专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题2.3幂函数与指、对数函数【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1指数幂与对数式的化简求值】 2【题型2指对幂函数的定义与解析式】 4【题型3指对幂函数的定义域与值域】 5【题型4指对幂函数的图象的识别与应用】 6【题型5指对幂函数的单调性问题】 8【题型6指对幂比较大小】 10【题型7利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】 12【题型8反函数及其应用】 14【题型9指数函数与对数函数的综合应用】 161、幂函数与指、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【知识点1幂函数的解题技巧】1.幂函数的解析式幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【知识点2指数、对数运算的解题策略】1.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2.对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】1．指数函数的常见问题及解题思路(1)比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.(2)指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.(3)指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.2．对数函数的常见问题及解题思路(1)对数函数图象的识别及应用①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1指数幂与对数式的化简求值】【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4，则a−2+a2的值为（

）A．8 B．16 C．2 D．18【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】解：因为a−1所以a−2故选：D．【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m,1A．36 B．6 C．6 D．4【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.【解答过程】∵3∴a=log∴1∴m2=6，即m=故选：C.【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：(1)27(2)log2【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.【解答过程】（1）2790.5（2）log23⋅log34+【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：(3（2）已知lgx+lgy=2【解题思路】（1）化简即可求出该式子的值；（2）解对数方程求出xy，即可得出log【解答过程】（1）由题意，(==108+2−7−2−1=100（2）由题意，在lgx+x>0y>0x−2y>0xy=x−2y2两边同除y2得xy2∴log2【题型2指对幂函数的定义与解析式】【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（

）A．y=lnx B．y=log2x2【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可.【解答过程】形如y=logax对于A，y=ln对于B，C，D，形式均不正确，均错误.故选：A.【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数fx=xα的图象过点P3,9A．12 B．1 C．2 【解题思路】根据题意可得3α【解答过程】因为幂函数fx=xα的图象过点P3,9故选：C.【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数y=a2−5a+7A．a=2或a=3 B．a=3C．a=2 D．a>2，且a≠3【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案.【解答过程】由指数函数的概念，得a2−5a+7=1且6−2a=0，解得故选：B.【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数f(x)=a2−3a+3logaA．1或2 B．1C．2 D．a>0且a≠1【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.【解答过程】∵函数f(x)=a∴a2−3a+3=1，a>0且解得a=1或a=2，∴a=2，故选：C．【题型3指对幂函数的定义域与值域】【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数fx=2A．−∞,2 C．2,+∞ D．【解题思路】函数fx=2【解答过程】函数fx=2x−4x−5的定义域满足故选：D.【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点2,14，则（A．f(x)为减函数 B．f(x)的值域为(0,+C．f(x)为奇函数 D．f(x)的定义域为R【解题思路】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可.【解答过程】解：设f(x)=xα，将2,14代入，得故f(x)=x−2，易知f(x)在(−∞,0)上单调递增，在f(x)=x−2的定义域为(−∞C，D选项错误；故选：B．【变式3-2】（2022·北京东城·统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（

）A．y=lnx B．y=ex C．【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.【解答过程】A.函数y=lnx的定义域为B.函数y=ex的定义域为R，值域为C.函数y=xD.函数y=1x的定义域为x|x≠0，值域为故选：C.【变式3-3】（2023上·江西吉安·高一校考阶段练习）已知函数fx=3x−2,x⩽1,A．−∞,2 C．1,4 D．−【解题思路】结合分段函数的单调性来求得fx【解答过程】当x⩽1时，y=3x−2单调递增，值域为−2,1；当1<x⩽4时，y=x1故选：B.【题型4指对幂函数的图象的识别与应用】【例4】（2023上·全国·高三专题练习）已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)A．a>1,c>1 B．a>1,0<c<1C．0<a<1,c>1 D．0<a<1,0<c<1【解题思路】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a<1；因为图象与y轴的交点在y轴上方，所以y=loga0+c故选：D.【变式4-1】（2022上·全国·高一专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、n∈A．m，n是奇数且mn<1 B．m是偶数，nC．m是偶数，n是奇数，且mn>1 D．m，n【解题思路】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞上单调递增，结合m、n∈【解答过程】由图象可看出y=xmn故mn∈0,1且m为偶数，又m、n∈故选：B.【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数fx=2xeA． B．C． D．【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性及其在x>0时，f【解答过程】对于函数fx=2xe所以，函数fx的定义域为x因为f−x=2当x>0时，ex>e故选：A.【变式4-3】（2022·高一课时练习）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，12【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【解答过程】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3>故选：C．【题型5指对幂函数的单调性问题】【例5】（2022上·北京朝阳·高三统考期中）下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是（

A．y=log2x B．y=2−x 【解题思路】根据函数解析式直接判断单调性.【解答过程】A选项：函数y=log2x的定义域为0,+B选项：函数y=2−x=12C选项：函数y=x+1的定义域为−1,+∞，且在D选项：函数y=x3的定义域为R，且在故选：B.【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若幂函数f(x)=2m2−3m−1xm在A．2 B．12 C．−1【解题思路】由幂函数的定义和性质求解即可.【解答过程】由幂函数的定义可知，2m2−3m−1=1，即2m2当m=2时，f(x)=x2，在当m=−12时，f(x)=x−1故选：C.【变式5-2】（2023·广东韶关·统考一模）函数fx=log2x2−4A．−∞,−2 B．2,+∞ C．−【解题思路】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【解答过程】fx的定义域是(−令y=logt=x2−4，在−由复合函数的单调性可知，a∈(−∞故选：A.【变式5-3】（2023·北京东城·统考二模）设函数f(x)=2x,x≤ax2,A．(0,4] B．[2,4]C．[2,+∞) 【解题思路】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得a>0且a2≥2a，结合【解答过程】因为f(x)=2x,x≤ax又y=x2在0,+∞要使函数f(x)为增函数，则a>0且a2又函数y=x2与y=2x在0,+∞且y=2x的增长趋势比y=x2与所以当x>4时2x>x2，当2<x<4时x2所以2≤a≤4，即实数a的取值范围是[2,4].故选：B.【题型6指对幂比较大小】【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6log23.4，b=6A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为log23.4>log又因为log2所以，log2所以，6log23.4故选：C.【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）设a=e−43，b=lnA．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c【解题思路】利用指数的运算性质、对数恒等式、指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】a=e−43<所以a<c<b．故选：C．【变式6-2】（2023·四川南充·模拟预测）已知a=252A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b【解题思路】由y=x25在0,+∞上递增比较a，b，再由y=log【解答过程】因为y=x25在0,+所以2525又y=log25所以c=log所以c<a<b.故选：D.【变式6-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e<3<π，∴a=log∵a=ln下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=由指数函数y=2x与幂函数

当x∈(0,2)时，x2<2x由x=π∈(0,2)，故π2 <所以b<a<c，故选：A.【题型7利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=2(1)求fx(2)若f2−a<fa−1【解题思路】（1）利用幂函数的定义与单调性可得出关于实数m的等式与不等式，解出m的值，即可得出函数fx（2）分析函数fx的定义域与单调性，根据f2−a<fa−1可得出关于实数【解答过程】（1）因为函数fx=2即2m2+m−3=0，即2m+3m−1=0又因为函数fx=2m2+m−2x所以，m=1，故fx（2）由（1）可知，fx=x对任意的x∈R，f−x=−x3因为函数fx=x3在所以，函数fx在R由f2−a<fa−1可得2−a因此，实数a的取值范围是32【变式7-1】（2023上·陕西西安·高三校考阶段练习）解不等式：(1)log1(2)1≤4【解题思路】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；（2）分1≤4x−3⋅【解答过程】（1）log1由对数函数的性质可得：x2−x−2>0x−1>0由于y=log12x为递减函数，所以综上：不等式的解集为2,3.（2）首先求解1≤4x−3⋅所以2x≤1或2x≥2，解得再解4x−3⋅2所以2x≤4，解得综上：1≤4x−3⋅【变式7-2】（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，解关于x的方程fx(2)当x≥3时，恒有fx≥1，求实数(3)解关于x的不等式fx【解题思路】（1）将a=1代入即可解出方程fx=0的根为x=2或（2）将不等式fx≥1恒成立问题转化为a≤2（3）对参数a的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.【解答过程】（1）当a=1时，方程fx=0即为解得x=2或x=0；（2）当x≥3时，不等式fx≥1可化为依题意可知，需满足a≤2由于函数y=2x在3,+∞上单调递增，函数y=−所以函数y=2x−1x−2即实数a的取值范围是−∞（3）由fx≥0可得①当a≤0时，可得2x−a>0，不等式等价为x−2≥0，此时不等式解集为②当0<a<4时，方程x−22x−a=0有两根，即此时不等式解集为2,+∞③当a=4时，方程x−22x−a=0仅有一根，即④当a>4时，方程x−22x−a=0有两根，即此时不等式解集为log2【变式7-3】（2023上·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数fx=loga((1)若a>1，b=0，求不等式fx+1(2)若∀m∈[1,+∞)，f2【解题思路】（1）根据复合函数单调性得到f(x)的单调性，再分类讨论即可；（2）首先得到2m+1≥2【解答过程】（1）当b=0时，f(x)=log由x2−1>0，解得x>1或x<−1，所以f(x)的定义域为因为f(−x)=logax因为函数y=x2−1在(−所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在当x+1>1，即x>0时，此时函数单调递增，且x+4>x+1，原不等式成立.当x+1<−1,x+4>1，即−3<x<−2时，−x−1∈1,2因为f(x+1)=f(−x−1)≤f(x+4)，则−x−1≤x+4，解得x≥−52，所以而x+4>x+1恒成立，即当x+4<−1时，不等式无解，综上，原不等式的解集是−5（2）因为m≥1，且2m+1−2又因为f2m+1≥f2m当0<a<1时，y=logax是减函数，函数t(x)=此时函数f(x)在其定义域的x=−b2的右侧区间上单调递减，与f(x)在当a>1时，要使f(x)在[4,+∞则t(x)=x2+bx−1在[4,+∞)所以−b2≤4综上，b的取值范围是−15【题型8反函数及其应用】【例8】（2023上·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）设函数y=fx存在反函数y=f−1x，且函数y=x2−fA．1,−1 B．3,2 C．1,0 D．2,1【解题思路】根据函数y=x2−fx的图象过点2,3，得到f2【解答过程】解：因为函数y=x2−f所以22−f2=3，解得f2所以y=f−1x的图象过点1,2，y=−所以y=x−f故选：A.【变式8-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数y=fx的图象与y=log2x+a的图象关于直线y=x对称，且满足f1A．4 B．2 C．1 D．−1【解题思路】根据图象的对称性得点f1,1，f2【解答过程】函数y=fx的图象与y=log2所以点f1,1，f2所以log2f(1)+a=1log2又f1+f2=2，所以故选：B.【变式8-2】（2022上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）已知函数fx=12x，函数y=gx的图象与y=fxA．0,1 B．1,+∞ C．−∞,1【解题思路】先由反函数的性质得到gx=log12【解答过程】因为fx=12x，y=g所以gx=log令−x2+2x>0令t=−x2+2x，则函数t=−所以t=−x2+2x在0,1又gt在0,+所以y=g−x2故选：A.【变式8-3】（2023上·上海浦东新·高三校考阶段练习）若点P(x0,y0)(x0y0≠0)在函数y=f(x)的图像上，y=f−1A．点P1,PB．只有点P2不可能在函数y=C．只有点P3不可能在函数y=D．点P2,P【解题思路】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点P1,P【解答过程】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,根据点P(x0,y0则P1(y若点P1(y0,则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点P2(−y0,则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；故点P2,P故选：D．【题型9指数函数与对数函数的综合应用】【例9】（2023上·福建厦门·高一校考阶段练习）函数f(x)=log44(1)求m的值；(2)设ℎ(x)=f(x)+12x，若g[ℎ(x)]>ℎlog4【解题思路】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算进行求解即可；（2）根据复合函数的定义，结合函数单调性的性质、对数与指数恒等式、对数的运算性质进行求解即可.【解答过程】（1）因为函数f(x)=log所以f(x)−f−x⇒log对于任何实数x都成立，所以有2m=1⇒m=1（2）由（1）可知：ℎ(x)=f(x)+1g(x)=4g[ℎ(x)]>ℎlog4当x≥log43所以有4x所以要想g[ℎ(x)]>ℎlog4(2a+1)所以有2a+1>0⇒a>−1因此只需log4而a>−12，所以即实数a的取值范围为−1【变式9-1】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数fx=log(1)若y=lggx的值域为R(2)若非常数函数fx是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈1,2，∃【解题思路】（1）根据函数y=lggx的值域为R，可得函数gx的值域包含0,+∞，再分m=0（2）根据函数的奇偶性求出函数fx的解析式，再根据∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，f【解答过程】（1）因为函数y=lggx所以函数gx的值域包含0,+gx当m=0时，gx=−2当m≠0时，令t=2则函数y=mt2−4t+3当m>0时，ymin即gx的值域为3−所以3−4m≤0当m<0时，2m<0，则函数y=mt即函数gx的值域为−综上所述，0<m≤43，所以满足条件的整数m的值为（2）因为函数fx是定义域为−2,2所以f0即log19a2=0由函数fx不是常数函数，所以a=2经检验，符合题意，所以a=2b=1即fx由∀x1∈1,2，得∀x1∈1,2，只要fx当x∈1,2时，2−x所以函数fx则fxgx令n=2x，因为x∈−1,1函数y=m⋅n当m=0时，y=−4n+3,n∈1则n=2时，ymin当m≠0时，函数y=m⋅n2−4n+3,n∈当m<0时，则n=2时，ymin当0<2m≤则n=12时，所以m>41当2m≥2，即则n=2时，ymin当12<2则n=2m时，所以1<m<4−4m综上所述，m的取值范围为−∞【变式9-2】（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数fx(1)求实数a的值；(2)判断函数fx(3)设函数gx=log2x2⋅log2【解题思路】（1）考虑a≥0和a<0两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.（2）确定定义域，设∀x1,x2（3）根据单调性确定x∈0,1时fx的值域A=53,+【解答过程】（1）由已知函数需满足4x+a≠0，当a≥0时，函数的定义域为函数fx=4即4−x+14−x+a=−4当a<0时，x≠log4−a又函数fx=4此时fx=4f−x综上所述：a=−1；（2）fx在−∞,0fx=4设∀x1,则f因为x1,x2∈所以fx1>fx2同理可证，所以fx在−（3）函数fx在−∞,0且当x∈−∞,0时，fx<0x2∈0,1时，fx≥f1=又gx设t=log2x,t∈当t=32时，取最小值为−14+m即gx在x∈2,8上的值域又对任意的x1∈2,8，总存在x即B⊆A，所以−14+m≥53【变式9-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数fx=(1)直接写出x>0时，g(x)的最小值.(2)a=2时，Fx=fx(3)若g(2)=52，f(g(x))存在两个零点，求【解题思路】（1）根据基本不等式可以判断g(x)的最小值，直接写出答案即可；（2）判断Fx（3）由题意，求出α的值，将f(g(x))存在两个个零点转化为f(t)在t∈（−∞，−2)∪(2,+∞）【解答过程】（1）因为x>0，所以xα所以g(x)=x当且仅当xα=1所以当x>0时，g(x)=x（2）a=2时，Fx=fx当a=2时，fx令t=2x所以函数t在1,32上单调递增，又因为y=log所以Fx=log所以F1=log所以F1又F32=log3则F3所以F1Fx=log所以F(x)在x∈1,（3）由g(2)=2α+则g(x)=x+1f(g(x))存在两个零点等价于f(t)在t∈（−∞，−2)∪(2,+∞）令G(x)=ax则G(x)=ax2−x+a2−4在（i）零点为−2和2，代入解得a∈∅，（ii）当a>0，对称轴x=1则只需G(2)=4a+a解得a∈(6（iii）a=0，G(x)=−x−4，满足题意，（iv）a<0，对称轴x=1则只需G(2)=4a+a解得a∈(−2−10综上所述，a∈(−2−101．（2023·全国·统考高考真题）已知f(x)=xexeaxA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.【解答过程】因为fx=x又因为x不恒为0，可得ex−e则x=a−1x，即1=a−1，解得故选：D.2．（2023·全国·统考高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1A．−∞,−2 C．0,2 D．2,+【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a所以a的取值范围是2,+∞故选：D.3．（2022·天津·统考高考真题）化简(2log43+A．1 B．2 C．4 D．6【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.【解答过程】原式=(2×=4故选：B.4．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则由y=x0.5在[0,+∞所以b>a>c.故选：D.5．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（A．f(x)=−lnx C．f(x)=−1x 【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【解答过程】对于A，因为y=