易错点13 排列组合与二项式定理-2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

易错点13排列组合与二项式定理

易错题［oil求解“至少”问题计数重复

排列组合中有一类“至少”问题，若使用分步计数很容易出现计数重复，如从123,4中任取2个

数字,至少有1个偶数，问有多少种不同取法,若先取1个偶数，再从另外3个数中任取1个，

计数会重复，这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题，一般是分类求解，

如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数.

易错题［02］利用分步乘法原理计数,分步标准错误

仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，

一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类

办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理;

如果完成一件事需要分成〃个步骤，缺一不可，即需要依次完成〃个步骤，才能完成这件事，而完

成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.

易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分”

平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各

堆再全排列，平均分堆不到指定位置,其分法数为：生均髓,隽仪翼对于分堆与分配问题

应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相

同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的"盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成

(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组.

易错题［04］计数时混淆有序与定序

有序是指元素排列有顺序的区别，元素相同，位置不同是不同的结果，定序是指不同元素的相

对位置固定，不同元素的定序排列可看作组合问题，此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,

可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.

易错题［05］混淆二项式系数与系数

要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.(a+勿”的展开式中第r+1项的系数是

C；淇值只与“/有关，与凡。无个,系数是该项中的常数，在伍+份”的展开式中,系数最大的项

是中间项；但当a,b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公

式,根据系数的增减性具体讨论而定.

01

(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球

和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者,

则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【警示】本题出错的主要原因是重复计数：先让其中4名志愿者各分一个项目,结果有

8=120中，最后一名志愿者再任选一个项目，所有不同的分配方案共有480种，故选D.

【答案】C

【问诊】根据题意，有个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5

名志愿者中任选2人，组成•个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素,四个项

目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法

原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，故选C.

【叮嘱】求解至少问题，一般是先分组，后排列.

支式练习〉〉

1.（2017年高考数学课标II卷理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每

项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【答案】D

【解析】解法一：分组分配之分人

首先分组将三人分成两组,•组为三个人，有用=6种可能，另外一组从三人在选调•人，有C；=3

种可能：其次排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有&=2种可能；共计有36种可能.

解法二：分组分配之分工作

工作分成三份有C：=6种可能，在把三组工作分给3个人有禺=6可能,共计有36种可能.

解法三：分组分配之人与工作互动

先让先个人个完成一项工作，有用=24种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有C；=3

利।可能，但由两项工作人数相同，所以要除以用=2,共计有36种可能.

解法四：占位法

其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有&.猿=18中可能；剩下的两项工作

由剩下的两个人去完成,即有用=2种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.

解法五：隔板法和环桌排列

首先让其环桌排列,在插两个隔板，有C：=6种可能，在分配给3人工作有用=6种可能，按分

步计数原理求得结果为36种可能.

2.（2018年高考数学课标卷I（理））从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少

有1位女生入选,则不同的选法共有种..（用数字填写答案）

【答案】16

2

【解析】方法-：直接法,1女2男，有C21c42=12,2女1男，有C2C4'=4

根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，

33

方法二，间接法：C6-C4=20-4=16^.

02

把3个不同的小球投入到4个盒子，所有可能的投法共有（）

A.24种B.4种C.43种D.34种

【警示】本题错误解法是：因为每个盒子有三种投入方法，共4个盒子，所以共有3x3x3x3=

3，（种）投法.

【问诊】错误原因是没有考虑每个球只能投入一个盒子中，导致错误

【答案】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投

入盒子中也有4种投法.只要把这3个球投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得

共有43种方法，故选C

【叮嘱】利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺

序的,并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算

完成这件事.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续,

逐步完成.

变式练习

1.己知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为

（）

A.32B.23

C.43D.24

【答案】B

【解析】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法,

同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，

则从一层到四层共有2x2x2=23种走法.故选B.

2.在生物学研究过程中,常用高倍显微镜观察生物体细胞.己知某研究小组利用高倍显微镜观

察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示,为了方便研究，现在利用

甲、乙等四种不同的试剂对A、B、C、D、E、尸这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞

不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C细胞染色,则共有种不同的染色方法(用数字

作答).

【答案】90

【解析】不考虑甲试剂不能对C细胞染色，则。细胞的染色试剂有4种选择.

①若C、E细胞的染色试剂相同，有3种选择.A、8细胞可以用剩余2种试剂进行染色，有2种

方法，则F细胞的染色试剂有2种选择，

此时洪有4x3x2x2=48种不同的染色方法；

②若C、E细胞的染色试剂不同，有3x2种不同的染色方法,F细胞的染色方法只有1种，

若A、E细胞的染色试剂不同，则A细胞的染色试剂只有1种,B细胞的染色试剂只有1种；

若A、E细胞的染色试剂相同，则8细胞的染色试剂有2种.

此时，共有4x3x2x(l+2)=72种不同的染色方法；

综上所述,不考虑甲试剂不能对C细胞染色，染色方法种数为48+72=120种；

现在考虑用甲试剂对C细胞染色，则。细胞的染色试剂有3种选择.

①若C、E细胞的染色试剂相同，则A、8细胞可以用剩余2种试剂进行染色，有2种方法,F

细胞的染色试剂有2种，

此时，共有3x2*2=12种不同的染色方法；

②若C、E细胞的染色试剂不同，则E细胞的染色试剂有2种选择，尸细胞的染色试剂只有1

种.

若A、E细胞的染色试剂不同，则A细胞的染色试剂只有1种,8细胞的染色试剂只有1种,

若A、E细胞的染色试剂相同，则B细胞的染色试剂有2种.

此时洪有3x2x（2+l）=18种不同的染色方法.

综上所述,当用甲试剂对C细胞染色时，染色方法种数为12+18=3（）种.

因此,符合条件的染色方法种数为120-30=90种.

03

某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2

名，则不同的安排方案种数为（）

A.4第B.我盘C.4段D.2A；

2

【警示】本题若混淆均分与非均分,会误选A

【问诊】因为是均分,要除以A；.

C2

［答案］先将4名学生均分成两组方法数为当，再分配给6个年级中的2个分配方法数为履,

A

r2/p

根据分步计数原理合要求的安排方法数为一故选B.

为

【叮嘱】要注意均分与非均分的区别.

支式练习〉〉

1.（2022届江苏省南京市高三上学期期中）集合M={1,2,3,4,5},N={4,5,6},以M为定义域,

N为值域的函数的个数为（）

A.60B.150C.540D.1

【答案】B

【解析】由题意可知求以M为定义域,N为值域的函数的个数相当于把5个不同的球放入3

个不同的盒子中,且盒子不能空的放法，先将5个不同的球分成3组,不同的分法有

营+堂种然后每个盒子中放一组即可，所以共有

z~»2

&=25x6=150种,所以以M为定义域,N为值域的函数的个数为150,

故选B

2.（多选题）（2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试）有6本不同的书，按下列方式进行

分配，其中分配种数正确的是（）

A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本，有15种分法；

B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；

C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；

D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有108（）种分法；

【答案】BD

【解析】对于A,6本不同的书分给甲、乙、内三人,每人各2本，共有=15x6=90种分法,A

错误；对于B,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，共有

T"A；=15x6=90种分法,B正确；对于C.6本不同的书分给甲乙每人各2本，丙丁每人各1

A；

本，共有C：C：C；=180种分法,C错误；对于D,6本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各2本,

另两人各1本，共有=45x24=1080种分法,D正确;

故选BD.

04

身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮,不同的排法有（）

A.5040种B.720种C.240种D.20种

【警示】本题错误解法是：最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有

A：=120种排法，第二步：排右边，有A；种排法，根据分步乘法计数原理洪有120x6=720种,

故选B.

【问诊】错误原因是混淆有序与定序

【答案】最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边,因顺序固定有20种

排法，第二步:排右边，因顺序固定，有1种排法，根据分步乘法计数原理，共有20x1=20种，故选

D.

【叮嘱】这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序，有序问题是排列问题；“定序”是指

元素的相对顺序固定，定序问题可看作组合问题，如本题先选3人排左边,排法是C；,不是

变式练习〉〉

1.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个

新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.504B.210C.336D.120

【答案】A

【解析】将3个新节目插入节目单中，共有9个节目，原来的6个节目顺序不变.

分两步：先从这9个位置中任选3个位置安排插入的3个新节目，共有A；种方法；再把原来

的6个节目按原来顺序安排到剩余的6个位置，共有1种方法.故共有A；xl=504种不同的

方法.故选A

2.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变,则不同的调整

方案的种数有（）

A.35B.70C.210D.105

【答案】A

【解析】根据题意，由于班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，那么其余的4人

的位置不变，则可知从7个中任意选3个,所有的情况有仁=35，其余4个人的位置只有一种,

那么可知一共有35种，故选A.

05

（2018年高考数学课标ni卷（理的展开式中/的系数为（）

A.10B.20C.40D.80

【警示】本题错误解法是：展开式的通项公式为广［=C；-2r-x,°-3r,

令10-3r=4,解得厂=2,故含/的系数为c：=10.故选A.

【答案】C

【问诊】错误解法是混淆二项式系数与系数，正确解法是：展开式的通项公式为

C；（炉y=q-2r-,令10—3r=4,解得r=2,故含/的系数为C；.22=4（）,

故选C.

【叮嘱】系数展开项中字母前的常数.

变式练可，》

1.（2022届上海市奉贤区高三一模）已知（或+击）的二项展开式中,前三项系数成等差数

列，则〃的值为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】依题意,（«+壶）的二项展开式通项：""五）"，（壶/=舁;资产，

reN/W〃，于是有：C«+lc>2xlc^>Wl+Z^^=n,EP/72-9n+8=0,ifl]H>2>W

42o

〃=8,所以”的值为8.故选B

2.（2022届重庆市南开中学高三上学期12月月考）已知二项式（2》-9）的展开式中共有8

项，则下列说法正确的有（）

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第5项D.有理项共3项

【答案】AB

【解析】二项式的展开式中共有8项，则〃=7,

选项A：所有项的二项式系数和为2?=128.故A正确；

选项B：令x=l,则（2x1-9）=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确；

选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；

选项D：二项式的展开式的通项为&=孰（2》产（_9）=C；（-1）'2"J4，

当r=0,2,4,6时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确.

故选AB.

易错题通关

1.己知（l+2x）"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

()

A.512B.210

C.211D.212

【答案】A

【解析】：(l+2x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,•••C；=C：,解得〃=10,对

于二项式(l+2x)",令x=可得其展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和为0,即奇数

项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，又因为所有二项式系数之和为2%，

(l+2x)"的展开式中奇数项的二项式系数和为;X2'°=29=512,

故选A.

2.疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名同学去甲、乙两个核酸

检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有()

A.10种B.20种C.50种D.70种

【答案】C

【解析】根据题意，分2种情况，

⑴①将6人分为人数为2和4的2组，有C：=15种分组方法，

②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点，有"=2种情况，则有15x2=30种不同的安排方

法；

(2)①将6人分为人数为3和3的2组，有9=1()种分组方法，

②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点，有6=2种情况，则有10x2=20种不同的安排方

法；

不同的安排方法有30+20=50,故选C.

3.(2022届云南省三校高三联考)昆明市博物馆十一-期间同时举办“滇池地区青铜文化精品展”

、“恐龙化石展”、“清代云南名家扇面精品展”、“馆藏明代民窑青花瓷展''四个展览，某代表团决

定在十一黄金周期间某一天的上、下午各参观其中的一个，且“滇池地区青铜文化精品展”、

“恐龙化石展”至少参观一个，则不同的参观方案共有()

A.6种B.8种C.10种D.12种

【答案】C

【解析】根据题意，分2种情况讨论

①该代表团只参观一个，在“滇池地区青铜文化精品展”、“恐龙化石展”中任选1个，

有C；=2种选法，

可以在“清代云南名家扇面精品展”、“馆藏明代民窑青花瓷展''中任选1个，

有C；=2种选法，

将选出的2个展览安排在十的上、下午，有A；种情况，

则只参观一个的方案有2x2x2=8种；

②该代表团参观两个，将“滇池地区青铜文化精品展”、“恐龙化石展“全排列，安排在十一某天

的上、下午，

有A；种情况，即参观两个有2种方案，

综上所述：不同的参观方案共有8+2=10个.

故选C.

4.（2022届山西省大同市高三上学期12月月考）为迎接第24届冬季奥林匹克运动会,某校安

排甲、乙、丙、丁、戍共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛

项目至少安排1人，则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为（）

A.—B.—C.-D.一

3456

【答案】A

【解析】先考虑全部的情况，即将5名学生分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1,

所有将5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，

不同的排法种数为（仁+等

A；=150种；接下来考虑学生中被安排到冰球比赛项且做志

愿者，则做冰球志愿者的人数可为1或2或3,若做冰球志愿者的人数为1且为甲，共有

C：+C：&=14种：若做冰球志愿者的人数为2且包含甲洪行=24利］；若做冰球志愿

者的人数为3且包含甲，共有C：密=12种.因此，所求概率为好喘上=g.故选A.

5.（多选题）已知3+与"的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A.7B.8

C.9D.10

【答案】ABC

【解析】若展开式只有第五项的二项式系数最大，则2+1=5,解得：〃=8；若展开式第四项

2

和第五项的二项式系数最大，则等=5,解得：〃=7；若展开第五项和第六项的二项式系数

最大，则琮=5,解得：〃=9；故选ABC

6.(多选题)(2022届河北省邯郸市高三上学期强化训练)在二项式(1-4x)8的展开式中,下列结

论正确的是()

A.第5项的二项式系数最大B.所有项的系数和为38

C.所有奇数项的二项式系数和为-27D.所有偶数项的二项式系数和为27

【答案】ABD

【解析】选项A：二项式(l-4x『展开式式共有9项,有二项式系数的性质可知第5项的二项

式系数最大，故A正确；

选项B：令x=l,可得所有项的系数和为(1-4)8=38,可知B正确；

选项C：所有奇数项的二项式系数和为28T=27,C错误；

选项D：所有偶数项的二项式系数和为28T=27,D正确.

故选ABD

7.(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：

(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝4,8,C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F；

(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G4,C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H；

(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝则下列结论正确的是()

A.最高处的树枝为G,/中的一个

B.最低处的树枝一定是尸

C.这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种

D.这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种

【答案】AC

【解析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GA8CEE还剩下。.乩/,且树枝/比C高,

树枝D在树枝B.E之间，树枝H比O低，最高可能为G或/,最低为F或4故A选项正确,B错

误；

先看树枝/，有4种可能，若/在B,C之间,

则。有3种可能：①。在之间.，有5种可能；

②。在LC之间.//有4种可能；

③。在C,E之间，”有3种可能,

此时树枝的高低顺序有5+4+3=12（种）.

若/不在从C之间，则/有3种可能,D有2中可能，

若。在B.C之间，则”有3种可能，

若。在C.E之间，则H有二种可能，

此时树枝的高低顺序有3x（4+3）=21（种）可能,

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有12+21=33种，故C选项正确.

故选AC.

8.（多选题）2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4

名医生到A,B,C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则

下列结论正确的是（）

A.所有不同分派方案共43种

B.若每家企业至少分派I名医生，则所有不同分派方案共36种

C.若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共3