高考数学二轮总复习训练 角变换与解三角形、平面向量理

高考专题训练十一三角变换与解三角形、平面向量

班级某某时间：45分钟分值：75分总得分

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项填在答题卡上.

1.a,b是不共线的向量，若AB=%a+b,AC=a+%b（%,人户），则A,B,C三

点共线的充要条件为（）

A.入=入=-1B.入=入=1

1212

C.入入+1=0D.XX—1=0

1212

解析：只要AC,AB共线即可，根据向量共线的条件即存在实数人使得AC=AAB,

即a+入b=A（Aa+b）,由于a,b不共线，根据平面向量基本定理得1=入入且人

2112

=入,消掉入得人人=1.

12

答案：D

2.（2011•某某）若a,b,c均为单位向量，且a・b=0,（a—c）•（b—c）W0,则|a+

b-c|的最大值为（）

A.^/2-lB.1

C.y[2D.2

解析：a•b=0,（a—c）•（b—c）W0,

BPa•b—(a•c+b•c)+C2WO

.,.a•c+b•c2L

又|a+b—c|=\la+b—c2

=、a2+b2+c2+2a•b—2a•c—2b•c

=、3—2~a•c+b•c-Wl.

答案：B

3.(2011.•全国)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a•b=

—I，(a—c,b—c)=60。，贝I」|c|的最大值等于()

A.2B.73

c.g.1

—►―►―►

解析：设0A=a,OB=b,0C=c

1/7

⑴若OC在NAOB内，如图

因为a・b=—所以/A0B=120°,

又(a-c,b-c)=60°,则0,A,C,B四点共圆.

|AB12=|0A|2+|0B|2—2|0A•|0B|•cosl20°=3,.*«|AB|=^3.

2R=sill200=^=2>"l°Cl<2,即©W2.

2

(ii)若0C在NAOB夕卜,如图

c

由(i)知NA0B=120°,又NACB=60。,

―►

|OA|=|OB|=1,知点C在以0为圆心的圆上，知|c|=|0C|=L

综合(i),(ii)|c|最大值为2.

答案：A

4.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，设向量0A=a,OB=b,其中a=(3,1),b=

―►

(1,3).若0C=Aa+ub,且OWAWuWl,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

()

2/7

解析：由题意知0C=（3入+口,入+3口），取特殊值，入=0,口=0,知所求区域包含

原点，取入=0,口=1,知所求区域包含（1,3）,从而选A.

答案：A

5.（2011•某某）如图，在AABC中，D是边AC上的点，且AB=AD,2AB=，5BD,BC=2BD,

则sinC的值为（）

R

ADC

理

R亚

36

AC.

出

亚

3D.6

解析：如题图所示

3/7

在ABCD中，・・，BC=2BD,

sinC_1

sinZBDC2.

在AABD中，：AB=AD,2AB=^BD,

AD2+BD2—ABs

：

/.cosNADB-2AD•BD-=3'

・・.sinNADB=NADB=JC—NBDC,

sinZADB=sinZBDC,

sinC=-^X范=4

36,

答案：D

6.（2011•某某省重点中学第二次联考）在AABC中，simA+cos2B=l,则cosA+cosB

+cosC的最大值为（）

A.|B.yj2

3

C.1D.-

解析：由sin2A+cos2B=l,得cos?B=cos2A.又A、B为AABC的内角，所以A=B,则C

=JI—2A.cosA+cosB+cosC=2cosA+cos（兀—2A）=2cosA—cos2A=—2cos2A+2cosA+1

（八n313

=—21cosA--12+5,可知当cosA=］时，cosA+cosB+cosC取得最大值

答案：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

7.（20H•某某）已知tan/x+T）=2,则鲁^勺值为____

\T：/tanzx

解析：tan^x+—1+tanx1

■：-----------2,.*.tanx=-,

1—tanx3

4/7

2tanx3

tan2x=

1—tansx

1

etanx34

则-----=一二一

AJtan2x39,

4

4

答幕-

9

8.(2011•某某)函数y=sin15+x仔一x）的最大值为

Icos

1

亚..yj3cos2x+l卜;sin2x

解析：y=cosx•丁cosx十gsinx\=^-coszx十]sinx•cosx

22

^l^l[

=4cos2x+4sin2x+42inI2x+

9.(2011•某某)已知|a|=|b|=2,(a+2b)•(a—b)=—2,则a与b的夹角为

解析：(a+2b)•(a—b)=—2

.♦.a2+a•b—2b2=-2

*.*Ia|=2,|b|=2,

A4+a•b—8=—2,a•b=2

a•b21JI

cos0=MN=4=2'ow。w兀，・・・0r

JI

答案：-y

10.(2011•某某)在边长为1的正三角形ABC中，设BC=

—►—►―►—►—►

2BD,CA=3CE,贝！JAD•BE=.

—►—►

解析：•；BC=2BD,口为BC中点.

->―>

VCA=3CE,/.E为AC边上距C近的一个三等分点.

―►―►—►—►—►—►―►―►

19

・・.AD=5(AB+AC),BE=AE-AB=-AC-AB.

5/7

又|AB|=|AC|=1,AB与AC夹角为60°,

ffff(f一、

/•AD•BE=1(AB+AC)•4C-AB

/la)

答案:T

三、解答题：本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

11.(12分)(2011•某某)已知函数f(x)=2sin[x—V，xeR.

⑴求的值；

兀](兀)106

⑵设a,PG0,-,f3a+-U-f(3P+2n)=-,求cos(a+B)的值.

L乙」\乙，JLJ0

e/、/5吟fl5n吟(5"6)-2S19-小

解：(l)f(彳J=2sin(3X彳gJ=2sin|^

(r\(兀、

⑵•.中a+yj=2sin[^3a+yj-JyI

10

=2sina,

5「「八兀[12

Asina-Xa0,—,.'cosa=百,

(38+2nnA(

Vf(3B+2兀)=2sinl——g-----yl=2sinl1t

c6

=2cosB=『,

5

3「兀、4

AcosP又8金0,—,AsinP=7.

5L275

cos(a+B)=cosQcosB—sinasinB=77=X3_AX4=16

5513565.

12.(13分)(2011•某某)设AABC的内角A、BC所对的边分别为a、b、c.