应用概率统计之随机变量的数字特征

03四月2024应用概率统计之随机变量的数字特征02四月2024应用概率统计之随机变量的数字特征1第四章随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.第四章随机变量的数字特征在前面的课程中，我2例如考察某型号电视机的质量：平均寿命18000小时±200小时.

考察一射手的水平:既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.

由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.例如考察某型号电视机的质量：考察一射手的水平:既3

r.v.的平均取值——数学期望

r.v.取值平均偏离均值的情况——方差本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写r.v.的平均取值——数学期望本随机变量某一方面的概44.1随机变量的数学期望例4.1随机变量的数学期望例5应用概率统计之随机变量的数字特征6用分布列表示用分布列表示7设X为离散r.v.其分布列为若无穷级数其和为X的数学期望，记作E(X),即1.数学期望的定义绝对收敛,则称定义1设X为离散r.v.其分布列为若无穷级数其和为X8设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即定义2设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,9P86.1设随机变量X的分布律为求P86.1设随机变量X的分布律为求10例

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若X~B(1,p),则E(X)

例X~B(n,p),求E(11例

X~P(λ),求E(X)

.例X~P(λ),求E(X).12例3设r.v

X服从几何分布，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，其中0<p<1,求E(X)解：记q=1-p求和与求导交换次序等比级数求和公式例3设r.vX服从几何分布，P(X=k)=p(1-p)k13例

X~E(λ),求E(X)

.例X~E(λ),求E(X).14例

X~N(,2),求E(X)

.解例X~N(,2),求E15常见分布的数学期望分布期望概率分布0-1分布pB(n,p)npP(

)

常见分布的数学期望分布期望概率分布0-1分布pB(n,p)n16分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E(

)N(,2)分布期望概率密度区间(a,b)上的E()N(,2)17注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauc182.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？2.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分19如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是:因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是:20是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.是否可以不求g(X)的分布而只下面的基本公式指出，答案是肯定21设离散r.v.X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则(1)Y=g(X)

的数学期望设离散r.v.X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则22设连续r.v.X的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分设连续r.v.X的d.f.为f(x)绝对收敛23P86.1设随机变量X的分布律为求P86.1设随机变量X的分布律为求24

例设随机变量X的概率密度为求Y=e－2X的数学期望.

例设随机变量X的概率密度为求Y=e－2X的数学25

市场上对某种产品每年需求量为

X(t)，X~U(2000,4000),每出售1t可赚3万元,若售不出去，则每台需保管费1万元，问应该组织多少货源,才能使平均利润最大？最大期望值为多少？

解设组织nt货源,利润为

Y

显然，2000<n<4000P78.13市场上对某种产品每年需求量为解设组织n26应用概率统计之随机变量的数字特征27故n=3500时,E(Y)最大n=3500故n=3500时,E(Y)最大n=350028P77.12先求Y的分布律再求期望即可！设交保费x元，收益Y元P77.12先求Y的分布律再求期望即可！设交保费x元，收益Y293.数学期望的性质(1)设C是常数，则E(C)=C;(2)若C是常数，则E(CX)=CE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);3.数学期望的性质(1)设C是常数，则E(C)=C30P75.8P75.831例求二项分布的数学期望若X表示n重贝努里试验中的“成功”次数

X~B(n,p)，设则X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nP75.9例求二项分布的数学期望若X表示n重贝努里试验中的“成功32可见服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.=np因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=E(Xi)==p可见服从参数为n和p的二项分布=np因为P(Xi=133P76.11一台设备由三部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立的。(2)以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望。设则X=X1+X2+X3i=1,2,3

EX=EX1+EX2+EX3P76.11一台设备由三部分构成，在设备运转中各344.2方差

我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.4.2方差我们已经介绍了随机变量的数35引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解

首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3有五个不同数有四个不同数引例甲、乙两射手各打了6发子弹,甲10,7,36再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.37为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的方差为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变38若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称为X的均方差或标准差.1.方差概念定义

即D(X)=E[X-E(X)]2

变量X的方差,记为D(X)或V(X)D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值

的平均偏离程度若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称为X39若X为离散型r.v.，分布律为若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.若X为离散型r.v.，分布律为若X为连续型r.v.40计算方差的一个简化公式展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2期望性质计算方差的一个简化公式展开证：D(X)=E[X-E(X)]241例P86.1设随机变量X的分布律为例P86.1设随机变量X的分布律为42P86P8643应用概率统计之随机变量的数字特征44例设X~P(

),求D(X).解例设X~P(),求D(X).解452.设r.v

X服从几何分布，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，求D(X)2.设r.vX服从几何分布，P(X=k)=p(1-p)k46

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)D(X)=E(X2)-[E(X)]247例设X~U[a，b]，求DX..例设X~U[a，b]，求DX..48例

X~E(λ),求D(X)

.例X~E(λ),求D(X).49例设X~N(,2),求D(X)解例设X~N(,2),求D(X50常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P(

)

常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的p(1-p)51分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E(

)N(,2)分布方差概率密度区间(a,b)上E()N(,2)522.方差的性质(1)设C是常数,则D(C)=0;(2)若C是常数,则D(CX)=C2

D(X);(3)若a,b是常数,则D(aX+b)=a2

D(X);2.方差的性质(1)设C是常数,则D(C)=0;53P86.1设随机变量X的分布律为P86.1设随机变量X的分布律为54例4.设随机变量X的数学期望为E(X)，方