线性微分方程的一般理论

关于线性微分方程的一般理论2

在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且还因为线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，同时它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数线性微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶变系数线性微分方程的幂级数解法也作适当地介绍。第2页,共37页，2024年2月25日，星期天3主要内容线性微分方程的一般理论常系数线性微分方程的解法高阶微分方程的降阶和幂级数解法重点线性微分方程的基本理论常系数线性微分方程的解法第3页,共37页，2024年2月25日，星期天4§4.1线性微分方程的一般理论

第4页,共37页，2024年2月25日，星期天5一、解的存在唯一性定理1n阶线性微分方程定义1第5页,共37页，2024年2月25日，星期天6第6页,共37页，2024年2月25日，星期天72解的存在唯一性定理定理1第7页,共37页，2024年2月25日，星期天8二、齐线性方程的解的性质和结构定理21叠加原理容易看出，齐次线性方程恒有零解。第8页,共37页，2024年2月25日，星期天9证明:故有第9页,共37页，2024年2月25日，星期天10例1的解.解:第10页,共37页，2024年2月25日，星期天112、函数的线性相关性考虑定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式对于所有都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在区间[a,b]上是线性无关的。问题：在什么样的条件下，表达式（4.4）能够构成为n阶齐次线性方程（4.2）的通解？第11页,共37页，2024年2月25日，星期天12例2考虑函数组的线性相关性解：第12页,共37页，2024年2月25日，星期天13例3函数组线性无关。此恒等式如果成立，也就是[a,b]中的每一个t都是这个方程的根，因此有无穷多个根。另一方面，如果有一个系数不为0，则是一个不超过n次的代数方程，最多有n个根。分析：我们假设存在第13页,共37页，2024年2月25日，星期天14定义23伏朗斯基(Wronsky)行列式第14页,共37页，2024年2月25日，星期天154函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系(1)定理3证明:使得第15页,共37页，2024年2月25日，星期天16由线性代数理论知要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,第16页,共37页，2024年2月25日，星期天17注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则第17页,共37页，2024年2月25日，星期天18推论(2)定理4证明:“反证”第18页,共37页，2024年2月25日，星期天19现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为第19页,共37页，2024年2月25日，星期天20由解的唯一性定理知第20页,共37页，2024年2月25日，星期天21

注释：根据定理3和定理4知道，由n

阶齐次线性方程（4.2）的n个解构成的伏朗斯基行列式，或恒等于零，或在方程的系数为连续的区间内处处不等于零。并根据定理1，构造一组初始条件：满足这组初始条件的解一定存在，且又因为,由定理3知道，这n个解一定是线性无关的。于是有5、通解结构定理第21页,共37页，2024年2月25日，星期天22定理5

n阶齐次线性方程（4.2）一定存在n个线性无关的解。定理6（通解结构定理）如果是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）其中是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。第22页,共37页，2024年2月25日，星期天23推论：方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n。n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。定义把方程（4.2）的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。显然,基本解组不唯一。特别地，当时称其为标准基本解组。例1已知方程，证明cost及sint为它的基本解组,并写出它的通解。分析：按定义证明即可。第23页,共37页，2024年2月25日，星期天24补充结论：齐次方程（4.2）的解与它的系数之间有如下关系：上述关系称为刘维尔（Liouville）公式。第24页,共37页，2024年2月25日，星期天n级行列式函数的求导：引理：设函数fij(x)(i,j=1,2,⋯,n)在区间I内可导,则行列式函数在区间I

内也可导，且有第25页,共37页，2024年2月25日，星期天26由刘维尔公式可以看出齐次方程（4.2）的伏朗斯基行列式的重要性质：1.W(t)在区间[a,b]上某一点为零，则在整个区间上恒为零。2.W(t)在区间[a,b]上某一点不等于零，则在整个区间上恒不为零。重要定理：第26页,共37页，2024年2月25日，星期天27性质2

方程（4.1）的任意两个解之差必为方程(4.2)的解。其中为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。4.1.3非齐次线性方程与常数变易法性质1

如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也是方程（4.1）的解。定理7

设

为方程（4.2）的基本解组，而是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为1、基本性质和定理第27页,共37页，2024年2月25日，星期天28回想一阶线性非齐次微分方程的解法-----常数变易法第28页,共37页，2024年2月25日，星期天293常数变易法则为方程(4.2)的通解.此时(4.15)变为将它代入(4.1),第29页,共37页，2024年2月25日，星期天30

在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令得第30页,共37页，2024年2月25日，星期天31和表达式继续上面做法,直到获得第n-1个条件和表达式第31页,共37页，2024年2月25日，星期天32第32页,共37页，2024年2月25日，星期天33因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得积分得第33页,共37页，2024年2月25日，星期天34第34页,共37页，2024年2月25日，星期天35例3解