同理，解得t无解.

综上所述，当t=-2+24或8+43时,

以A,B,D为顶点的三角形与AAOP相似.

1.如图1,抛物线y=αχ2+bχ-3与X轴交于41,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点D,顶点为

C.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在X轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN_Lx轴于点N,使以A、M、N为顶

点的三角形与aBCO相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

【解析】AAMN是直角三角形，因此必须先证明a8CD是直角三角形.一般情况下，根据

直角边对应成比例分两种情况列方程.

(1)抛物线的解析式为y=-χ2+4χ-3.

(2)由y=-χ2+4χ-3=-(χ-2)2+l,得Do-3),C(2,1).

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o

如图32,由8(3,0)、D(0z-3)>C(2,1),可知NCBo=45。，ZDBO=AS.

所以NCB0=9(Γ,且一--.

BD3√23

y/ʌNrχIrχ

ΓAABr;;__L

FYy。厂\

图2图3图4

设点M、N的横坐标为X,那么MM=-VM,而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况,

因此列方程要"两次分类"：

当Λ/在A右侧时∙，NA=X-I,分两种情况列方程：

①端嘿.3时，解得若•此时/WJ。)(如图3).

39

②当必="=L时，_LJ—=1.解得x=6.此时M(6,-15)(如图5).

AWBD3(X-∣XJΓ-3)3

当N在A左侧时，NA=l-χ,也要分两种情况列方程

Φ⅛-=—3时，-=3.解得x=°＞：L,不符合题意(如图4).

NMBC(X-IMr-J)3

②当生="时，解得

=L_I2X_=1.χ=o,此时Mo-■3)(如图6).

AMBD3(x-IXx-3)3

图5图6

2.如图，抛物线y=-Wχ2+=x+2与X轴交于点A,B,与y轴交于点C.

22

(1)试求A,B,C的坐标；

(2)将aABC绕AB中点M旋转180。，得到^BAD.

①求点D的坐标；

第14页共30页

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使ABMP与aBAD相似？若存在，请直接写出所

有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)直接利用y=0,X=O分别得出A,B.C的坐标；

(2)①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；

②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状;

(3)直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案.

【解答】解：(1)当y=o时,o=--z-χ2⅛+2,

22

解得：×ι=-1,×2=4,

贝∣JA(-1,0),B(4,0),

当X=O时，y=2,故C(0,2)；

(2)①过点D作DE±×轴于点E,

：将aABC绕AB中点M旋转180°,得到^BAD,

.∙.DE=2,AO=BE=I,OM=ME=1.5,

ΛD(3,-2)；

②二将AABC绕AB中点M旋转i80o,得到ABAD,

ΛAC=BD,AD=BC,

.∙・四边形ADBC是平行四边形，

*∙'AC=712+22=V5>BC=V22+42=2V5>

AB=5,ΛAC2+BC2=AB2,

,△ACB是直角三角形，.∙.NACB=9(Γ,...四边形ADBC是矩形；

(3)由题意可得：BD=√5,AD=2√5,

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则股=工，

AD2

当^BMPsaADB时,

PHBD1

Bi^AD^^2,

可得：BM=2.5,

则PM=I.25,

故P(1.5,1.25),

当时，

^BMPιS^ABDPt(1.5,-1.25),

当时，可得：

aBMP2s∕∖BDAP2(1.5,5),

当时，可得：

aBMP3S^BDAP3(1.5,-5),

综上所述：点P的坐标为：(1.5,1.25),(1.5,-1.25),(1.5,5),(1.5,-5).

3.如图1-1,抛物线I=3工t+4与X轴交于A、8两点（A点在8点左侧），与y轴交于

X2

点C∙动直线EF（EF〃x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分

别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的

速度向原点。运动.是否存在3使得48PF与AABC相似.若存在，试求出t的值；若不

存在，请说明理由.

图1

【解析】48PF与4A8C有公共角NB,那么我们梳理两个三角形中夹N8的两条边.

△A8C是确定的.由»v+4，可得44,0）、8（8,0）、C（0,4）.

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于是得到BA=4,BC=*g.还可得到‘£("1.

EFOB2

△BPF中，BP=2t,那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了.

在RtZXEFC中，CE=t,EF=2t,所以C尸=G.

因此8广4石-丙=√5(4/).

于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：

①当期="时，4=2z解得(如图1一2).

BcBF4√5√5(4-/)3

②当期=竺时，_4_=√sμ2n解得/U(⅛ιs1-3).

BCBPAElt1

4.如图所示，抛物线y=χ2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(-1,0)、(0,

-3).

(1)求抛物线的函数解析式：

(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与X轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE,

求出点D的坐标；

(3)在第二问的条件下，在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与aDOC

相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

第17页共30页

【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、C的值，即可得解；

（2）令y=0,利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0,m）,作EFLy轴

于点F,利用勾股定理列式表示出DC?与DE?,然后解方程求出m的值，即可得到点D的

坐标；

（3）根据点C、D、E的坐标判定aCOD和ADFE全等，根据全等三角形对应角相等可得

ZEDF=ZDCO,然后求出CD_LDE,再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD

是对应边；②Oe与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过

点P作PGLy轴于点G,再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长

度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标.

【解答】解：（1）：抛物线y=χ2+bx+c经过A（-1,0）、B（0,-3）,

.rl-b+c=O

C=-3

故抛物线的函数解析式为y=x2-2χ-3;

（2）令x?-2x-3=0,

解得Xi=-1,X2=3,

则点C的坐标为（3,0）,

∙.∙y=χ2-2x-3=（x-1）2-4,

，点E坐标为（1,-4）,

设点D的坐标为（O,m）,作EFLy轴于点F,

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VDC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+l2,

VDC=DE,

Λm2+9=m2+8m+16+l,

解得m=-1,

，点D的坐标为(0,-1)；

(3)：点C(3,0),D(0,-1),E(1,-4),

ΛCO=DF=3,DO=EF=L

根据勾股定理，CD=^Q02+θp2=^2^∕JQ,

在aCOD和aDFE中，

，C0=DF

V-Z∞D=ZDFE=90*-

DO=EF

Λ∆COD^∆DFE(SAS),

ΛZEDF=ZDCO,

又∙.∙NDCO+NCDO=90°,

二NEDF+/CDo=90。，

ΛZCDE=180o-90o=90o,

ΛCDIDE,

①分OC与CD是对应边时，

V∆DOC<^∆PDC,

.OCJ∣D

"DC=DP

3

过点P作PGJ_y轴于点G,

噂鲁1

VlO

第19页共30页

解得DG=I,PG,，

3

当点P在点D的左边时，OG=DG-DO=I-1=0,

所以点P（-L,0）,

3

当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2,

所以，点P（-ɪ-ɪ-2）；

②OC与DP是对应边时，

V∆DOC^∆CDP,

•

I0c_OD

DP3^DIC

即F

DP^

过点P作PGLy轴于点G,

#噎

贝DG

DF<

艮DG

3pɑl-

解得DG=9,PG=3,

当点P在点D的左边时，OG=DG-0D=9-1=8,

所以，点P的坐标是（-3,8）,

当点P在点D的右边时，OG=C）D+DG=1+9=10,

所以，点P的坐标是（3,-10）,

综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（二，0）、（！，-2）、（-3,8）、

33

（3,-10）.

第20页共30页

y

0),抛物线y=aχ2+bx-1过A、B两点，并与过A点的直

(1)求抛物线解析式及对称轴:

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P

的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N.

问：是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与aAOC相似，若存在，求出

点N的坐标，若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线y=aχ2+bχ-1,得

(0=4a-2b-l

lθ=16a+4b-l

(1

azT

'b」

解得14

12,

抛物线解析式为：y=8*4x

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二二一ɪm

2a2×∙⅛

.∙.抛物线对称轴为直线χ=-8

(2)存在

使四边形ACPo的周长最小，只需PC+P0最小

，取点C(0,-I)关于直线X=I的对称点C(2,-1),连CO与直线X=I的交点即为P

点.

设过点C、。直线解析式为：y=kx

/.k=-ɪ

ɔ

则P点坐标为CL,1)

(3)当AAOCSA1MNC时，如图，延长MN交y轴于点D,过点N作NEJ_y轴于点E

∙.∙ZACO=ZNCD,/AOC=NCND=90°

ΛZCDN=ZCAO

由相似，ZCAO=ZCMN

.∙.ZCDN=ZCMN

VMNlAC

；.M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为(a,-—3-1)

第22页共30页

由^EDNS40AC

.∙.ED=2a

点D坐标为(0,--U-D

VN为DM中点

，点M坐标为(2a,--1)

2

把M代入y=ɪv'-ɪr-h解得

84

a=4

则N点坐标为（4,-3）

⅛∆AOC^∆CNM⅛,ZCAO=ZNCM

；.CM〃AB则点C关于直线×=1的对称点U即为点N

由（2）N（2,-1）

,N点坐标为（4,-3）或（2,-1）

6.如图，已知直线y=-2x+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点P是线

段AB上一动点，过点P作PC,X轴于点C,交抛物线于点D.

（1）若抛物线的解析式为y=-2X2+2×+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与

△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）①如图1,

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Vy=-2×2+2x+4=-2(x--)2+一,

22

I9

・・・顶点为M的坐标为(L,一)，

22

当X=，时，y=-2χ1+4=3,则点N坐标为(1,3)；

222

②不存在.

理由如下：

93

MN=--3=一,

22

设P点坐标为(m,-2m+4),则D(m,-2m2+2m+4),

ΛPD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,

VPD//MN,

当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即-2m2+4m=^,解得mɪɪɪ(舍去),3

m2=一，

ɔ

此时P点坐标为(▲,1),

2

ɛlʒɑ"Z~~ιG

VPN=IɔJraI)二、’5,

1X/

ΛPN≠MN,

平行四边形MNPD不为菱形，

.∙.不存在点P,使四边形MNPD为菱形；

(2)存在.

如图2,0B=4,0A=2,则AB=√T+i=2及，

当X=I时，y=-2x+4=2,则P(1,2),

,PB="+(27。=、5，

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,

把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,

抛物线的解析式为y=aχ2-2(a+l)x+4,

第24页共30页

当X=I时，y=a×2-2(a+l)×+4=a-2a-2+4=2-a,则D(1,2-a),

.*.PD=2-a-2=-a,

VDC/7OB,

ΛZDPB=ZOBA,

.∙.当8。=划时，∆PDB^∆BOA,即4=2有，,解得a=-2,此时抛物线解析式为y=

-2X2+2X÷4:

PDPBαyβ

当8/=3。时，△PDBSABAO,即2/=4,解得a=-此时抛物线解析式为y=

--×2+3x+4;

ɔ

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为V=-2X2+2X+4或y=-：×2+3×+4.

7.如图1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=αχ2+bχ(α>o)经过点A和X轴

正半轴上的点B,AO=BO=I,/408=120。.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)连结OA4,求NAoM的大小；

(3)如果点C在X轴上，且AABC与AAOM相似，求点C的坐标.

图1

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【解析】AABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢？

本题由简到难，层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点/M的坐标，为第(2)

题求NA。/W的大小作铺垫；求得了NAoM的大小，第(3)题暗示了要在aABC中寻找与

NAoM相等的角.

(1)如图2-2,过点A作Ly轴，垂足为H.容易得到A(-∣.53).

再由A(7,√3),8(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为'、；I

⑵由门色、、2X■皂(XIf包.，得顶点M<1.'..

33333

Jy

所以lan∕国八/.所以NBO∕W=30∖所以/A。/W=I50。.

3

(3)由A(-1.j5)∖6(2,0),可得/48。=30。.

因此当点C在点B右侧时，∕A8C=∕AOM=15(Γ.

所以AABC与aAOM相似，存在两种情况：

①当"，Ol、行时，Be/"2.此时C(4,0)(如图3).

fi(OM√3√3

②当---：/=时,BC=^J3BΛ=V5x2∙VJ=6•此时C(8,0)(如图4).

图3图4

8.在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=-'χ2+bx+c经过点A(-2,O),B(8,0).

第26页共30页

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点，PDlBC,

垂足为点D.

①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由；

②当APDC与ACOA相似时，求点P的坐标.

【分析】(1)直接把点A(-2,0),B(8,0)代入抛物线的解析式中列二元一次方程组,

解出可得结论：

(2)先得直线BC的解析式为：V=×+4,

则当

①如图1,作辅助线，先说明RtZSPDE中，PD=PE∙sin/PED=PE∙sin∕OCB='3PE,

5

线段PE最长时，PD的长最大，设P(t,+三/+4),则E(t,-1∕÷4),表示PE的

422

长，配方后可得PE的最大值，从而得PD的最大值；

②先根据勾股定理的逆定理可得∕ACB=90。，则ACOASZSBOC,

所以当APDC与ACOA相似时，就有APDC与ABOC相似，分两种情况：

(I)若NPCD=NCBo时，BPRt∆PDC^RtΔCOB,

(II)若NPCD=NBCe)时,BPRtΔPDC<^>Rt∆BOC,

分别求得P的坐标即可.

【解答】解：(I)把A(-2,0),B(8,0)代入抛物线y=-'χ2+bx+c,

4

I-1-2b÷c~0[Λ——

得：：，解得：！2，

+=U[>=4

第2