2023届新疆巴州第三中学高考数学试题模拟卷四

2023届新疆巴州第三中学高考数学试题模拟卷（4）

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设加，"是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若。，尸，机ua,〃u£,则

B.若。〃/7,mua,nu/3,贝(I租〃〃

C.若〃mua,〃u6，则

D.若〃?_La,mlIn»nil(3,则a_L£

2万

2.函数/(x)=cos(2x+子)的对称轴不可能为()

\冗71n7C

A.x=----B.x=---C.x———D.x———

6363

3.记单调递增的等比数列｛4｝的前〃项和为S”，若%+%=10，。2%%=64,贝!J()

,,+,H

A.S„+l-S„=2B.an=2"C.S“=2"—lD.5„=2-'-l

4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示.

甲乙

69

6278

620878

0926

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

以上说法正确的是（）

A.③④B.①②C.②④D.①③④

5.已知ABC的垂心为“，且A3=6,BC=8,M是AC的中点，则（）

A.14B.12C.10D.8

6.已知某口袋中有3个白球和。个黑球（aeN*），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是

白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是J.若EJ=3,则。J=

（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

7.对于定义在R上的函数y=/（x）,若下列说法中有且仅有一个是错误的，则型误的一个是（）

A./（x）在（—,0］上是减函数B.“X）在（（）,+8）上是增函数

C.“X）不是函数的最小值D.对于xeR,都有4x+l）=/（l-x）

8.若复数z=上如（匕为虚数单位）的实部与虚部相等，则。的值为（）

2+1

A.3B.±3C.-3D.±73

9.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［0,+8）的是（）

A.y=|lg（x+l）|B.y=£C.y=2xD.y=ln|^

10.函数/（x）=e*+ac（«<0）的图像可以是（）

11.已知等差数列{4}的前〃项和为S“，且4=-2,。8=1°，则$9=（）

A.45B.42C.25D.36

12.已知集合4={-1,0,1,2},B={x|（x+l）（x-2）<0},则集合A。3的真子集的个数是（）

A.8B.7C.4D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数〃X）=C%2"T—C++Q/+J+C；若l）32"T+，+&（-1）"产,其中"GN+且心2,则

r(i)=.

14.已知X,y为正实数，且“+2x+4y=41,则尤+y的最小值为.

sinX

15.已知函数/(x)的定义域为K,导函数为了'(X),若〃x)=cosx-/(—x),且/'(x)+—5—<0,则满足

“x+»)+/(x)W0的x的取值范围为.

16.已知向量”，力满足|a|=2,仍|=3,且已知向量“，。的夹角为60°,(a—c).(b—c)=0,贝!|1。1的最小值是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，内角AB,C的对边分别是a,b,c,已知(a-J§b)sinA+bsinB=csinC.

(1)求角C的值；

(2)若sinAsin8=生"，c=2,求AABC的面积.

4

18.(12分)设椭圆E:'.'](a,b>0)过M(2,0),N(灰,1)两点，O为坐标原点，

<i：b2

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OR，08?若存在，写出该

圆的方程，若不存在说明理由.

19.(12分)已知。，瓦c分别是AA8C内角A,的对边，满足cosC+(cosA-GsinA)cos8=0

(1)求内角3的大小

(2)已知〃=c,设点。是AABC外一点，且Q4=2O6=4,求平面四边形OAC8面积的最大值.

20.(12分)已知等差数列｛4｝和等比数列｛"｝的各项均为整数，它们的前〃项和分别为S,,,7；,且々=2q=2,

b2s3-54,〃2+4=11.

⑴求数列｛a,,｝,也｝的通项公式；

(2)求吃=砧i+a2b2+她++anbn；

(3)是否存在正整数〃?，使得今恰好是数列｛4｝或｛2｝中的项？若存在，求出所有满足条件的山的值；若不

十m

存在，说明理由.

21.(12分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时

间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中

随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至2019年12月270人

中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人

后期用户2022年1月及以后200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验

用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).

人数占比

(1)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10

元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)2019年底，从这100()人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户

的人数有变化？说明理由.

22.(10分)如图，已知平面28c与直线Q4均垂直于所在平面，且Q4=AB=AC.

(1)求证：Q4//平面QBC；

(2)若PQ_L平面QBC,求CQ与平面PBC所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

试题分析：mVa,＜；H■；c故选D.

考点：点线面的位置关系.

2、D

【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.

【详解】

对于函数/(尤)=cos(2x+与］,令2%+耳=攵万，keZ,解得》=与一。，4€2,

TTTT

当上=一1,0,1时，函数的对称轴为％=-、3冗，%=%=-.

636

故选：D.

【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.

3、C

【解析】

先利用等比数列的性质得到的的值，再根据外，%的方程组可得的，4的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通

项和前〃项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为｛q｝为等比数列，所以片=“24，故嬉=64即％=4,

+CIA—10a,--2--8、a»—2

由'，/可得■。或-C，因为｛4｝为递增数列，故■。符合.

%。4=16[a4=8[%=2M=8

此时42=4,所以4=2或4=一2(舍，因为｛《,｝为递增数列).

故%=%/T=4X2"-3=2"T,§「"(J2")=2"_卜

"1-2

故选C.

【点睛】

一般地，如果｛4,｝为等比数列，S,为其前，?项和，则有性质：

(1)若m,n,p,qGN*,^n+n=p+q,则。“4=%,%；

(2)公比时，则有S“=A+3q",其中A,8为常数且4+8=0；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等比数列(S“w0)且公比为

4、A

【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数，即可判断①②③，再根据数据集中程度判断④.

【详解】

OM.onR7+

由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为气丝=81,乙同学成绩的中位数为一^—=87.5，故①错误

1

而二—x(72+76+80+82+86+90)=81,无乙6-X(69+78+87+88+92+96)=85，则务<之，故②错误，③正确;

6

显然甲同学的成绩更集中，即波动性更小,所以方差更小，故④正确，

故选:A

【点睛】

本题考查由茎叶图分析数据特征，考查由茎叶图求中位数、平均数.

5、A

【解析】

由垂心的性质，得到8"-AC=0,可转化HM-AC=BM.4C，又•AC=；(BA+BC)-(BC—BA)即得解.

【详解】

因为H为A8C的垂心，所以Ba_LAC,

所以而HM=HB+BM，

所以HM-AC=(HB+BMYAC=BM-AC,

因为M是AC的中点，

所以BMAC=；(BA+BC)・(BC—BA)

1--2-21

=3(BC-BA)=-(64-36)=14.

故选：A

【点睛】

本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

6、B

【解析】

由题意4=2或4,则。自=，(2-3)2+(4-3)2]=1,故选B.

7、B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由f(x+l)=/(l-x)得/(X)关于X=1对称，

若关于x=1对称，则函数/(X)在(0,m)上不可能是单调的,

故错误的可能是8或者是O,

若。错误，

则f(x)在(-8,。]上是减函数，在在(0,+8)上是增函数，则/(0)为函数的最小值，与C矛盾，此时C也错误,

不满足条件.

故错误的是8,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

8、C

【解析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.

【详解】

z=B=21(2"+l)i,又z的实部与虚部相等，

2+z5

."-2=2Z?+1,解得/?=—3.

故选:C

【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.

9,B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A，»=1g(x+l)|图象如下图所示：

则函数y=|ig(x+i)|在定义域上不单调，A错误;

对于8,y==6的图象如下图所示：

则y=«在定义域上单调递增，且值域为［0,+8),B正确

对于C,y=2、的图象如下图所示:

则函数y=2'单调递增，但值域为（0,+“），C错误;

对于O,y=In|x|的图象如下图所示：

则函数y=In可在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

10,B

【解析】

根据x<0,/（x）>0,可排除A。，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.

【详解】

由题可知：a<0,

所以当x<0时，〃x）>0,

又F'（x）=ex+a,

令则x>ln（-a）

令.r（x）<0,则x<ln（-a）

所以函数/（X）在（，,ln（-a））单调递减

在（如（-a）,+8）单调递增,

故选：B

【点睛】

本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属

基础题.

11、D

【解析】

由等差数列的性质可知％+%=。2+%,进而代入等差数列的前〃项和的公式即可.

【详解】

由题,s广23=9(“2+%)=9x(-2+10)=36.

222

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前〃项和.

12、D

【解析】

转化条件得AB={0,1},利用元素个数为n的集合真子集个数为2"-1个即可得解.

【详解】

由题意得B-|x|(x+l)(x-2)<0|=卜卜1<x<2},

.•.408={0,1},••.集合A8的真子集的个数为22-1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0

【解析】

先化简函数“X)的解析式，在求出广(X),从而求得了'⑴的值.

【详解】

由题意，函数/(X)=C52"T—c>2n+C>2n+1-+C；(-l)rx2"-,+r+,C；(T)"/I

可化简为/(x)=/T[端-C，+C%2-…+C：(—1)4+…+€>"]=/T(I一刀)，，，

所以f'(x)=(2«-l)x2,-2(l-x)n-x2fl-'n(l-x)n-'=x2"-2(1-x)"-'[2n-1-(3n-l)x],

所以八1)=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解

导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

14、8

【解析】

—2x+41

由x,)'为正实数，且D+2x+4y=41,可知于是y=------,可得

x+4

-2r+4149

x+y=x__=(%+4)+一二—6,再利用基本不等式即可得出结果.

x+4x+4

【详解】

解：了,y为正实数，且取+2x+4y=41,可知

-2x+41

,.y二,

'x+4

-2尤+41/s49"749—

x+y=x+-------=(x+4)+-----6>2.(x+4-]------6=8.

'x+41'x+4V尤+4

当且仅当x=3时取等号.

二x+y的最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.

15、1Kl

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-詈，再根据条件确定g(x)为奇函数且在R上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简

不等式，解得结果.

【详解】

依题意，“X)一等=一/(一)+^^，

令g(x)=/(x)---=,贝！lg(x)=-g(-x)，故函数g(x)为奇函数

g，(x)=/(x)—等=/⑺+浮<o,故函数g(x)在R上单调递减,

„.、/、/、COS(X+%)/、COSX

zx

贝!+万)+/(x)<0=>/(x+万)-----------+f()—^0

冗式

Og(X+")+g(X)<0Og(X+»)w-g(x)=g(-x),即X+；T2-X,故XN——，则X的取值范围为一彳,+8

2_2

故答案为：—彳―00)

【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

V19-V7

1R6>------------

2

【解析】

求I的最小值可以转化为求以A8为直径的圆到点。的最小距离，由此即可得到本题答案.

【详解】

如图所不，设。A=a,OB=b,OC=c,

由题，得/AOB——\OA|=2,|OB\=3,CA=a—c,CB=b—c^ab=2x3'xcos60=3,

3

又(〃—c)・S—c)=(),所以C4LC8,则点。在以A3为直径的圆上，

取A5的中点为"，则OM='(OA+OB),

2

设以A3为直径的圆与线段OM的交点为E,则IcI的最小值是|0E\,

因为10Ml=、l-(OA+OB)2=-y/0A：+2OA-OB+OB2=-x74+2x3+9=叵,

V4222

又AB=SA2+OB?-2cAOB•cos60。=j+9-2x2x3x；=近，

i-/To_jy

所以ICI的最小值是|OE\=OM-ME=OM一一AB-".

22

故答案为：晒一@

【点睛】

本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现

了数形结合的数学思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)C=g;(2)l+y/3

6

【解析】

(1)由已知条件和正弦定理进行边角互化得/+b2一*=®b,再根据余弦定理可求得值.

(2)由正弦定理得a=4sinA,b=4sin3,代入得必=4(1+6)，运用三角形的面积公式可求得其值.

【详解】

(1)由(a->/§/0$出4+从出8=。$山(?及正弦定理得(。-，§/>)。+〃=。2,BPcr+b2-c2=yfiab

由余弦定理得cosC='「+"-c-=Y3,()<C〈兀，:.C=-.

2ab26

2R=c_2_4

(2)设八钻。外接圆的半径为R,则由正弦定理得sinC「.兀一，

sin-

6

a=2/?sinA=4sinA,b=2/?sinB=4sinB9ab=16sinAsinB=4(1+73)

1

x—=1+G.

2

【点睛】

本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角

互化，属于基础题.

8

22X2+y2

18、(1)-匕=1=3-

84

【解析】

22

试题分析：(1)因为椭圆£:=+27=16万>0)过M(2,血)，N(",l)两点,

ab~

42,11

—+TT=1-=Z2_«22

所以匕,解得｛二:所以｛,「椭圆E的方程为±+匕=1

6,1,11b2=484

/+*】*a

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且108,设该圆的切线方程

y=kx+m

为>=履+机解方程组｛/2得炉+2的+〃2)2=8,即(1+2左2)1+4%肛+2加一8=0,

—+—=1

84

则4=16左2m2,4(1+2/)(2/-8)=8(8公-m2+4)>O,BP8Jt2-w2+4>0

4km

%+x

2~l+2k2

2m2-8

中2=

l+2k2

k21加一8)4k2t?rrrT-8k2

yy=(Ax,+m)(kx+m)=k2xx+h”(尤］+x)+m2--------+m2=...........—

22t22-1+2-1+2左2i+2k2

公(2〃/-8)4k2/,小一8二

yy=(fcij+in)(kx4-m)=k2xx+km(x+x)+m2------------------1-"?—=-------

x2212{21+2左21+2左21+2公

要使0A108,需使小，-I］、=0,即迎二+弋=0,所以3/-8/一8=0,所以公=网W20又

一•-X+lk21+2P8

8后2—机2+4>O,

et-ij"1>2由2、8口口2A/6T2V6

所以r｛,，所以加2二，即/〃之二一或------，

3m2>8333

因为直线y=H+〃?为圆心在原点的圆的一条切线，

II2m2m28L

I，用厂=------------------

所以圆的半径为r=-^^，1+公3苏-8=3-,r=—?J6,

O

所求的圆为W+y2=§此时圆的切线丫=履+"都满足加之亚或加<—2区

333

而当切线的斜率不存在时切线为工=±半与椭圆三+?=1的两个交点为I*.上咨|或(-手，士半)满足

OAA.OB,

Q

综上，存在圆心在原点的圆/+y2=3,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且Q4,08.

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系.

点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理.存在性问题，往往从假设存在出发，运

用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性.

19、(1)B=-(2)5G+8

3

【解析】

(1)首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sinA(sin3-百cosB)=0,再由同角三角三角的基本关系得到

tan3,即可求出角8；

(2)由(1)知，AABC是正三角形，设乙4。8=。€(0,乃)，由余弦定理可得：AJ?2=16+4-16cos。，贝!I

SMBC=:AB?sin|，SMOB=gx4X2sin。得到S四边形+4卜in8-Gcos6)，再利用辅助角公式化简,

最后由正弦函数的性质求得最大值；

【详解】

解：(1)由cosC+(cosA-GsinA)cosB=0,

-cos(A+B)+(cosA-v3sinA)cosB=0,

-cosAcos3+sinAsinB+(cosA->J3sinA)cosB=0,

sinA(sin8-石cosB)=0>

,sinAw0,

tanB=6，

:.B=Z

3

(2)由(1)知，AABC是正三角形，设NAOB=ee(0,»),

由余弦定理得：AB?=16+4-16cos8，

=-AB?sin-=5V3-4A/3COS0

23

S^OB=g.4-2sin6=4sin6,，S四边形=5V3+4^sin^-V3cos0j=5V3+8sin(^-y),

S7T

所以当e=会时有最大值5石+8

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于

中档题.

20、(1)a„=2n-l,bn=2-3"-'；(2)=2(〃-1)-3"+2；(3)存在，1.

【解析】

(1)利用基本量法直接计算即可

利用错位相减法计算;

S+Trn2-l+3m+l

(3)mm+]EN*,令‘犷]-L,L€N"可得(L-D(加2_i)=©_£)3'",1<£,,3,讨论即可.

2

Sm+Tmm-1+T

【详解】

（1）设数列｛4｝的公差为d,数列也｝的公比为4,

因为〃=2a,=2,4国=54,a2+7；=11,

3

2式3+31)=54"l+d)=9I4=3q=——

所以《9即<[d+2q=8'解,,或12(舍去).

l+d+2+2^=lld=2

d=5

所以4=21也=2”

(2)M门=%瓦+a2b?+/&++anbn=1X2+3X2X3+5X2X3?+・・・+(2〃一I)x2x3"”，

2,,_|

3Mn=lx2x3+3x2x3++(2/i-3)x2x3+(2〃—l)x2x3",

2+4x型三，一(4〃-2)x3"=-4-(4〃-4).3"

所以吃=2(〃-1).3"+2.

n

(3)由(1)可得S“=〃2,Tn=3-\,

所以之也」41+户

5.也疗一1+3'"

S"+l向

因为是数列｛《,｝或也｝中的一项，所以f二:.-=L,LeN.,

Sm+Tm

所以“—1）（加2-1）=（3-L）T,因为〃/一i（）,3，”>（）,

所以1<乙,3,又LwN*,则L=2或L=3.

in2-病-1

当L=2时,有（4=即—=1>令/(〃?)=

3™

(m+1)2-1rri2-12m2-2m-3

则/(〃7+1)-/(，*)=

3'""T3m+1

当机=1时，f⑴<1(2)；当〃后2时，+

即/(1)</(2)>/(3)>/(4)>-.

由/(1)=0,/(2)=:，知叵二U=i无整数解.

33'"

当L=3时，有团2一1=o,即存在m=1使得=3是数列｛q｝中的第2项，

m—1+3

S+7

故存在正整数机=1,使得?是数列｛4｝中的项.

【点睛】

本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前〃项和，数列中的存在性问题，是

一道较为综合的题.

21、(1)0.8(2)详见解析(3)事件。虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生

变化，详见解析

【解析】

(1)由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G,结合古典撷型的概率计算公式，

即可求解；

(2)由题意X的所有可能值为0」,2,利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分

布列，利用期望的公式，即可求解.

(3)设事件。为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为P(。)，即可

得到结论.

【详解】

(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早

期体验用户和中期跟随用户的频率，即270：：30=0用.

1000

(2)由题意X的所有可能值为0』,2,

记事件A