竖直面内的圆周运动-2022-2023学年高一物理讲义（人教2019必修第二册）

第六章圆周运动

专题6竖直面内的圆周运动

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课程标准核心素养

1.掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型的分

1、物理观念：轻绳模型、轻杆模型。

析方法..

2、科学思维：能在竖直平面内做完整圆周运动的条件。

2.掌握竖直面内圆周运动的轻杆模型的分

3、科学探究：探究不同情况的最高点的临界情况。

析方法.

4、科学态度与责任：用所学的竖直平面内的知识解决生

3.竖直平面内内轨道、外轨道和双轨道问题

活生产中的问题。

敢知识精讲

上'知识点Ol竖直面内圆周运动的轻绳（过山车）模型

【导学探究】

如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运

动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”.

1.小球在竖直平面内的运动是匀速圆周运动吗？

答案不是

2.小球运动到最高点时向心力由什么力来提供？绳上拉力（或轨道的弹力）与速度有何关系？

答案由重力和绳的拉力（或轨道的弹力）的合力提供

最后J点：F+mg=nrγ

所以F=nrγ-nιg

3.试分析小球通过最高点的最小速度.

答案由于绳（轨道）不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力（弹力），由F+"7g="7可知，当F

=0时，。最小，最小速度为u=∙√迹.

4.分析小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系.

2

答案（I）O=亚时，"Ig="*,即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力（或轨道的压力）

为零.

7,2

(2)o<技时，m8>mγ,即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点.

(3)o>√还时，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重

,d

力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg+F-m-.

【即学即练D长为L的细绳，一端系一质量为根的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，

再给小球一水平初速度%,使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是

()

O

L

A.小球过最高点时的最小速度为零

B.小球过最高点时最小速度为2eE

C.小球开始运动时绳对小球的拉力为,“军

L

D.小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供

【答案】D

【解析】AB.根据

V2

mg=tn—

得小球通过最高点的最小速度

V=M

故AB错误；

C.在最低点，根据牛顿第二定律得

T-mg=m^-

解得绳子对小球的拉力

T=mg+m^-

故C错误；

D.在与圆心等高处，重力竖直向下，小球做圆周运动的向心力指向圆心，由绳子拉力提供，故D正确。

故选D。

02/17

叁,知识点02竖直面内圆周运动的轻杆（管）模型

【导学探究】

如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆（管道）的弹力作用下在竖直平面

内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”.

「I杆

tf

\\//

---------J

1.试分析小球通过最高点的最小速度.

答案由于杆（或管道）在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度。=0,

此时小球受到的支持力FN=mg.

2.分析小球在最高点时杆上的力（或管道的弹力）随速度的变化.

2

答案（1）。=病时，mg=〃隹，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆（或圆管）与小球间无作用力.

22

（2）,时，fng>%,即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力R"火一尸=7，BPF=

mg—nrγ,U越大，F越小.

2

（3）o>√，时，mg<n^,即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力（或压力）F.重力和拉力

（或压力）的合力充当向心力，mg+F=行，即尸=〃7—"吆，。越大，尸越大.

【即学即练2］如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R,小球半径为

r,重力加速度为g,则下列说法正确的是（）

A.小球在水平线而以上的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力

B.小球通过最高点时的最小速度%hl=Jg（R+'

C.小球在水平线外以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力

D.小球通过最高点时的最小速度％“=Jg（R+r）

【答案】A

【解析】BD.在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于。时，内管对

小球产生弹力，大小为，咫，故最小速度为0,故BD错误；

C.小球在水平线"以下的管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧

管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C错误；

A∙小球在水平线外以上的管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大

时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力，当速度比较小时，内侧管壁对小球有作用力，故A

正确。

故选Ao

Q能力拓展

1.两类模型对比

轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)

球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的

实例球与杆连接、球在光滑管道中运动等

“过山车”等

舜®

杆

图示(M

小

，—(卜―、

受力一■、、、

4'F共

mg

mgmgmg

示意mg

OOOOO

图

尸弹句下或等］F零尸弹向下、等于零或向上

力学V2V2

mg+F弹=m示mg±F弹=〃斥

方程

尸弹=0

V=O

临界

Omin一

mg=nτ~^-即尸向=O

特征

F辨=mg

即vmin^-∖[gR

⑴当。=0时，/弹=mg,F弹背离圆心

2

2v

v(2)当时，mg-F^=mγ尸弹背

(1)最高点，若F^i+mg=nr^,

讨论离圆心并随。的增大而减小

绳或轨道对球产生弹力尸弹

分析(3)当。=也天时，/弹=0

(2)若o＜痂，则不能到达最高点，即到

v2

达最高点前小球已经脱离了圆轨道(4)当。＞W时，mg+F弹="仄，尸弹指向

圆心并随。的增大而增大

2.解题技巧

(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程;

04/17

（2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；

（3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力.

考法Ol竖直面内圆周运动的轻绳（过山车）模型

【典例1】如图所示，质量为，"的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R,小球半

径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加

A.小球对圆环的压力大小等于∕ng

B.重力充当小球做圆周运动所需的向心力

C.小球的线速度大小等于历

D.小球的向心加速度大小等于g

【答案】A

【解析1A.因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，A

错误，符合题意：

BCD.小球经过圆环内侧最高点时，只受重力作用，即重力，咫充当小球做圆周运动所需的向心力，则有

V2

mg=m—=ma

R

即

a=g

BCD正确,不符合题意。

故选Ao

考法02竖直面内圆周运动的轻杆（管）模型

【典例2】如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯

管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为如重力加速度为g,则下列说法中

正确的是（）

/R

o

A.若VO=质,则小球对管内上壁有压力

B.若%>M，则小球对管内下壁有压力

C.若0<%<胸，则小球对管内下壁有压力

D.不论如多大，小球对管内下壁都有压力

【答案】C

【解析】A.在最高点，只有重力提供向心力时，有

Vo

mg=mT

解得

VO=厮

此时小球对管内壁无压力，故A错误；

B.若

%>麻

则有

„Vo

枢+冬=m~^

K

此时小球受向下的压力，这表明小球对管内上壁有压力，故B错误；

CD.若

0<vo<yfgR

则有

mg-F=m—

NK

此时小球受向上的支持力，表明小球对管内下壁有压力，故C正确，D错误。

故选Co

高分层提分

题组A基础过关练

1.如图所示，长为乙的轻绳一端系一质量为〃?的小球A,另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现

06/17

给小球一水平初速度VO,使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g,则

()

TO

'^^∙6J

A

A.小球过最高点时，速度可能为零

B.小球过最高点时，绳的拉力为∕*g

C.开始运动时，绳的拉力为阻破

L

D.小球过最高点时，速度大小为康

【答案】D

【解析】ABD.小球刚好越过最高点，可知FT=0,根据牛顿第二定律得

2

ιng=ιnV-

解得

V=原

故AB错误，D正确；

C.开始运动时，根据牛顿第二定律得

Fɛτ-mg=r∏VQ:

解得

,Vθ

卜p丁二,ng+mj∙

故C错误。

故选Do

2.如图所示，半径为心的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小

球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，已知重力加速度为g,设小球经过最高点P时的速度为V,则

A.V的最小值为

B.v若增大，球所需的向心力也增大

C.当丫由疯逐渐减小时•，轨道对球的弹力也减小

D.当U由病逐渐增大时，轨道对球的弹力也减小

【答案】B

【解析】A.由于小球在圆管中运动，在最高点速度可以是零，A错误;

B.根据向心力公式有

F11=m-

L

U若增大，小球所需的向心力一定增大，B正确；

C.小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当

V=而

时，轨道对小球的弹力是零，因此V由病逐渐减小时，即兴疯，小球的重力大于所需向心力，轨道

时小球有向上的弹力，由牛顿第二定律可得

F=mg-m—>O

随v的减小，轨道对小球的弹力增大，C错误；

D.□由逐渐增大时，即v＞痴，重力小于小球所需向心力，此时轨道对小球有向下的弹力，由牛顿

第二定律可得

F=m--mg>O

随V的增大，轨道对小球的弹力也增大，D错误。

故选Bo

3.如图所示，某轻杆一端固定一质量为根的小球，以另一端。为圆心，使小球在竖直平面内做半径为

R的圆周运动，重力加速度为g,以下说法中正确的是（）

08/17

Q-、、

A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零

B.小球过最高点时，最小速度为^

C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反

D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作

用力

【答案】D

【解析】A.小球在最高点时，如果速度恰好为屈，则此时恰好只有重力提供向心力，杆和球之间没有

作用力，杆所受弹力是零，A错误；

B.小球过最高点时，由于轻杆可以支持小球，因此最小速度可以是零，B错误

C.小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上，与重力方向一定相反，C错误。

D.小球过最高点时，如果速度小于胸，则重力大于所需要的向心力，杆就要对小球有支持力，方向

与重力的方向相反，由牛顿第二定律可得

∕ng—F=in—

R

杆的作用力

F=me-m—

R

此时重力一定大于或等于杆对球的作用力，D正确.

故选Do

4.如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为加，运动半径为R,角速

度大小为⑶重力加速度为g,则座舱（）

座舱

A.运动周期为B.在最低点受摩天轮的作用力为加。2R

ω

C.受摩天轮作用力的大小始终为〃际D.所受合力的大小始终为极/R

【答案】D

【解析】A.根据角速度的定义式。=丝可知，3=空,所以T=空，A错误；

BC.匀速圆周运动的向心力始终指向圆心，座舱在最低点时，向心力竖直向上，座舱所受摩天轮的作用

力为

FNi=mg+mω2R

而座舱在最高点时，向心力竖直向下，座舱所受摩天轮的作用力为

FN2=mg?ma）2R

BC错误；

D.做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，即座舱所受合力大小始终为

F,,=mω2R

D正确。

故选D«

5.如图示，在竖直平面内有一半径为R的半圆形轨道，最高点为P点。现让一小滑块（可视为质点）从

水平地面上向半圆形轨道运动，重力加速度为g,小滑块通过尸点时的速度为下列关于小滑块运动

情况的分析正确的是（）

A.若小滑块恰能通过P点，则离开P点后做自由落体运动

B.若vP>0,则小滑块能通过尸点，且离开P点后做平抛运动

C.若VP=质,则小滑块恰能到达P点，且离开P点后做自由落体运动

D.若VP=廊,则小滑块恰能到达P点，且离开尸点后做平抛运动

【答案】D

【解析】滑块恰好通过最高点P时，由重力完全提供向心力，有

V；

mg=m—

解得

10/17

VP=y∕gR

所以若vP>O,则小滑块不一定能通过P点：小滑块恰能到达P点，则离开尸点后做平抛运动。

故选D。

6.（多选）如图所示，轻杆一端固定在水平转轴。上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆

周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力（）

A.方向一定竖直向上

B.方向可能竖直向下

C.大小可能为0

D.大小不可能为0

【答案】

BC

【解析】

设杆长为凡当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有=解得

v=y∣gR,当时，杆对小球提供拉力，当。<我时，杆对小球提供支持力，故B、C正确，A、D错

、口

庆.

题组B能力提升练

7.如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为〃，的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球

运动到最高点时绳对小球的拉力为FT,小球在最高点的速度大小为V,其f>v2图像如图乙所示，则

（）

A.数据。与小球的质量无关

B.当地的重力加速度为二

a

C.当V2=C时，轻质绳的拉力大小为F+a

b

D.当v2=26时，小球受到的拉力与重力大小相等

【答案】D

【解析】AB.设绳长为R,由牛顿第二定律知小球在最高点满足

2

Er+mg=m—

即

Er

=吟Tng

由题图乙知α=mg,b=gR

所以

a

g=—

tn

R=此

a

故AB错误;

CD.当v2=c时∖有

耳I+Wg=

K

将g和R的值代入得

Lac

ErI=-----a

τ'b

故C错误;

D.当v2=2b时，由

L2b

F∙r2+mgf

可得

Fτ2=a=mg

即拉力与重力大小相等，故D正确。

故选D,,

8.（多选）如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动.当小球运动到圆形管道的最高点时，

管道对小球的弹力与过最高点时小球的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）∙MN为通过圆

心的一条水平线.不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g.则下列说法中正确的是（）

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乙

⅛

-

A

g

£

质量为

小球的

B∙

O

用力

能有作

小球可

管壁对

，内侧

运动时

管道中

以下的

MN

球在

C.小

力

有作用

球一定

壁对小

外侧管

动时，

道中运

上的管

N以

在M

小球

D.

B

】A

【答案

】

【解析

h

/

=

以〃?

a所

，mg=

o时

当"=

确；

A正

%,故

得R=

^解

=nr

，mg

=O时

/7N

。2=b,

，当

乙可知

由题图

f

f

要提

壁必然

，则管

向圆心

向要指

力的方