17.2.1勾股定理的逆定理（课件）-2023-2024学年八年级数学下

17.2.1勾股定理的逆定理新知探究实验：（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．32＋42＝5252＋122＝132（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形

（单位：cm），它们是直角三角形吗？①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；

④7，24，25．82＋152＝17272＋242＝252如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．新知探究我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.因此我们需要严格的证明新知探究已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB，在C1N上截取C1A1＝b＝CA，连接A1B1．ACBbcaC1NMB1A1ba

在Rt△A1B1C1中，由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形．勾股定理的逆定理新知探究直角三角形的判定有两法可依：（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.典例精析例1下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？(1)a

5，b

12，c

13；(2)a

6，b

7，c

8；是不是是(3)a

1，b

2，c

.52+122

13262+72

8212+()2

22(4)a:b:c=3:4:5;是（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.典例精析练习

根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股

定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，

b=14，

c=15;解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾

股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(1)a=15，

b=8，c=17;典例精析例2已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数)试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.典例精析例3如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4，求△ABC的面积.解：要求△ABC的面积，找到三角形的高是关键，

由已知条件AD是中线，BC=6，可得BD=3，而△ADB的三边分别为3、4、5，

根据勾股定理的逆定理可得∠ADC=90°，

所以AD为△ABC的高，所以

△ABC的面积为

.典例精析例4以△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3S1S2S3新知探究勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.新知探究思考：像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．a36912…3nb481216…4nc5101520…5n一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数.①从表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看．典例精析我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.勾股数拓展性质的证明：（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.新知探究思考：前面我们学习了两个命题，分别为：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．两个命题的题设和结论有何联系？新知探究命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论它们是题设和结论正好相反的两个命题.

两个命题的条件和结论分别是什么？

两个命题的条件和结论有何联系？思考：思考：原命题与逆命题新知探究一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．

勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．

判断一个命题是真命题要证明，而判断一个命题是假命题只要举一个反例即可.新知探究试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

（3）全等三角形的对应角相等；

（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．内错角相等，两条直线平行．成立如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．不成立对应角相等的两个三角形全等．不成立在角平分线上的点到角的两边距离相等．成立例5归纳总结勾股定理的逆定理内容如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形逆命题与逆定理勾股数最长边不一定是c，∠C也不一定是直角勾股数一定是正整数当堂检测1.下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（）．A．3，4，5；B．10，6，8；

C．4，5，6；D．12，13，5．C2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（）A．161；B．289；C．17；D．161或289．D3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A.B.C.D.D当堂检测4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（）A.30B.60C.78D.不能确定5.一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，则x2的值是()A.42 B.25

C.7 D.25或7AD6.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（）.A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形C当堂检测7.△ABC中

A，

B，

C的对边分别是a，b，c，则

下列命题中的假命题是()

A.如果

C

B

A，则△ABC是直角三角形；

B.如果c2=b2

a2，则△ABC是直角三角形，且

C

90°；

C.如果(c

a)(c

a)=b2，则△ABC是直角三角形；

D.如果

A

B

C=5

2

3，则△ABC是直角三角形.B8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是()A.a

8，b

15，c

17；B.a

9，b

12，c

15；C.a

，b

，c

；

D.a

b

c

2

3

4.D当堂检测

9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立.(1)全等三角形的对应角相等.(2)两直线平行，内错角相等.(3)互为相反数的两个数的绝对值相等.解：(1)对应角相等的两个三角形是全等三角形；(2)内错角相等，两直线平行；(3)绝对值相等的两个数互为相反数.不成立成立不成立逆命题与逆定理

【例1】写出下列命题的逆命题，并判断真假.(1)同位角相等，两直线平行；(2)如果x＝3，那么x2＝9；(3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等.分析：将题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题，再根据相关知识判断命题是否成立.解：(1)两直线平行，

同位角相等.这个命题是真命题.(2)如果x2＝9，那么x＝3.这个命题是假命题.(3)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等.这个命题是真命题.技巧点拨：写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论.将题设和结论交换位置，即得逆命题.判定一个命题是真命题需证明，判定一个命题是假命题只要举出一个反例即可.有些命题不容易确定题设和结论，一般要先写成“如果……那么……”的形式.1.先写出下列命题的逆命题，再判断逆命题是否成立.(1)全等三角形的对应角相等.逆命题：__________________________________.是否成立?________.

(2)若a＝b，则a3＝b3.逆命题：__________________________________.是否成立?________.

2.下列定理没有逆定理的是(

).A.直角三角形的两锐角互余B.对顶角相等C.互为相反数的两数之和为0D.等边三角形的三个内角相等对应角相等的两个三角形是全等三角形不成立

若a3＝b3，则a＝b成立

B勾股定理的逆定理

解析：可以计算出①中a2≠b2＋c2，④中a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理，①不是直角三角形，④是直角三角形；③中∠A＋∠B＝90°，所以也是直角三角形；②中根据所给条件无法判断三角形的类型.答案：A技巧点拨：判断一个三角形是直角三角形有两种方法：①从角判断，一个内角是直角或两个内角互余；②从边判断，符合较短的两条边的平方和等于最长边的平方.3.在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(

).A.三内角的度数比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角的度数比为3∶4∶5D1.下列各组线段，能组成直角三角形的是(

).A.a＝1，b＝2，c＝2B.a＝2，b＝3，c＝5C.a＝2，b＝4，c＝5D.a＝6，b＝8，c＝10D

A3.三角形的三边长分别为a，b，c，若满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是(

).A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形B4.下列命题错误的是(

).A.在△ABC中，若∠A＝∠C－∠B，则△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是5∶2∶3，则△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三边长之比为2∶2∶3，则△ABC是直角三角形D5.下列命题中，其逆命题是真命题的是________.(填序号)

①同旁内角互补，两直线平行；②自然数是整数；③如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.①③④

解：由题意得a-5=0，b-12=0，c-13=0，所以a=5，b=12，c=13.

45°8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15cm，AC＝9cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动.设运动的时间为ts，当△ABP为直角三角形时，t＝________.

9.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是边BC的垂直平分线，DE交BC于点D，交AB于点E.(1)求证：△ABC为直角三角形.(2)求AE的长.

证明：因为AB2+AC2=16+9=25=BC2，所以△ABC

是直角三角形.

解：连接BD，因为AB=AD=2且∠A