线段的垂直平分线的性质

关于线段的垂直平分线的性质学习目标：

1．理解线段垂直平分线的性质和判定．

2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．

3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理．

4．能用尺规作线段的垂直平分线．第2页,共27页，2024年2月25日，星期天你能用不同的方法验证这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．相等．ABlP1P2P3第3页,共27页，2024年2月25日，星期天用几何语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．证明：

ABPCl线段垂直平分线的性质：已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=900．又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴

PA=PB．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．第4页,共27页，2024年2月25日，星期天8课堂练习练习1如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______．ABCDE第5页,共27页，2024年2月25日，星期天PABC已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：如图作PC⊥AB则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上

PA=PB，

PC=PC，

反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．探索并证明线段垂直平分线的判定第6页,共27页，2024年2月25日，星期天用几何语言表示为：PABC

线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．第7页,共27页，2024年2月25日，星期天这些点能组成什么几何图形？

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．PABC第8页,共27页，2024年2月25日，星期天解：∵AD⊥BC，BD=DC∴AD是BC的垂直平分线∴AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE．∴AB=AC=CE课堂练习P622

如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．第9页,共27页，2024年2月25日，星期天解：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线．∵

MB=MC，∵点M在BC的垂直平分线上∴直线AM是线段BC的垂直平分线．课堂练习P622练习3

如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCDM第10页,共27页，2024年2月25日，星期天（1）任意取一点K，使点K与点C在直线AB两旁.尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线。（2）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和点E.

（4）作直线CF，直线CF就是所求作的垂线。CABKFDE已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C.做法：（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F.

第11页,共27页，2024年2月25日，星期天（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？我们已能用尺规完成：第12页,共27页，2024年2月25日，星期天作线段的垂直平分线

如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？第13页,共27页，2024年2月25日，星期天作线段的垂直平分线例1如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

AB第14页,共27页，2024年2月25日，星期天这种作法的依据是什么？作线段的垂直平分线ABCD作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．

CD就是所求作的直线．这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点．

第15页,共27页，2024年2月25日，星期天五角星的对称轴有什么特点？

你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？相交于一点．如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.

第16页,共27页，2024年2月25日，星期天课堂练习练习1作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？第17页,共27页，2024年2月25日，星期天课堂练习练习2如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？第18页,共27页，2024年2月25日，星期天课堂练习练习3如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．ABCD第19页,共27页，2024年2月25日，星期天已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB=PC.PABC结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。第20页,共27页，2024年2月25日，星期天拓展：如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。第21页,共27页，2024年2月25日，星期天

如图，七（1）班与七（2）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。

MNBCA做一做P第22页,共27页，2024年2月25日，星期天3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。第23页,共27页，2024年2月25日，星期天结论:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反之，与线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上。所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的集合。课堂小结第24页,共27页，2024年2月25日，星期天11.3角的平分线ODEABPC定理1

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

12.1线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等