空间直角坐标系与两点间的距离

关于空间直角坐标系与两点间的距离问题1:

数轴上的点M的坐标用一个实数x表示，它是一维坐标；平面上的点M的坐标用有序实数对（x，y）表示，它是二维坐标.OxxOx(x,y)y空间内点位置能用两个数来描述吗？该如何描述呢？第2页,共37页，2024年2月25日，星期天中国国家大剧院第3页,共37页，2024年2月25日，星期天中国国家大剧院第4页,共37页，2024年2月25日，星期天怎样确切的表示室内灯泡的位置？问题2第5页,共37页，2024年2月25日，星期天墙墙地面

下图是一个房间的示意图,下面来探讨表示电灯位置的方法.z134x4y15O(4,5,3)第6页,共37页，2024年2月25日，星期天oxyz从空间某一个定点０引三条互相垂直且有单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系０－xyz．

点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、和

zOx平面．第7页,共37页，2024年2月25日，星期天oxyz

在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．说明:

☆本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.第8页,共37页，2024年2月25日，星期天空间直角坐标系的画法:oxyz1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．第9页,共37页，2024年2月25日，星期天坐标面把空间分成每一个部分叫卦限八个部分Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ第10页,共37页，2024年2月25日，星期天合作探究：

有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点M怎样来表示它的坐标呢？经过M点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序数组（a,b,c)叫做点M的坐标.记为：M（a,b,c)yxzM’OMcba第11页,共37页，2024年2月25日，星期天

反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．空间直角坐标系yxzM’OMRQP第12页,共37页，2024年2月25日，星期天空间直角坐标系yxzPM’QOMR

这样空间一点M的位置可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．第13页,共37页，2024年2月25日，星期天如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）第14页,共37页，2024年2月25日，星期天如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOy的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?第15页,共37页，2024年2月25日，星期天如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面yOz的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?第16页,共37页，2024年2月25日，星期天如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例1yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOz的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?第17页,共37页，2024年2月25日，星期天

在空间直角坐标系中，x轴上的点、y轴上的点、z轴上的点，xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？总结:x轴上的点的坐标的特点：xOy坐标平面内的点的特点：xOz坐标平面内的点的特点：yOz坐标平面内的点的特点：y轴上的点的坐标的特点：z轴上的点的坐标的特点：Ｐ（x，0，０）Ｐ（０，y，０）Ｐ（０，0，z）Ｐ（x，y，０）Ｐ（０，y，z）Ｐ（x，0，z）第18页,共37页，2024年2月25日，星期天Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅠ(+,+,+)Ⅲ(-,-,+)Ⅱ(-,+,+)Ⅳ(+,-,+)Ⅵ(-,+,-)Ⅴ(+,+,-)Ⅶ(-,-,-)Ⅷ(+,-,-)再想一想?各个卦限中的点的符号是怎样的呢?总结(1)在上方卦限Z坐标为正;(2)在下方卦限Z坐标为负.第19页,共37页，2024年2月25日，星期天例2结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为0.5的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz，试写出全部钠原子所在位置的坐标.xyzO解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．第20页,共37页，2024年2月25日，星期天

上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，，1）．

中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（，0，），（1，，），（，1，），（0，，）；

下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,（，，0）.xyzO第21页,共37页，2024年2月25日，星期天二.

空间中两点的距离公式第22页,共37页，2024年2月25日，星期天长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？第23页,共37页，2024年2月25日，星期天在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？第24页,共37页，2024年2月25日，星期天OPzyxxyz在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面的距离，怎么求？第25页,共37页，2024年2月25日，星期天在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？第26页,共37页，2024年2月25日，星期天zxyOP(x,y,z)(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离：P`(x,y,0)第27页,共37页，2024年2月25日，星期天两点间距离公式类比猜想第28页,共37页，2024年2月25日，星期天zxyOP2(x2,y2,z2)(1)在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：NP1(x1,y1,z1)MH第29页,共37页，2024年2月25日，星期天在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):二、空间中点坐标公式：第30页,共37页，2024年2月25日，星期天例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:(1)三角形三边的边长；(2)BC边上中线AM的长。解:第31页,共37页，2024年2月25日，星期天(2)解:设M(x,y,z),则：第32页,共37页，2024年2月25日，星期天解:原结论成立.例2:求证以,,,三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

第33页,共37页，2024年2月25日，星期天设P点坐标为所求点为例3:设P在x轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标。解:第34页,共37页，2024年2月25日，星期天例4:已知，在平面Oyz上是否存在一点C，使为等边三角形，如果