文科导数讲义

导数专题一、导数的根本概念〔1〕平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f〔x+〕－f〔x〕，比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间的平均变化率，即=〔2〕瞬时变化率：当时，此时的就叫做瞬时变化率2.导数的定义如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f〔x〕在点x处的导数，记作f′(x)或y′|。即f′〔x〕==。说明：〔1〕函数f〔x〕在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。〔2〕是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f〔x〕在点x处的导数的步骤：①求函数的增量=f〔x+〕－f〔x〕②求平均变化率=③取极限，得导数f’(x)=例1．在处可导，那么2-1例2．f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求以下极限：〔1〕；〔2〕例3．设f(x)=x|x|,那么f0)=习题精炼：1.在内的平均变化率为〔〕A．3B．2C．1D．02.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为〔〕A．B．C．D．3.质点运动动规律，那么在时间中，相应的平均速度为〔〕A．B．C．D．在附近的平均变化率是____5.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为〔〕Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度6.在=1处的导数为〔〕A．2B．2C．D．1函数,那么，＝.在高台跳水运动中,t秒时运发动相对于水面的高度为,那么运发动在1秒时的瞬时速度为,此时运动状态是函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率是f〔x〕。相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x－x〕。例1：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 () A．3 B．2 C．1 D．0例2：求函数过点〔1,1〕的切线例3：直线与相切，求K的值例4：求在点和处的切线方程。根本函数的导数公式:①〔C为常数〕②③;④;⑤⑥;⑦;⑧例1：以下求导运算正确的选项是(B)A．(x+B．(log2x)′=C．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2005(x)＝ (C)A． B． C．D．－导数的运算法那么假设的导数都存在，那么：①②为常数〕；③④例1：求以下函数的导数〔1〕(2〕例2：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)[解析]：∵当x＜0时,＞0，即∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0故当时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)＜0应选D习题精炼：1.曲线求(1).曲线在P(1,1)处的切线方程.(2).曲线过点Q(1,0)的切线方程.(3).满足斜率为-的切线的方程.2.求在点和处的切线方程。3.【2012高考真题陕西理7】设函数，那么〔〕A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点4.【2012高考真题辽宁理12】假设，那么以下不等式恒成立的是(A)(B)(C)(D)5.【2012高考真题全国卷理10】函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，那么c＝〔A〕-2或2〔B〕-9或3〔C〕-1或1〔D〕-3或16.〔福建理10〕函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断： ①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7.〔湖南文8〕函数假设有那么的取值范围为A．B．C．D．8.〔全国Ⅰ文4〕曲线在点〔1,0〕处的切线方程为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、导数的应用〔1〕设函数在某个区间〔a，b〕可导，如果，那么在此区间上为增函数；如果，那么在此区间上为减函数。〔2〕如果在某区间内恒有，那么为常数。简单函数单调性例1.函数的图象如下图〔其中是函数的导函数〕，下面四个图象中的图象大致是()[解析]：由函数的图象可知：当时，<0，>0，此时增当时，>0，<0，此时减当时，<0，<0，此时减当时，>0，>0，此时增应选C例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：假设，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾假设，∴，也只有一个单调区间，矛盾假设∵，此时恰有三个单调区间∴且单调减区间为和，单调增区间为例3.函数的图象过点P〔0,2〕,且在点M处的切线方程为.〔Ⅰ〕求函数的解析式；〔Ⅱ〕求函数的单调区间.解：〔Ⅰ〕由的图象经过P〔0，2〕，知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是〔Ⅱ〕解得当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.含有参数的函数单调性例1：函数，其中(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求证：对，都有。定区间上函数单调性例1：，假设函数在〔-1,1〕内是减函数，求的范围。例2：函数f〔x〕=x-3ax+3x+1。〔Ⅰ〕设a=2，求f〔x〕的单调期间；〔Ⅱ〕设f〔x〕在区间〔2,3〕中至少有一个极值点，求a的取值范围。例3：函数设在区间〔2,3〕中至少有一个极值点，求的范围。例4函数，xQUOTE其中a>0.〔I〕求函数的单调区间；〔II〕假设函数在区间〔-2，0〕内恰有两个零点，求a的取值范围；〔III〕当a=1时，设函数在区间上的最大值为M〔t〕，最小值为m〔t〕,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。【答案】在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间〔a，b〕内连续函数f〔x〕不一定有最大值，例如。〔1〕函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。〔2〕函数的最大值、最小值是比拟整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比拟极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值那么可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。简单的求极值最值例1：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是.[解析]：由=0，得，当时，>0，当时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为，而故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。例2：设，集合，，.〔1〕求集合〔用区间表示〕〔2〕求函数在内的极值点.【答案】【解析】〔1〕令，。①当时，，方程的两个根分别为，，所以的解集为。因为，所以。②当时，，那么恒成立，所以，综上所述，当时，；当时，。〔2〕，令，得或。①当时，由〔1〕知，因为，，所以，所以随的变化情况如下表：0↗极大值↘↗所以的极大值点为，没有极小值点。②当时，由〔1〕知，所以随的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以的极大值点为，极小值点为。综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。例3：函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值。解：〔=1\*ROMANI〕〔=2\*ROMANII〕以下分两种情况讨论。〔1〕＞，那么＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗〔2〕＜，那么＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗恒成立与能成立问题例1：函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.〔1〕假设对一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；〔2)在函数f(x)的图像上去定点A〔x1,f(x1)〕,B(x2,f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈〔x1,x2〕,使恒成立.【答案】解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.①令那么当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，的取值集合为.〔Ⅱ〕由题意知，令那么令，那么.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.例2：设函数在及时取得极值．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕假设对于任意的，都有成立，求c的取值范围．例3：函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；〔Ⅱ〕设当时，假设对任意，存在，使，求实数取值范围.例4：设函数〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设函数在内没有极值点，求的取值范围；〔3〕假设对任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。交点个数的问题例1：是函数的一个极值点。〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求函数的单调区间；〔Ⅲ〕假设直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。例2：函数求的单调区间在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。习题精炼：1.【2012高考真题广东理21】〔本小题总分值14分〕设a＜1，集合，，。〔1〕求集合D〔用区间表示〕；〔2〕求函数在D内的极值点．2.【2012高考真题安徽理19】〔本小题总分值13分〕设。〔=1\*ROMANI〕求在上的最小值；〔=2\*ROMANII〕设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】〔=1\*ROMANI〕设；那么，=1\*GB3①当时，在上是增函数，得：当时，的最小值为。=2\*GB3②当时，，当且仅当时，的最小值为。〔=2\*ROMANII〕，由题意得：。3.【2012高考重庆文17】〔本小题总分值13分〕函数在处取得极值为〔1〕求a、b的值；〔2〕假设有极大值28，求在上的最大值．【解析】〔Ⅰ〕因故由于在点处取得极值故有即，化简得解得〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，令，得当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数当时，故在上为增函数。由此可知在处取得极大值，在处取得极小值由题设条件知得此时，因此上的最小值为4.【2012高考湖北文22】〔本小题总分值14分〕设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在〔1，f(1)〕处的切线方程为x+y=1.〔1〕求a,b的值；〔2〕求函数f(x)的最大值〔3〕证明：f(x)<.【答案】5.〔江西理19〕设.〔1〕假设在上存在单调递增区间，求的取值范围；〔2〕当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.6.【2012高考安徽文17】〔本小题总分值12分〕设定义在〔0，+〕上的函数〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕假设曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】〔=1\