微积分第三章导数与微分-课件

第三章导数与微分§3.1

导数的概念§3.2

导数基本公式和求导运算法则§3.3

链法则与隐函数的导数§3.4§3.5§3.6

边际与弹性1第三章导数与微分§3.1导数的概念§3.2导数基本公微积分第三章导数与微分引例1、变速直线运动的瞬时速度一、引例2微积分第三章导数与微分引例1、变速直线运动的瞬时速度一、引例精品资料3精品资料3你怎么称呼老师？如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？教师的教鞭“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘……”“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”44（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时5（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时5引例2——平面曲线的切线斜率在点求曲线L：处切线的斜率.割线MN切线MT6引例2——平面曲线的切线斜率在点求曲线L：处切线的斜割线MN的斜率为：当

x

0时

动点N将沿曲线趋向于定点M

从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT

即割线

MN的极限位置就是曲线

L在点

M处的切线MT.当时,切线MT

的斜率为：7割线MN的斜率为：当x0时动点N将沿曲线趋向二、导数的定义8二、导数的定义8991010注意11注意11微积分第三章导数与微分12微积分第三章导数与微分12微积分第三章导数与微分13微积分第三章导数与微分13例3.

讨论函数在处的可导性.解所以,函数在处不可导.xyo思考14例3.讨论函数在处的可导性.解所以,函数在处不可导.xyo微积分第三章导数与微分事实上,因在处可导,即定理所以,函数在处连续.15微积分第三章导数与微分事实上,因在处可导,即定理所以,函数问题：连续是否一定可导？结论函数在其可导的点处一定连续函数在其连续的点处不一定可导函数在其不连续的点处一定不可导16问题：连续是否一定可导？结论函数在其可导的点处一定连续函数在注意（1）曲线处是尖点

在点（2）曲线在点在点（3）曲线间断

处有

垂直切线

处

17注意（1）曲线处是尖点在点（2）曲线在点在点（3）曲线间P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作业先看书再做练习18P89:T8；作业先看书18

因为处函数无定义，所以该点处函数间断

第二类无穷间断点.

所以是函数的可去间断点，作业讲评P88.5(2)19因为处函数无定义，所以该点处函数间断第二类无穷间断点.P89.6.(5).解法1：

解法2：原式=20P89.6.(5).解法1：解法2：原式=20解法3：而解法4：21解法3：而解法4：21解法1：而

解法2：P89.6.22解法1：而解法2：P89.6.22

2323六、利用导数定义求极限例4：

解24六、利用导数定义求极限例4：解242525练一练解答26练一练解26注意分段函数分段点的导数必须用定义求例5：

设函数解因为27注意分段函数分段点的导数必须用定义求例5：设函数解因为27例6：

解28例6：解282929方法一：例7：解30方法一：例7：解303131方法二：32方法二：323333例10:解:34例10:解:34§3.2

求导基本公式与求导运算法则一、求导基本公式例1.

求函数的导数.解35§3.2求导基本公式与求导运算法则一、求导基本公式例1.例2.

求指数函数的导数.解36例2.求指数函数的导数.解36例3.

设求解特别地:37例3.设求解特别地:37例4.

设求解正弦函数的导数等于余弦函数.类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.38例4.设求解正弦函数的导数等于余弦函数.类似得,余弦函数的二、四则运算求导法则39二、四则运算求导法则394040证毕.41证毕.41例5.

解42例5.解42解:例6

43解:例643常用公式：例7.

解44常用公式：例7.解44练一练解答45练一练解45P117:T5(6),(9);T6(2);T8.作业先看书再做练习46P117:T5(6),(9);作业先看书46微积分第三章导数与微分47微积分第三章导数与微分474848解:例8.

49解:例8.49解例6.

50解例6.50微积分第三章导数与微分51微积分第三章导数与微分5152525353§3.3

链法则与隐函数的导数一、复合函数求导法则（链法则）猜想54§3.3链法则与隐函数的导数一、复合函数求导法则（链法则）解:例1求下列函数的导数55解:例1求下列函数的导数55更简明的过程56更简明的过程56注意57注意57解例2更简明的过程58解例2更简明的过程58解例3更简明的过程59解例3更简明的过程59例4

解或60例4解或60复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设则或61复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设则或61例5求解62例5求解62更简明的过程63更简明的过程63这里求y对x的导数是从外向里经过

每个中间在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到x上.因此对复合函数求导搞清楚复合层次后,只要从外层向里层逐层求导即可.64这里求y对x的导数是从外向里经过每个中间在熟悉了法则之后,例6求解65例6求解65易犯的错误66易犯的错误66

例767例767例8求解68例8求解68例9解69例9解69例10解70例10解70小结复合函数求导首先必须搞清函数是怎样复合的.求导时由外到里逐层求导.注意:一定要到底,不要遗漏,不要重复.71小结复合函数求导首先必须搞清函数是怎样复合的.求导时由外到里例11

例12

72例11例1272练一练73练一练73解答74解74P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作业先看书再做练习75P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).7676形如，的函数称为显函数.若与的函数关系由方程所确定,称这类函数为隐函数.二、隐函数求导法又如，77形如，的函数称为显函数.若与的函数关系由方程所确定,称这类函解例1278解例1278解例13

79解例1379解例1480解例1480小结

方程两边对隐函数的求导方法:视为的函数由复合函数求导法则,的方程,解出即可.得到关于注意:结果中既含也含.81小结方程两边对隐函数的求导方法:视为的函数由复合函数求导法练一练解答解82练一练解解82三、对数求导法两类函数有简便求先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求导法.83三、对数求导法两类函数有简便求先给这些函数取对数,然后再求导解例15

84解例1584微积分第三章导数与微分的导数.解解法1

两边取对数,化为两边对x

求导85微积分第三章导数与微分的导数.解解法1两边取对解法2

将函数化为复合函数86解法2将函数化为复合函数86878788888989例2190例21902).两边对求导;3).两边同乘以得4).将结果表示为的显函数.小结

对数求导法

常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导.对数求导法的步骤:1).函数式两边取自然对数;912).两边对求导;3).两边同乘以得4).将结果表示为的显函

四、分段函数求导法解:92四、分段函数求导法解:92易犯的错误93易犯的错误93练一练解答解94练一练解解94

P128T4(4)；T5；

T6(1),(2).作业先看书再做练习95P128T4(4)；T5；作业先看书95微积分第三章导数与微分一、高阶导数记作：或即类似地

二阶导数的导数，叫做的三阶导数，记作：或96微积分第三章导数与微分一、高阶导数记作：或即类似地二阶导数三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数的导数，叫做

阶导数，记作：或函数有阶导数，也说函数为阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,97三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数的导数，叫做

例1

y=(1+x2)arctanx

求y

解

例2

证明

所以y3y

198例1y=(1+x2)arctanx二、隐函数的二阶导数例3

解

99二、隐函数的二阶导数例3解99

解：方程两边同时对x求导

上式两边同时再对x求导例4100解：方程两边同时对x求导上式两边三、几个初等函数的n

阶导数

解

类似地有101三、几个初等函数的n阶导数解类似地有101102102103103

得到

104得到104由上面各阶导数可以得到105由上面各阶导数可以得到105±四、高阶导数的运算公式函数和差的n阶导数

(u

v)(n)

u(n)

v(n)函数积的n

阶导数

这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式

用数学归纳法可以证明：106±四、高阶导数的运算公式函数和差的n阶导数(uv上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果设107上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果107小结高阶导数的求法(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式如,(4)利用莱布尼兹公式108小结高阶导数的求法(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)练一练109练一练109解答110解110

例

111例111作业先看书再做练习

P133:T1(4),(8);T4(2),(3);T7.112作业先看书P133:T1(4),(8);T4(2),(3§3.5微分一、微分的概念

问此薄片面积改变了多少?变到长由引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边设薄片边长为x,面积为S,则当x

在取得增量时,面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小量时为故称为面积函数在的微分113§3.5微分一、微分的概念问此薄片面积改变了多少?变定义:114定义:114证(必要性)115证(必要性)115(充分性)设函数在点处可导,即与无关,所以函数在点处可微.且116(充分性)设函数在点处可导,即与无关,所以函数在点处可微.且

函数y

f(x)在任意点x的微分

称为函数的微分

记作dy

或df(x)

即dy

f

(x)Dx

例如

dcosx

(cosx)

Dx

sinx

Dx

dex

(e

x)

Dx

exDx

117函数yf(x)在任意点x的微分

因为当y=x时

dy=dx=(x)

Dx=Dx

所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分

记作dx

即

dx

Dx

因此

函数y

f(x)的微分又可记作于是有可微与可导的关系

函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导

函数在点x0的微分为118因为当y=x时因此切线纵坐标的增量微分的几何意义119切线纵坐标的增量微分的几何意义119增量与微分的关系由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似等式:例如求在解：120增量与微分的关系由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似等二、基本微分公式与微分法则根据可得基本初等函数的微分公式：121二、基本微分公式与微分法则根据可得基本初等函数的微分公式：1例1.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.122例1.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微微积分第三章导数与微分设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数

由此可见

无论u是自变量还是中间变量

微分形式dy

f

(u)du保持不变

123微积分第三章导数与微分设u(x),v(x)均可微,例4若方程xy=cosy-x2确定y=f（x）解一：两边对x求导解二：两边同时微分124例4若方程xy=cosy-x2确定y=f（x）解：两边同时微分例8若方程（arcsinx）lny-e2x+tany=0确定

y=f（x），求125解：两边同时微分例8若方程（arcsinx）lny例9

设解：126例9设解：126例10解：127例10解：127练一练

解答

解

128练一练解解128三、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似公式:(1)即(2)(3)129三、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因此,当很小时在(2)式中令当很小时,(4)130在(2)式中令当很小时,(4)130

例13

计算sin30

30

的近似值

解

有sin(x0

Dx)

sinx0

cosx0Dxsin30

30

即sin30

30

0

5076

131例13计算sin3030的近似值132132

说明：曲线在切点附近可用其切线来近似代替该曲线.且离切点越近近似程度越好.

133说明：曲线在切点附近可用其切线来近似代替该曲线.且离近似公式表示曲线附近可用切线.在切点近似曲线，且离切点越近近似程度越好.134近似公式表示曲线附近可用切线.在切点近似曲线，且离切点越近近练一练解答135练一练解135类似可证,当很小时,有近似公式:136类似可证,当很小时,有近似公式:136

如

解137如解137作业先看书再做练习

P142:T6(4),(6),(9);T7(2).138作业先看书P142:T6(4),(6),(9);T7(2)例11