复变函数和积分变换期末总复习

1第一章复数与复变函数1.复数代数运算2.复数的各种表示法3.乘幂与方根运算公式4.复数方程表示曲线以及不等式表示区域1第一章复数与复变函数1.复数代数运算2.复数的各种表2解2解3解3解4解4解5例5

满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解

是实数轴,不是区域.

是以为界的带形单连通区域.解5例5满足下列条件的点组成何种图形?是不是区解6

是以为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域.

不是区域，因为图中解解在圆环内的点不是内点.6是以为焦点,以3为半7例6

函数将平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？解又于是表示平面上的圆.(1)7例6函数将平面上的下列8解表示平面上以为圆心，为半径的圆.8解表示平面上以为圆心，9第二章解析函数1.解析函数的概念；2.函数解析性的判别（C-R方程）3.几个常用初等函数9第二章解析函数1.解析函数的概念；2.函数解析103.初等解析函数1)指数函数103.初等解析函数1)指数函数112)三角函数112)三角函数12(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数12(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数13其它复变三角函数的定义13其它复变三角函数的定义143）对数函数因此143）对数函数因此1515164)幂函数164)幂函数17典型例题证17典型例题证181819例2

函数在何处可导，何处解析.解故仅在直线上可导.故在复平面上处处不解析.19例2函数20例3

设为解析函数，求的值.解设故由于解析，所以即故20例3设21

设为平面上任意一定点,当点沿直线趋于时,有解例4

研究的可导性.21设22当点沿直线趋于时,有例4

研究的可导性.22当点沿直线23例5解方程解23例5解方程解24例6

求出的值.解24例6求出的值.解25解例7

试求函数值及其主值:令得主值:25解例7试求函数值及其26

第三章复变函数的积分1.复积分的计算公式及基本性质2.复积分的基本定理3.柯西积分公式与高阶导数公式26第三章复变函数的积分1.复积分的计算公式及基本性27积分存在的条件及计算（1）化成线积分（2）用参数方程将积分化成定积分27积分存在的条件及计算（1）化成线积分（2）用参数方程将积284.积分的性质284.积分的性质29

柯西－古萨基本定理(柯西积分定理)29柯西－古萨基本定理(柯西积分定理)30

闭路变形原理

复合闭路定理

一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末30闭路变形原理复合闭路定理一个解析函313132柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.32柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均33

高阶导数公式33高阶导数公式34调和函数和共轭调和函数

任何在

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D内的调和函数.34调和函数和共轭调和函数任何在D内解35定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

共轭调和函数35定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.36

典型例题例1

计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.解36典型例题例1计算的值，其中37说明同一函数沿不同路径所得积分值不同.37说明同一函数沿不同路径所得积分值不同.38解分以下四种情况讨论：38解分以下四种情况讨论：393940404141424243解为大于1的自然数.

例6

计算下列积分43解为大于1的自然数.例6计算下列积分44解法一不定积分法.利用柯西—黎曼方程,44解法一不定积分法.利用柯西—黎曼方程,45

因而得到解析函数45因而得到解析函数46解例8

已知求解

析函数,使符合条件46解例8已知474748第四章级数1、复数列、复级数收敛充要条件2、幂级数收敛半径求法3、函数展开成泰勒级数与洛朗级数48第四章级数1、复数列、复级数收敛充要条件2、幂级数收49常见函数的泰勒展开式49常见函数的泰勒展开式505051根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法51根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换52典型例题例1

判别级数的敛散性.解发散，收敛，52典型例题例1判别级数的敛散性.解发散，收敛，53典型例题例1

判别级数的敛散性.解53典型例题例1判别级数的敛散性.解54解收敛收敛典型例题例1

判别级数的敛散性.54解收敛收敛典型例题例1判别级数的敛散性.55解

由正项级数的比值判别法知绝对收敛.典型例题例1

判别级数的敛散性.55解由正项级数的比值判别法知绝对收敛.典型例题例156例2

求下列幂级数的收敛半径解56例2求下列幂级数的收敛半径解575758分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解例4

求在的泰勒展式.解析函数展为幂级数的方法58分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解例459由于59由于60例7分析：利用逐项求导、逐项积分法.解所以60例7分析：利用逐项求导、逐项积分法.解所以61例9分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数分成部分分式后,应用等比级数求和公式.解61例9分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数解62故两端求导得62故两端求导得636364例10解64例10解65例11解有65例11解有666667

同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.67同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是68解例1268解例12696970

第五章留数1、孤立奇点的判别2、留数的计算与留数定理70第五章留数1、孤立奇点的判别2、留数的计算与留71717272737374747575767677777878797980c)设及在如果那末为一级极点,且有都解析，如果为的级极点,那末b)80c)设及在如果那末为一级极点,且有都解析，如果81也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分值为在的留数.的值与C无关

,则称此定3)无穷远点的留数81也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕82如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点

(包括

点)的留数的总和必等于零.

定理82如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各83在无穷远点处留数的计算计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:

此法在很多情况下此法更为简单.83在无穷远点处留数的计算计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:84典型例题解求函数奇点及类型。84典型例题解求函数奇点及类型。85例4

求下列各函数在有限奇点处的留数.解(1)在内,85例4求下列各函数在有限奇点处的留数.解(1)在86解86解87解为奇点,当