形心矩和惯性矩教材

oyzІ-1截面的静矩和形心位置 一、定义dA

yz截面对z,y轴的静矩为：静矩可正，可负，也可能等于零。oyzІ-1截面的静矩和形心位置 一、定义dAyz截1yzo

dA

yz截面的形心C的坐标

公式为：yc截面对形心轴的静矩等于零。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。yzodAyz截面的形心C的坐标yc截面对2二、组合截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。

由几个简单图形组成的截面称为组合截面 二、组合截面截面各组成部分对于某一轴3其中：Ai——第i个简单截面面积——第i个简单截面的形心坐标组合截面静矩的计算公式为其中：Ai——第i个简单截面面积——第i个4

计算组合截面形心坐标的公式如下：计算组合截面形心坐标的公式如下：51010120o80取x轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合解：将截面分为1，2两个矩形。12yx例1-1试确定图示截面心C的位置。1010120o80取x轴和y轴分别与截面解：将截61010120o8012yx矩形1矩形21010120o8012yx矩形1矩形27所以1010120o8012yx所以1010120o8012yx8

І-2极惯性矩惯性矩惯性积

yz0dAyz

截面对o点的极惯性矩为定义：І-2极惯性矩惯性矩惯性积9

截面对y,z轴的惯性矩分别为因为Ip=Ix+Iy所以

xy0dAxy

dA2ρIApò=截面对y,z轴的惯性矩分别为因为Ip=Ix10截面对x,y轴的惯性积为惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。。截面的对称轴，若x,y两坐标轴中有一个为则截面对x,y轴的惯性积一定等于零xydxdxydA截面对x,y轴的惯性积为惯性矩的数值恒为正，惯性积则11截面对x,y轴的惯性半俓为截面对x,y轴的惯性半俓为12例2_1求矩形截面对其对称轴x,y轴的惯性矩。

dA=bdy解：bhxyCydy例2_1求矩形截面对其对称轴x,y轴13

例2-2求圆形截面对其对称轴的惯性矩。解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为

yxd所以例2-2求圆形截面对其对14xyoC(a,b)ba一、平行移轴公式xc,yc——过截面的形心c且与x,y

轴平行的坐标轴（形心轴）（a,b)_____

形心c在xoy坐标系下的坐标。§І-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积ycxcx,y——任意一对坐标轴C——截面形心xyoC(a,b)ba一、平行移轴公式xc,yc—15

Ixc,Iyc,Ixcyc——截面对形心轴xc,yc的惯性矩和惯性积。

Ix,Iy,Ixy

_____截面对x,y轴的惯性矩和惯性积。

xyoC(a,b)baycxc则平行移轴公式为Ixc,Iyc,Ixcyc——截面对形16二、组合截面的惯性矩惯性积

Ixi,Iyi,

——第i个简单截面对x,y轴的惯性矩、

惯性积。组合截面的惯性矩，惯性积二、组合截面的惯性矩惯性积Ixi17例3-1求梯形截面对其形心轴yc

的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴zc上。取过矩形2的形心且平行记作y轴。于底边的轴作为参考轴，例3-1求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。解：将截18所以截面的形心坐标为2014010020zcycy12所以截面的形心坐标为2014010020zcycy12192014010020y12zcyc2014010020y12zcyc20一、转轴公式

顺時针转取为–号§І-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩xoy为过截面上的任–点建立的坐标系x1oy1

为xoy转过

角后形成的新坐标系oxyx1y1

逆時针转取为+号，一、转轴公式顺時针转取为–号§І-4惯21显然上式称为转轴公式oxyx1y1

显然上式称为转轴公式oxyx1y122二、

截面的主惯性轴和主惯性矩主惯性轴——总可以找到一个特定的角

0,使截面对新坐标轴x0,y0

的惯性积等于0,则称x0,y0为主惯轴。主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。二、截面的主惯性轴和主惯性矩主惯性轴——总23形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴。形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心形心主惯性24由此

求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。

主惯性轴的位置：设

为主惯性轴与原坐标轴

之间的夹角，

则有由此求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。25

过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有

一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中

的极值。即：Imax=Ix0,Imin=Iy0主惯性矩的计算公式截面的对称轴一定是形心主惯性轴。过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有主惯26

确定形心的位置

选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐

标轴x，y,计算Ix,Iy,Ixy求形心主惯性矩的步骤确定形心的位置选择一对通过形心且便27

确定主惯性轴的位置

计算形心主惯性矩确定主惯性轴的位置计算形心主惯性矩28y20

c10101207080例4-1计算所示图形的形心主惯性矩。解：该图形形心c的位置已确定,如图所示。

过形心c选一对座标轴X,y轴，计算其惯性矩（积）。xy20c10101207080例4-1计算所示图29y20

c10101207080xy20c1010120