正态分布课堂讲义

基础知识诊断第6节正态分布基础知识诊断考点出现频率2022年预测考点103随机抽样23次考3次2021年在选择题和填空题中仍会重考点104用样本估计总体23次考11次点考查各种统计图表、古典概型或几考点105变量间的相关关系23次考12次何概型及其概率计算，在解答题中重考点106随机事件的概率、古典概型、几何概型23次考5次点考查频率分布直方图及其应用(与考点107独立性检验23次考1次概率相结合)，或与统计案例相结合.回顾教材务实基础【知识梳理】考点一正态曲线(x"■tt)21.定义：我们把函数中(x)= e~202,xG(—8,+s)(其中目是样本均值，O是样本标准差)的图M，0 %♦2兀0象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=目对称；(3)曲线在x=目处达到峰值(最大值)-J=-；2冗0(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当0一定时，曲线的位置由口确定，曲线随着目的变化而沿x轴平移，如图甲所示：(6)当日一定时，曲线的形状由0确定.0越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；0越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,如图乙所示:：甲 乙甲 乙考点二正态分布1．定义随机变量X落在区间(a,b］的概率为P(a<X<b)=』b隼(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的

两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间（a,b］的概率的近似值.从正态分布.正态分布完全由参数目从正态分布.正态分布完全由参数目，o确定，因此正态分布常记作N（N，O2）.如果随机变量X服从正态分布，则记为XN（de）.其中，参数目是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；o是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.3o原则若XN（do2），则对于任意的实数a〉0,P⑴―a<X<^+a）=J"即（x）dx为下图中阴影部分的面积，M-a四，o对于固定的目和a而言，该面积随着o的减小而变大.这说明o越小，X落在区间（目-a，目+a］的概率越大，即X集中在日周围的概率越大0\MRM x特别地，有P(N-o<X<N+o)=0.6826；P⑴-2o<X<目+2o)=0.9544；P(目-3o<X<曰+3o)=0.9974.由P（目-3o<X<目+3o）=0.9974，知正态总体几乎总取值于区间（目-3o,目+3o）之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N3,o2）的随机变量X只取⑴-3o,目+3o）之间的值，并简称之为3o原则.考点聚焦突破 分类讲练以例求法考点一正态曲线（x1）2/TOC\o"1-5"\h\z【例1】（多选）（2020•江苏盱胎期中）已知三个正态分布密度函数①（x）=-^e-2o；2（xeR,i=1,2,1 <2no3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.o=o B.1>1 C.1=1 D.o<o1 2 1 3 1 2 2 3

【训练1】（2020•新疆月考）根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移.如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布N（35,2）,N（70，8），则峰期后移了——天，峰值下降了——％（注：正态分布的峰值计算公式为六）考点二正态分布【例1】（2020•全国理）某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度,经数据处理得到如图（1）所示的频率分布直方图,其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图（2）所示,以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.（1）求这批树苗的高度高于1.60米的概率，并求图（1）中a,b,c的值；（2）若从这批树苗中随机选取3株，记己为高度在（1.40，1.60］的树苗数量，求工的分布列和数学期望;（3）若变量S满足P（目—。＜S＜目+。）〉0.6826且P（目―2q＜S＜目+2。）〉0.9544,］则称变量S满足近似于正态分布N(N,o2)的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布N(1.5，0.01)的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？【解题总结】.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(N,o2)的随机变量x只取(目-3。，目+3。)之间的值.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．.求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定日与。的值.(2)将待求问题向(口―。，R+。］,(目―2。，目+2。］,(目―3。，目+3。］这三个区间进行转化；(3)利用x在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果.3.假设检验的思想(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设.(2)若随机变量自服从正态分布N(N,O2),则自落在区间(目-3。，目+3。］内的概率为0.9974，亦即落在区间(目-3。，目+3。］之外的概率为0.0026，此为小概率事件.如果此事件发生了，就说明己不服从正态分布.(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．【例2】(2020・牡丹江一中)2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标4~N(15，0.0025)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9g，15.05g)的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为()参考数据：若。N(n,o2)，则UP(目—0<X<R+o)=0.6826，P⑴―2o<X<目+2o)=0.9544，P⑴—3o<X<目+3o)=0.9973.A.158700 ~B.22750 C.2700 D.1350【解题总结】.求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值口，纵坐标为-J=-.2m(2)待定系数法：求出口，o便可..正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线l=口对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3o原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的目，o进行对比联系，确定它们属于(目—o，目+o),(目—2o，目+2o),(目—3o，目+3o)中的哪一个..正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(目—ovX<^+o),P(目—2o<X<目+2o),P(目—3o<X<目+3o)的值.(3)注意概率值的求解转化：①P(X<a)=1—P(X>a);②P(X<目一a)=1—P(X>目+a);③若b<目，则p（X<b）=>P（—b<X<n+b）.2特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称.【训练1（2020•湖北十堰）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75,16）,则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83］内的个数约为（ ）附：若X—N（N，。