浙江省2023-2024学年高一年级上册12月综合测试数学模拟试题（含答案）

浙江省2023-2024学年高一上学期12月综合测试数学

模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.集合｛"力｝的真子集个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.若3x+2〉0,则夕的否定为（）

A>l,x2-3x+2<0B<1,x2-3x+2<0

CVxW1,x?—3x+2W0DVx>1,%2—3x+240

3.若。>0,b>0,贝+621”是“27^21”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角a的弧度数为

()

7171

A.3B.2c.GD.2

2sina-cosa

5.已知尸(L3)为角a终边上一点，贝|sina+2cosa()

A.-7B.1C.2D.3

6.若加<",P〈q,且(p-m)(p-〃)<0,(q—m)(g-〃)<0,贝|j()

Am<p<n<qBp<m<q<n

Qm<p<q<nDp<m<n<q

'3X1,

<log]XX>P

7.已知函数於)=13则函数y=/(l—x)的大致图象是()

A.B.

c.

—+3ab

8.已知关于,则b的最小值是（）

D.3百

A.2B.272C.3

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知〃b>0,

,（兀-3）4=71-3

A.

1

a〃=-6b

C.

71V37171

sin—+6Z

——<a<—则tan（7r+a）的值可能是（）

10.已知2，且22,

百

A.-V3B.3C.3D.百

11.已知定义在R上的偶函数"X）满足"2-x）+“x）=°,则下列命题成立的是（）

/（“）的图象关于直线1=1对称B."A。

A.

函数/（x-1）为偶函数D.函数/（x+1）为奇函数

C.

函数/（x）=lnx,已知实数加>0,

12.〃>0,且加片“，则下列命题正确的是（）

A.若=则相+心2

若|/（加）,则1（机<〃

B.

存在机>",使得/O/Q"）

C.

m+n）/（加）+/（〃）

2

D.2恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（其中第16题第一空2分，第二空3分）

13.已知幕函数/%）=（加一1）*"的图象过点"（2"）,则。=.

14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三

角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4,则

该矩形周长的最大值为.

,,,17

,,log/+log/=——

15.已知实数且4,贝|lnb-41皿=.

-2|x|-l,X<0

16.已知函数llgx-l,x>0,则函数/（x）的零点为；若关于x的方程

［/（X）］+的。）+1-3疗=0有5个不同的实数根，则实数加的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17已知集合幺={.2（》48},8=3|加-14x44"，

（1）若机=1,求/C3；

⑵若/=求实数机的取值范围.

18.在平面直角坐标系苫仆中，角。以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆/+/=1交

于第二象限内的点尸（见"）.

2sin（%+a）+cosa

n=—cos—+cr+2cosa

⑴若5,求tana及U）的值；

7

sina+cosa=—

⑵若13,求点尸的坐标.

19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润了（单位：万

元）与运转时间无（单位：年）的函数关系式为〉=f2+14x-4（X<13,且xeN*）

（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？

（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

20.函数八"J一意装是定义在（T1）上的奇函数，且kJ10

⑴求/（x）的解析式；

（2）利用单调性的定义证明了6）在（T［）上为增函数；

⑶解不等式/（x7）+/（2x）<°♦

21.已知函数"x）=（x-2）（2-），aeR.

（1）当。=1时，解关于x的方程/（x）=°；

（2）当x23时，恒有/（x）Nl,求实数。的取值范围；

（3）解关于x的不等式/㈤川.

22.设a，b，meR,若满足（。-⑼？<（6.机了，则称a比b更接近比.

⑴设2石比«+1更接近0,求x的取值范围；

x+y-2m,

---------<—1

⑵判断“x-y”是“X比y更接近％”的什么条件，并说明理由;

x+3

XW拒,y=

(3)设x>°且x+1,试判断工与歹哪一个更接近百.

1.A

【分析】利用集合元素个数即可求出集合｛。1｝共有0mb色｝三个真子集.

【详解】根据题意可知集合｛"，｝中有3个元素，所以共有22T=3个，

即有°，｛。｝，抄｝三个真子集.

故选：A

2.D

【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.

【详解】命题-3x+2>°是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以命题2的否定为Vx>l，/-3x+240.

故选.D

3.A

根据充分必要条件的定义判断，注意基本不等式的应用

即在“>0,6>°的情况下，判断两个命题4+621=2而21和2疝="+.

b=—2y[ab=—<1

【详解】解：取。=1，9,满足“+6N1,但3，充分性不满足；反过来，

a+622新21成立，故必要性成立.

故选：A.

4.C

【分析】画图设外接圆半径，-2,利用正三角形性质可得圆弧长/=26,再由弧度制定义可得

a=V3

【详解】不妨设正03c的外接圆半径厂=2,圆心为°,

取8C的中点为。，连接/D，℃,易知。在/。上，且/℃3=30。，AD1BC.如下图所示:

BD

在RtzXOCZ）中，0D2℃1,所以CD=5BC=26；

依题意可知该圆弧长l=BC=26

所以圆心角r2

故选：C

5.B

【分析】先根据三角函数的定义求出tana=3,再利用齐次化将弦化切进行求解.

2sina-cosa_2tana-l_5

【详解】0°'3）为角a终边上一点，故tana=3,故sina+2cosa-tana+2一二一.

故选：B

6.C

【分析】首先根据已知条件判断出p和加、〃的关系以及夕和加、〃的关系，结合p<g即可求

解.

【详解】因为

所以加和“一个大于P,一个小于

因为冽<〃，所以根<P<〃，

因为,

所以小和”一个大于力一个小于夕，

因为加<〃，所以机<«<〃，

因为p<q,

所以机

故选：C.

7.D

【分析】由/(X)得到/(I-X)的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.

3x,x<]

=log产尤>1

【详解】因为函数,(JI3,

'3,x,x>0

“1_丫\=1%(

所以函数)[3,

当x=0时，»=火1)=3,即y=/(l—x)的图象过点(0,3),排除A；

当x=-2时，y=/(3)=—1,即y=#l—x)的图象过点(-2,-1),排除B；

1-x>1,/(I-x)=logi(l-x)<0

当、<。时，3,排除C,

故选：D.

8.A

八7n—।—=3—F3ab

【分析】由一元二次不等式解集可知0>°力>°,且满足。b，将6化简变形可得

—+3ab=4a+b—la=—,b=1—+3ab

b,利用基本不等式即可求得当2时6的最小值是2.

【详解】由一元二次不等式加中一3x+1<0的解集为(凡人)可得加>0,

〃+b=—>0

<m

ab=—>0—+—=3

利用韦达定理可得〔m,即可得。+6=3诏，且b

a,3ab-b八7cY,,

—F3cib----------F3ub=3Q-1+Q+b7=4Q+b—1

所以可得bb.

_—___a—_b—]

当且仅当a一台，即一2'一时等号成立;

—+3ab

即6的最小值是2.

故选：A

9.ABD

【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项.

【详解】A选项：由兀-3>0,得-3)=无一3,八选项正确;

-f-l+2x-

212.=a0b°=1

B选项:B选项正确;

_巴1

an=_

C选项：VF,c选项错误;

2<7_1_1A

4庐Q33a3=-6a'I=一6。喳=

.I--3bJ-6b

D选项:D选项正确;

故选：ABD.

10.BC

sin—+«I=cosa=——--<a<—

【分析】由12J2,结合22分情况讨论即可求解.

sin仔+/=cosa="

【详解】由题意得(2)2tan（兀+a）=tana

7171

——<a<—

因为22

71八

——<a<0cosa=^sina=-二,

当2时,因为2,所以2,

sina

tana=

此时cosa故B项正确;

八兀c°sa£=

0<a<一

当2时，因为2,所以2,

sinaV3

tancc=-------=—

此时COSa3,故c项正确.

故选：BC.

11.BD

【分析】由/Q-x)+/(x)=°及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.

【详解】因为函数/G)为偶函数，

所以函数"x)关于了轴对称，且"2-X)=/(X-2),又/(2-X)+/(X)=0,

所以/(x-2)+/(x)=0,且“x-2)=-/卜)=-[-/(x+2)]=/(x+2),

所以函数/(X)关于点(一1°)中心对称，且周期为4,

所以函数"x）关于（1,0）对称，A选项错误;

/（3）=/（T）=°,B选项正确；

f（xT）由/（X）向右平移一个单位得到，则,GT）关于点（°，°）对称，为奇函数，C选项错误;

/（x+1）由/（x）向左平移一个单位得至ij,则/（x+1）关于点（°，°）对称，为奇函数，D选项正确；

故选：BD.

12.D

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可判断B,C选项，结合基本不等式可判断A,D选

项.

【详解】由/（x）=Ex,可知函数/（x）在（°，+"）上单调递增，

若小:H/,⑹，则/⑺一（〃），即I—"In；可得小］,

A选项：m+n>l4mn,当且仅当加="时等号成立，又根片"，则m+〃>2,A选项错误;

B选项：mn=\,m^n,则0〈机<1<〃或°<〃<1（加，B选项错误；

C选项：若心”,贝112nl>2",则/G）>/（2"）恒成立，

C选项错误；

=H/（〃）Jn=+ln\nV^

D选项：由I2J2,22,

m+n、/—m+n/—1m+n/—

---->7mn---->7mnIn----->1In7mn

又2,当且仅当初二〃时成立，又冽所以2，贝!J2，即

Am+ny>/(m)+/(〃)

I2J2,D选项正确；

故选：D.

13.4

【分析】根据幕函数的定义可得=2,再根据函数图象过点"（2"）,可得

【详解】由函数"x）=（，"T）x'"为塞函数，得加一1=0,即加=2,

所以/Ox2,

又函数/（x）过点M（2,a）,

则"=/（2）=2?=4,

故答案为.4

14.8叵

【分析】确定/+〃=42=16,矩形周长为2（0+6）,根据均值不等式计算得到答案.

【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为。，b,则/+〃=42=i6,

矩形周长为2（“+“）,

（a+b）=/+b?+2abWa?+廿+/+/=2.2+廿）=32〃+人<

当且仅当。=6=20时等号成立，

故周长的最大值为8a.

故答案为.80

15.0

Inbln〃17Inb

------1------=一——=44

【分析】通过换底公式可得In。Inb4,可得Ina，即可得解.

log/+log/=—

【详解】由4,换成以e为底，

In6Ina17

------1------=----

可得In（2Inb4,

InbI17

t------tH———

设Ina，贝ijt4,

解得'=4或‘一心

In/71

t=----->I

又b>a>\,InZ)>Ina>0,贝q\na,

所以％=4,即lnb=4lnq即lnb-4lnQ=0,

故答案为.0

16.x=-l-0和x=10

【分析】结合分段函数性质令/3=°即可解得了（X）的两个零点为x=-l-逝和x=10,画出

函数图象，利用换元法以及数形结合将方程根的问题转化成关于，的方程”+加+1-3/=°有两

个不相等的实根九4且满足4c（-2,-1],芍>-1；再由一元二次方程根的分布即可求得实数优的

取值范围.

f(x)=x2+2x-l

【详解】根据题意可得当工40时,

,解得x=-l-血或X=-l+0（舍）；

当x＞。时，/（'g,于，）,解得x=l°,

所以可得函数/（X）的零点为x=T-&和x=10；

当"-2或f＞-l时，函数〉=，与函数/（X）有两个交点，

当，＜-2时，函数＞=»与函数/CO有一个交点；

若关于尤的方程［“切+硒"）+1加2=。有$个不同的实数根，

则方程/+侬+1-3加2=0有两个不相等的实根4出,且满足…（々-I"=-2或"-1；

__5

若’2=-2可得3加2+2加—5=0,解得叫=1,""一5；

经检验当吗=1时，方程r+机f+1-3机2=0即为/+/一2=0,解得4=1山=一2,不合题意;

5{_U__

当丐二行时，关于，的方程可化为犷-5"22=0,解得"一5'’2一一2，不合题意；

所以可知方程/+加+1-3疗=°有两个不相等的实根。也需满足且f2＞T；

若4e（-2,-l）,

A=_4(1—3加2)>0

(-1)2一加+1—3加2<0

252

(—2)—2m+1—3m2>0—<m<—\—<m<1

故，解得3或3

_2

若仆I可得3/+吁2=0,即/=T或嘱=§；

检验当啊=T时，关于：的方程可化为产--2=0,此时4=-1，4=2>-1,满足题意;

2,1

加4=-0A=—1,——〉一1

当3时，关于，的方程可化为犷+2/-1=0,此时3满足题意；

512

—<m<—I—<m<\

综上可知，实数优的取值范围为3或3,

所以实数机的取值范围是I3」13人

故尤=-1-力和x=10

方法点睛：求解方程根的嵌套问题时，经常利用换元法将方程转化，再结合函数图象利用根的分

布情况得出参数满足的条件即可求得参数取值范围.

17.⑴/n8={x|2W4}

（2）2<m<3

【分析】（1）将机=1代入可得8={幻°'”44},由交集运算即可求得出结果;

（2）根据集合间的包含关系即可求得2

［详解］(1)由心=1可得台二任^^彳^今，

由/={x|2Wx<8}可得"nB={x|2WxV4}；

J/w-1<2

(2)若4gB可得卜加28,解得2V7〃W3,

所以实数m的取值范围是24冽43.

_3H

18.(1)4.10

⑵I1313；

【分析】(1)根据三角函数的定义式，结合同角三角函数关系式及诱导公式化简可得解;

(2)根据三角函数定义式列方程，解方程.

【详解】(1)由已知角。的终边与单位圆/+/=1交于第二象限内的点尸(加'“),

n

.tana=一

则sina=〃,cosa=加,m,m+n=1f且加<0,

3h~~r4

由5,得5,

3

n53

tana=—=--=——

m_44

则5,

2sin(»+a)+cosa_-2sina+cosa_-2tana+1

一sina+2cosa-tana+2

cos—+a+2cosa

12

再由诱导公式可得

77

sina+cosa=——m+n=—

(2)由13,得13,加

4960

22(m+nf=m2+n2+2mn=1+2mn=----mn=-------

又加+〃=1,贝Q169,解得169,

z、222cI120289

(n-m)=m+n-2mn=1-\-----=------

所以I)169169,

17

n-m=一

所以13,

512

m=----n=一

所以13,13

尸T噌

即

19.(1)当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45

(2)当运转2年时，这批机器的年平均利润最大

【分析】(1)根据二次函数性质可得最大利润；

(2)根据基本不等式可得年平均利润的最大值.

【详解】⑴由k3+1&4=-(一)2+45,E3,

可知当x=7时，＞取最大值为45,

即当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45；

y-x2+14x-4

s=—=-=------x-------+--1--4=-X+-J+14

(2)由已知可得年平均利润xxXx<13,

X+3

s=-+14<-2V4+14=10

则X

4

x———

当且仅当X,即X=2时，等号成立，

即当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.

/(x)=7^T，xe(T」)

20.(1)1+x

(2)证明见解析；

⑶°4

【分析】（1）利用函数奇偶性定义以及函数值I10可求得。=1,6=°可得解析式;

（2）根据单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可;

（3）利用函数奇偶性和单调性，结合定义域得出不等关系即可解得不等式解集为°4

f（x_-ax+b

【详解】⑴对于Vx«T,l）,都有所以八町_1+/

彳（x_ax+b

又函数,"一1+/是定义在（一1/）上的奇函数，

-ax+bax+b

2f(}=^-

所以/(—x)=一/(%),即1+X1+x2,可得6=°,所以x1+-；

1

33

——a——

1010

，解得。=1;

f（\x

因此/（X）的解析式为/（x町一=]+',xe(-l,l)

项_%=尤](1+X；)—.2(1+尤；)=

/(网)-/(%)=

1+%；1+X；(1+$2)(]+%；)（1+石训+君）,

则

因为％],4W（T,1）,且再<X2,所以再一/<°，中2<1,即1一中2>0

（阳一、）（1-工仔2）<0

可得（1+x0（1+xD,所以/（%）-/（%）<。,即/（再）</仁）；

所以/（X）在（T，l）上为增函数；

（3）将不等式/（xT）+/（2x）<0转化为/（xT）<-/（2x）,

又了3是定义在（T1）上的奇函数，所以可得/（xT）</（-2x）,

x—1<—lx

<-1<X-1<1]

_i<<7Y<<10<X<—

再根据（2）中的结论可知〔"I,解得3.

即不等式/（x7）+/（2x）<°的解集为I。3）.

21.⑴》=2或x=0；

⑵P；

（3）答案见解析；

【分析】（1）将。=1代入即可解出方程/（'）=°的根为8=2或x=0；

f（、a<\T----|,XG[3,+co）

（2）将不等式J（x）-i恒成立问题转化为I、-2人山，再利用函数单调性即可

得。<7满足题意；

（3）对参数。的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.

【详解】⑴当。=1时，方程/（*）=°即为"X）=（A2）（2、-1）=0,

解得x=2或x=°；

（2）当工23时，不等式/（x）21可化为“-x-2,

a<\T---—|,xe[3,+co）

依题意可知，需满足IX-2（,

___1_

由于函数了=2、在[3，+°°）上单调递增，函数,一一口在13，+0°）上单调递增；

V=2工一一—海上、a<（2x一一—=23一一—=7

所以函数‘x-2在□+叼上单调递增，因此Ix-2人M3-2,

即实数。的取值范围是（一°°，7］；

（3）由/（少0可得（》-2）（2，-40,

①当时，可得2、-。＞0,不等式等价为x-220,此时不等式解集为2+°°）；

②当0＜。＜4时,方程（a2）（2-）=0有两根,^x1=2,x2=log2a）且2＞皿。；

此时不等式解集为Z+oo）u（-oo,log2a］

③当。=4时，方程G—2）（7-。）=°仅有一根，即》=2,此时不等式解集为R；

④当。＞4时，方程（“-2）（2"-。）=°有两根,即再=2,%=1吗。，且2＜1咆。；

此时不等式解集为P°g2%+°°）口（一应2］；

22.

（2）充分不必要条件，理由见解析；

⑶了更接近G

【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得X的取值范围；

（2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论；

（3）由x＞°且"6"一