2023届高考高三模拟数学试卷二（解析版）

2023届新高考高三核心模拟卷（中）（二）

数学

一、选择题

I,若(l+2αi)i=l一万，其中αS∈R,则∣l+α+历I=()

A.叵B.√5C心D.√H)

22

K答案DC

K解析D∙.∙(l+24i)i=-2α+i=l-0i,.∙.α=-∕,%=-l,.∙Jl+α+历I=ɪ-i~~^∙

故选：C.

2.设集合A={Wx<2或XN4},B={Λ∣α<x≤α+l},若(44)B=0,则〃的取值

范围是()

A.或α>4B.aV1或Q≥4

CavlD.a>4

K答案XB

K解析H由集合A={Rx<2或x≥4},得/A={M2≤X<4},

又集合3={x∣α<x≤α+l}且(\A)B=01则α+l<2或α24,

即a<1或ɑ".

故选：B.

3.已知函数y=log∕3x-2)+2(α>0且α≠l)的图象过定点A,若抛物线V=2px也

过点A,则抛物线的准线方程为()

A.X--2B.X=-I

99

C.X-D.X-

24

K答案》B

K解析D因为对于Vα>0,0wl,当3x-2=l,即X=I时，恒有y=2,

2

因此函数y=log.(3x-2)+2的图象过定点A(l,2),而点A在抛物线y=Ipxh,

则22=2p,解得p=2,

所以抛物线√=4x的准线方程为X=-I.

故选：B.

4.若两个向量.、万的夹角是g,a是单位向量，W=2,c=2a-b>则向量C与b的

夹角为（）

ππ2π5π

A.-B.-C.—D.—

6336

K答案DD

K解析D由题意=W∙Wcosg∙=lχ2χcos1=一1,

又由c=2a-B'所以卜I=J（4-"）=飞4,-4a∙b+b-=,4+4+4=,

所以c∙b=（2a-b）∙b=2a∙b-b~--2-4--6,

rηACb—6√3

设向量C与人的夹角为。，其中。e[0,可，则CoSe=g-^=26χ2=F,可得

6=2.

6

故选：D.

5.一种高产新品种水稻单株穗粒数y和土壤锌含量X有关，现整理并收集了6组试验数

据，y（单位：粒）与土壤锌含量X（单位：mg∕m3）得到样本数据

（七,M（Z∙=1,2,3,4,5,6）,令z,=Iny,,并将（x,∙,Zj）绘制成如图所示的散点图.若用方程

y=ae"对V与X的关系进行拟合，则（）

Z∣

4-

3-.,

2-.**

1-,

20212223242526x

A.a>l,h>0B.a>l,b<0

C,0<6r<l,⅛>0D.0<a<l,b<0

K答案HC

K解析U因为y=ne"*,Iny=hx+lnα,令Z=Iny,则Z与X的回归方程为Z=Zzx+ln4,

根据散点图可知Z与X正相关，因此匕>0,又回归直线的纵截距小于0,即Ina<0,得

0<α<l,

所以O<α<l,b>0.

故诜：C

2Y

6.x-^=-∖展开式中常数项为()

<X)

A.-479B.-239C.1D.481

K答案》c

2Y_(7=一】J相乘,

K解析》根据二项式定理,x--j=-l表示6个-

所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况:

(2八

①6个［x-ξy=∙-l中全部选T项展开;

②6个卜一白一12

中有1个选择X项，2个选择一-尸项，3个选择-I项展开;

√x

2

③6个中有2个选择X项，4个选择一一方项展开.

7X

所以，其常数项为:(一1)6+C>C；(-2)2(—1)3+c〉C；(一2)4=1-240+240=1.

故选：C.

7.己知/(x)是定义域为R的奇函数，当χ>0时，/(%)=ln(l+x2)+X,则不等式

/(2x+l)>l+ln2的解集为()

A.{x∣x<l}B.{%|%<0}C.{x∣X〉1}D.{x∣%>0}

K答案UD

K解析H由题意,可知/(τ)=-"x)且/(())=(),

当x<0时，τ>0,则/(-x)=In(I+d)-x,即一/(χ)=In(I+χ2)-x,

In(1+%2)+xx>O

可得/(x)=<Ox=O,

-In(I+ΛJ)+Xx<0

当”>O时，/(x)=ln(l÷x2)÷x,

则r(x)=2_+i=g±殳>0,即/(%)单调递增,

l+x2l+x2

由In(I+0)+0=0,则/(x)在R上单调递增,

易知/⑴=ln2+l,则不等式等价于/(2x+l)>"l),

可得2x+l>l,解得χ>0.

故选：D.

8.在三棱锥A—BCD中，,ABC和ABCZ)都是边长为20的正三角形，当三棱锥

A-BCD的表面积最大时，其内切球的半径是()

A.4-2√3B.2√2-√6C.—D.也

23

K答案WA

R解析H设三棱锥A-38的表面积为S,

则S=SΛABC+SABCD+SAABD+SAACD

=2Xɪ×2V2X2>∕2Xsin60+2×-×BA×BD×sin^ABD

22

=4√^+8sin∕A5Γ>,

当NABO=90°,即AB_LBr)时，表面积最大为8+4√L

此时Ao=4,AE=DE=娓,：.SAED=26

过A作BC的垂线，垂足为E，连接EO,

因为一ABC和ZXBCD都是正三角形，所以E为BC中点，DElBC,

因为AE_LBC,AEDE=E,AE,DEU平面ADE,所以BCI平面ADE

8E为三棱锥B—AED的高，CE为三棱锥C—AED的高,

设三棱锥4-BCD的体积为V,则

V=%15—AEitUD+½C?-AAIEtUD=3—BE∙S.■AtELDU--ɜCE∙SAAELD.U

=-(BE+CE)SAED=-BCSAED=L2√^X2√Σ=S

3333

设内切球的半径为，因为V=；Sr,所以r=4—2百，

故选：A.

二、选择题

9.设a>l,b>l,且曲一（α+b）=l,那么（）

A.有最小值2起+2

B.2α+Z?有最小值7

C.出?有最小值3+2√Σ

D.』+,有最小值3-2夜

ab

K答案HABC

R解析X因为。>1乃〉1且αb≤,所以（。+份2-4（。+〃）—4≥0,

解得α+6≥2痣+2或α+b≤-2√Σ+2（舍），

即α+bN2√Σ+2（当且仅当α=6=√∑+l时取等号），.∙.A正确.

2α+A=2α+^=2（α-l）+3+3≥2j2（α-l）∙2+3=7,

a-∖17a-∖Vv,a-∖

当且仅当α=2时取等号，B正确；

因为α+A≥2j茄，所以l≤αb-2J茄，解得“023+2&（当且仅当α=b=J5+1时

取等号），C正确;

，+:=甘=W=I-4≥1-T∖=20-2(当且仅当α=b=夜+1时取等号)，D

abababab3+2√2

错误.

故选:ABC.

10.已知函数/(%)=2sin2尤一3sin∣x∣+l,则()

A.7(x)是偶函数B.7(x)在区间(一上单调递增

C./(x)在［一π,π］上有4个零点D./(x)的值域是［0,6］

K答案》AB

K解析》对于A,函数y=∕(χ)的定义域为R,

且/(-X)=2sin2(T)-3sin∣-x∣+l=2sin2x-3sin∣x∣+l=∕(x),

所以函数y=∕(χ)是偶函数，A正确;

ɪ

对于B,当Xeo,2X—3sin%+l=2

I4J8

令f=sinx，由于函数y=2时单调递减,

函数r=siιu在Xe(O,"时单调递增，所以函数y=/(x)在区间(0,；)上单调递减,

故函数y=∕(x)在区间(一:,θ］上单调递增，B正确；

对于C,当x∈［0,π］时，由f(%)=2si∏2χ—3sinx+l=0,得SinX=；或SinX=1,

所以％=g或χ=g或X=*,所以偶函数y=∕(x)在［一兀,可上有6个零点，C不正

626

(ɜλ21

确；对于D,当x∈［θ,+8)时，f(%)=2si∏2χ-3sinx+l=2binx-1.

31.

因为一l≤sinx≤l,所以当SinX=:时，/(x),当SinX=-I时，zf(∙^)χ=ð•

4min8ma

由于函数y=∕(χ)是偶函数，因此，函数y=∕(χ)的值域为二,6,D不正确.

O

故选：AB.

11.已知曲线C的方程为/+y2-2χ+4y-l=0,曲线C关于点(g,"1的对称曲线为

C-若以曲线C与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为46，则加的值可能为

()

A.-1B.1C.-2D.0

K答案》CD

K解析X根据已知得曲线C的方程为(X-1)2+(y+2)2=6,设曲线c'上任意一点坐标为

P(χ,y),

它关于点(g,的对称点坐标为P(∙⅞,%),则(Xo—11+(%+2)2=6…①，

∙⅞+xɪ

Xɪ—JQ

依据中点坐标公式得到《22则‘0=-c'代入①得到C'的方程为

%+yy0=2m-y,

.2

如图，由题意圆C'与两坐标轴的交点为AB,，则有AE_LBD，

令X=O得：A^(),V6+2/?2+2j,+2,ιn+2j,|A£^|=2∙∖∕6,

忸4=2λ∕6-(2m+2)*^，

曲线C'与坐标轴围成的四边形面积为46,所以,x2√^x2λ∕6-(2m+2)2=4百,

解得W=O或M=-2；

故选：CD.

12.如图所示，在长方体ABCZ）-A4GA中，44=4耳=2,4。=1,。是耳。的中

点，直线AC交平面A4A于点M,则（）

B.AtM的长度为1

C.直线AO与平面BCGg所成角的正切值为更

4

D.的面积为坦

6

K答案》ABD

K解析D对于A,连结4G，AC,则AcI〃AC,.∙.Λl,G,A,C四点共面,

A∣Cu平面ACClAI，MeAC,∙∙∙Me平面ACGA，

又MW平面A耳。,二M在平面ACGA与平面ABQl的交线上，

同理A,。也在平面ACGA与平面AB∣A的交线上.

O三点共线，故A正确：

对于B,设直线AC与平面BG。的交点为N,

易证平面A4A平面C/。，从而得到。M〃GN,

因为。为AG中点，所以M为AN中点，

同理可得N为CM中点，所以AM=gAC=l,故B正确；

对于C,取AA中点E,连接AE,0E,

因为平面ADD,A,平面BCC1B1,

则NQ4E即为直线Ao与平面BCCiBl所成角,

OE2>∕V74√,c⅛tt3

tan/OAE=---=------>故C错误；

AE17

对于D,因为40=gAC,AM=；A。，

所以S的”=1sW,=1x；A1G∙CG=£，故D正确•

OOZO

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

y2X24

13.已知双曲线e:-ɪ万一。=1(0<Q<D的一个焦点到直线y="的距离为一，则C

I-Qa~5

的离心率为.

K答案》Wl

7

K解析Il由已知得，双曲线的焦点在Y轴上，且焦点坐标为(0,±l),不妨取(0』)，它到直

14314λ∕7

线y=奴的距离为丁^==W,解得α=—,所以双曲线C的离心率为e=.=——

252

√∏+14√l-a7

故R答案H为：亘

7

,π)

14.已知α为锐角，且COS«+-=-,则cosa-

I673

√3+2√2

K答案工

6

R解析》由α为锐角，且COS[a+已)=；

(兀、

π(π,(兀、.兀

所以CoSa=CoS2+一—=CoSa+—cos—÷sina+—sin—

V6√6jI6)6I6)6

=—1×-√3-1--2√-2×—1=-百--+-2-&

32326

故K答案H为：6+20

6

15.已知等比数列｛4｝的公比为q(q>0),前〃项和为S“，且满足q=%%=%+邑.若

对一切正整数〃，不等式13-2〃-2加+加4>加5.恒成立，则实数，〃的取值范围为

3

K答案Xm<——7

256

K解析D若q=l,则％=q=l,即％=1,此时应≠α∣+S4,与题意不符，舍去;

(1-力

若q≠l,由%=4+S4,可得q∕=q+3

i—q

即q(l-∕)+30一力41+ɪ

=0,al(l-9)二0，

i—q∙-⅛F>

解得q=ai=2,则an=2",Sn=2(2”—1).

对一切正整数〃，不等式13-2〃-2m+m∙2">2加(2"-1)恒成立,

13—2〃

化简得13-2”>m∙2"，分离可得加<

2"

/\13—2〃/\11-2ΛZ/\/\2〃—15

设则/(“+1)=^=

当1≤"≤7时，/(n+l)<∕(n),即/⑻<"7)<∙<∕(l)i

当〃≥8时,/(n+l)>∕(n),即/⑻<∕(9)<∙

3

所以/(〃)的最小值为"8)=-七，

256

3

故K答案X为：m<-------.

256

16.在锐角一ABC中，βC=4,siπB+sinC=2sinΛ,则中线AO的取值范围是

K答案W[2√3,√13)

K解析]设A6=c,AC="8C=α=4,对sinB+sinC=2sinA运用正弦定理，得到

b+c=2a=8f所以。=8—方，

λ/+。2_/

cosA=-------------->0

2bc

a2+c2-b2

因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，可得VcosB=-------------->0,

2ac

ɔb1+a1-C2

cosCZ=-------------->0

rLab

⅛2+(8-⅛)2>16

则《(8-⅛)2+16>⅛2,解得3<匕<5,

⅛2+16>(8-/?)2

由bc=b(S-b)=-b2+8b=-(⅛-4)2+16,得至∣J15<Z?c≤16,

运用向量得到AO=g(AB+4C),所以IAq=gJAB2+AC，+2网•国卜cosA

=Lb+c2+2Ac∙∙"+三一I'=Lj2^+2c2-i6=Ljιi2-48C，

2V2bc22

结合be的范围，代入，得到的范围为［26,JiG).

故K答案H为：［2√3,√13).

四、解答题

17.已知数列也｝的前〃项和为S”，且4+Szi=I.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足瓦=12+log24,设空=例+冈+∙+∣⅛∣,求T0.

(1)解：由a“+Sa=1,得firt+1÷S“+[=1,

两式相减，得an+l-an+S,,+l-Sn=O,

所以2。向=。“，即4+∣=∕4,,∙

又因为〃=1时，al+Si=1,所以a1=；,

因为&k=;,

%2

所以数列｛%｝是首项为ɪ.公比为T的等比数列.

1([∖W-IZ[X/:

所以4=4/1=；ɪ=ɪ.

ZI，/I，/

(2)解：由(1)得O.=12+log2

〃佃+%)~n2+23/?

当n≤12时,T"=b∖+b+∙+b

2n2―2

当〃213时,

Tn="+&+…+b]2—(/+3+∙∙+⅛)=2(⅛,+b2+…+九)一(4+4+∙∙+⅛)

1

_2x12(4+伉2)w(⅛∣+bn)_n-23n+264

~22―2~

—n~+23〃

,∏≤12,

2

综上,Tn=<

n2-23n+264

,n≥13.

2

18.如图，在四边形ABC。中，已知AB=Ao=4,BC=6.

(2)若CD=2,四边形ABCZ)的面积为4,求CoS(A+C)的值.

(1)解：在△"£>中，,.∙AB=AD^4,A=—,

3

π

则NAD3=—

6

.∙.BD=2ADcosZADB=2×4×cos^=.

6

BCBD

在ABCD中，由正弦定理得,

SinZfiDCsinC

6Xsin43

sinZBDC=&C瑟C

4√3-4

,.'BC<BD,Λ0<ZBDC<∣,

cosZBDC=√l-sin2ZBf>C=

(2)解：在ZVLBZ)∖ACBD中,

由余弦定理得，

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=42+42-2×4×4×cosA=32-32cosA,

BD2=CB2+CD2-2CB∙CDCOSC=62+22-2×6×2×COSC=40-24COSC.

从而4cosA-3cosC=-l①，

由SAABD+SACBD=Jx4x4XSinA+}x6x2XSinC=4得，

4sinA+3sinC=2②，

①2+②2得，lð(sin2A+cos2A)+9(sin2C+cos2C)—24(cosAcosC-sinAsinC)=5,

.∙.COS(A+C)=∙∣.

19.如图所示，正方形MAO与矩形ASCQ所在平面互相垂直，AB=2AD=2,E为线

段AB上一点.

(1)求证：D1ELA1D;

(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角R-EC-D的大小为若存在，求出AE

6

的长；若不存在，说明理由.

(1)证明：连接AoJ交AQ于尸，连接。3,

因为四边形例为正方形，所以A.

因为正方形A41OQ与矩形ABCZ)所在平面互相垂直，交线为AD,AB±4),A8u平面

ABCD,

所以ABS平面A4。。，.

又4。U平面/L41Z)Q,

所以AB_LAr>,

又AD∣f'AB=A,ADi,ABU平面ADtB,

所以AQ，平面AQB,

又REU平面AD1B,

所以

(2)解：存在满足条件的点E,AE=2-3.

3

解法一：因为AAA。为正方形，所以AD_L。。，

因为平面A平面ABe。，平面∕½ROc平面ABCD=A£),ROU平面

AAiDlD,

所以，平面ABCO,

因为AD,DCU平面ABQX

所以〃LAO,DiDlDC,

因为矩形ABC。中，DClDA

所以，以。为坐标原点，DA、OC、。A所在直线分别为X轴、y轴、Z轴

建立空间直角坐标系，如图.

因为ΛB=2AZ)=2,则。(0,0,0),C(0,2,0),A(0,0,1),4。，0，1)

所以On=(0,0,1),DC=(0,2,—1).

易知£)〃为平面ECz)的法向量，

设E(IM⑼(0≤α≤2),所以EC=(T,2—a,0).

设平面。IEC法向量”=(x,y,z),

“∙Q∣C=Oz=2y

所以V∣[x=(2-α)y,取y=l,得〃=(2-a,l,2),

n-EC=Q

又二面角Dx-EC-D大小为色,

6

所以cos空π画@∣(0,QJ)∙(2FL2)∣

r22,

ð∣Z)Z)l∣∣n∣√i√(2-a)+l+2

即3。2-12。+11=0,解得α=2±立

3

又因为0≤α≤2,所以a=2—即AE=2-∖5.

33

解法二：假设存在满足条件的点E,过点D作DNlCE于点N,连接。N,

因为AΛ1f>Q为正方形，所以AOlDR,

因为平面A4QQ_L平面AJBCz),平面AA1QOc平面ABCZ)=A。，。。U平面

AA1D1D,

所以平面ABcD,

因为CEU平面A8C。，

所以DQ_LCE,

因为Ro∩£W=£>,A。NU平面D1DN

所以，DINLCE

所以NDlND为二面角D1-CE-D的平面角,

Dl

在RtzM)∣N0中，D1D-I,

所以。N=√L

又在RtΛDNC中,CD=AB=2,NC=L

TT

所以NNQC=—，

6

TT

因为ZNDC+ZECD=ZECD÷ZECB=-,

2

TT

所以？ECB

6

所以，在RtVECB中，BE=BCtan三=®，

63

所以AE=2—3.

3

20.现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢人仅>1,攵eN*)

局，谁便赢得全部奖金4元.假设每局甲赢的概率为〃(0<〃<1),乙赢的概率为I-P,

且每场比赛相互独立.在甲赢了加(加<外局，乙赢了〃(〃<的局时，比赛意外终止，奖金

如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金

的概率之比为：纭分配奖金.

一3

(1)若％=3,m=2,〃=l,p=—,求％:生；

4

(2)记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当&=4,相=2,〃=2时，比

赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率/(P),并判断当,≤p<l时，事件4是否为小概

率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于006,则称该随机事件为小概率事

件.

解：(1)设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多

再进行2局，

3

当X=I时，甲以3:1赢，P(X=I)=:，当X=2时，甲以3:2赢，

4

133

P(X=2)=-×-=-,

4416

3315151

因此甲赢的概率为三+—=一,则乙赢的概率为1-上=—,

416161616

所以品：心=15:1.

(2)设比赛再继续进行y局乙匾得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，

当Y=2时，乙以4:2赢，P(Y=2)=(I-P)2,当y=3时，乙以4:3扁，

P(y=3)=C；P(I-P)2=2P(I-P)2,

于是得乙赢得全部奖金的概率P(A)=(I-p)2+2p(l-p)2=(1+2p)(l-p)2,

46

甲赢Ir得全部奖金的概率/(P)=I-(I+2P)(I-P)92,-≤p<l,

J(P)=-2(l-p)2-(l+2p)∙2(l-p)(-l)=6p(l-p)>0,即函数/(P)在g,D上单调

递增，

632432419

则有/(p)min=/(-)=—，因此乙赢的概率最大值为1-祢=而才0.0554<0.06，

所以事件A是小概率事件.

Y7+p-=l(tz>⅛>0)过点f1，

21.已知椭圆C：—，直线/：>=X+「与C交于M,N两

a

点，且线段MN的中点为为坐标原点，直线OH的斜率为-

2

(1)求C的标准方程；

(2)已知直线y=米+2与C有两个不同的交点A,B,P为X轴上一点.是否存在实数k，

使得K43是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出上的值及点户的坐标；

若不存在，请说明理由.

(I)解：设Λ∕(x],χ),N(x2,y2)，则”「也,

,V,+V1

所以,由题知直线OH的斜率%=K2=―1

因为M,N在椭圆。上,

2222

所以丁方=吟+言=1,

(x,÷x)(x,-x)(γ∣+.y)(γ,-j)

两式相减得22ι22=0.即

CTb2

11(y+%)(y-%)=0,

12

a⅛(%l+%2)(xl—%2)

又G=卫士=1,

X1-X2

所以W―=0，即/=2Z?2.

又因为椭圆。过点1,

所以」-+上-

1=1,解得Y=4,∕=2,

以片+2fy2

所以椭圆。的标准方程为三+汇=1.

42

y=kx+2,

(2)解：联立I尤22消y整理得:(242+1)/+8区+4=o

-^-=↑

[4+2

因为直线与椭圆交于A8两点，故△>(),解得公>」.

2

x

设4(玉,%),3(%4，乂)，则£+/=.心I,⅞4=7Γ工•设AB中点G(XO,%)，

-Ak,-2,(-4k2>

A3+X4

则Λ-r-,yo=kxo+2=-故GF∣

o2[TΓΞFTL∙

假设存在攵和点尸(皿0)，使得.RW是以尸为直角顶点的等腰直角三角形，则

PGLAB,故即G∙%=T,

2

所以2«：+1xk=-l,解得机=

-4k

—z-------m

2公+1

π

又因为NAP8=5,所以PA∙PB=0,

所以(毛一加,%)・(％4一皿%)=0，即(毛一"])(七一机)+%%=0，

2

整理得(公+l)xjx4+(2Ar-m)(x3+x4)+zn+4=0.

所以(/+1)•———(2k-m~)•—‰-+m2+4=0,

∖,2k1+∖v72公+1

一2%

代入根=F—，整理得/=1，即炉=1，

2F+1

所以Z=I或2=—1,即存在Z使得.RW是以P为顶点的等腰直角三角形.

当A=T时，尸点坐标停°｝当Z=I时，尸点坐标为卜g,o]

此时，aw是以P为直角顶点的等腰直角三角形.

22.己知函数/(%)=OV2+(α-2)x-InX(α∈R).

(1)讨论/(χ)的单调性;

2

(2)若/(x)有两个零点为马，证明：X+