2022数学第五章数列第一节数列的概念与简单表示法教师教案文

第一节数列的概念与简单表示法授课提示：对应学生用书第88页[基础梳理]1.数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公一广数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an=f(n)表示，这个公式叫作数列的通项公式前n项和前n项和2。数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图像法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a₁和an+1=f(an)或a₁,a₂和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn,4.4.数列的分类按项与项间的大小关系分类按项数分类数列1.与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N+或其有限子集数列的图像是一群孤立的点.2.周期性：若an+k=an(n∈N+,k为非零正整数),则{an}为周期[四基自测]1.(基础点：数列的项)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,3.(基础点：数列的前n项和)设Sn为数列{an}的前n项和，已答案：5一个通项公式gn=授课提示：对应学生用书第89页考点一数列的项与通项公式挖掘1判断通项公式/自主练透[例1](1)下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…,的通项公式的是()[答案]C④)错误!,1,错误!,错误!,…;[解析]①符号问题可通过(一1)n或(一1)绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)(6n-5).∴an=错误!错误!。③各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3。因此把第1项变为一错误!,原数列可化为一错误!,错误!,—错误!,错误!,…,④将数列统一为错误!,错误!,错误!,错误!,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b,=2n+1,对于分得分母的通项公式为cn=n²+1,因此可得它的一个通项公式为an=错误!。的是逻辑推理与归纳.化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.由于只给出了部分规律，符合这几个特殊项的通项公式并不唯。(1)分式中分子、分母的特征；(4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、(5)对于正负号交替出现的情况，可用(一1)*或(-1)+1,k∈N+处理.挖掘2判断数列的项/自主练透,则2错误!是这个数列5,错误!,错误!,…,据此可得数列的通项公式为：an=错误!,由错误!=2错误!,解得：n=7,即2错误!是这个数列的第7项.[答案]B②83是否为该数列的项，如果是，是数列的第几项.②如果n²+2n+3=83,即n²+2n-80=0.故83是这个数列的第8项.考点二已知递推关系求通项公式挖掘求通项公式/互动探究所以an+1—an=|n所以an—a₁=|n以上n-1所以数列{an}的通项公式为an=(3)设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+i=2an-t,解得t=—3,故递推公式为an+1+3=2(an+3).所以{bn}是以b₁=4为首项，2为公比的等比数列.所以b₁=4×2n~1=2n+1,即an=2n+1-3.(27·an)+1.的等比数列.于是，an=错误!=3错误!错误!—2错误!错误!.(6)由题意知an>0,将an+1=a错误：两边取常用对数得到lgan+1—2lgJ,所以数列{lgan}是以lga₁=lg3为首项，2为公比的等比数列.所以lgan=(lg3)[破题技法]常见求通项公式的方法方法转化过程适合题型累加法(f(n)可求和)累乘法错误!×错误!×…×错误!×错误!—错误!错误!=f(n),f(n)可求积构造法由an+1=pan+q化为an+1+m=p(an+m),构造{an+m}为等比数列辅助数列法由gn+n=pan+g¹化为错误!=错误!+错误!,放入辅助数列{bn},bn+1=错误bn+错误!,再构造数列取倒数法an=错误!取倒数得错误!=错误!·错误!十错误!,今bn三错误取对数对an=pah-1化为p考点三Sn与an的关系的应用挖掘1已知Sn求an/自主练透[解析]a₂=S₂-S₁=(22-1)-(21-1)=2,a₆=S₆-Ss=(26—1)—(25—1)=2⁵=32,∴a₂·a₆=64。[答案]D(2)(2020·广东化州第二次模拟)已知Sn为数列{an}的前n项挖掘2已知Sn与an的关系/互动探究[例2](1)(2018·高考全国卷I)记Sn为数列{an}的前n项和，若S,=2gn+1,则S₆=.∴数列{a,}是首项a₁为-1,公比q为2的等比数列，东江门模拟)记数列{an}的前n项和为Sn,若[解析]∵2Sn=an+1,[答案]-1[破题技法]Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.(1)利用an=Sn—Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式，再求求解.1.在例2(2)中，{an}的通项公式an=2.在例1(1)中，可否求通项公式an?a₁=1适合an=2n~1,考点四数列的性质以上各式相加得an—a₁=n²-n,n≥2,所以an=n²-n+20,n≥2,以错误!=n十错误!—1,n∈N+,所以错误!的最小值为错误!=错误!=8,故选C。[破题技法]1。类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列{an},如果存在一个常数T(T∈N+),使得对于任意的正整数n>no,恒有an+r=an成立，那么称数列{an}是从第no项起的周期为T的周期数列.若no=1,则称数列{an}为纯周期数列；若no≥2,则称数列{an}为混周期数列.T的最小值称为最小正周期，简称周期.2.解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性地出现后，便可由此确定该数列的最小求得该项的值.3.求数列的最大项、最小项的常见方法解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项.解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的最小项.(2)利用函数思想①数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数.②根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项.③给出一个数列{an},若能够判断数列{an}为递增数列，则该数列具有以下性质：反之，若该数列为递减数列，则有a₁>a₂>…>an>…,故(an)同源异考重在触类旁通的值为()解析：在数列{an}中，a₁=—所以a₂=1一错