广东省东莞市黄江镇2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

广东省东莞市黄江镇2023-2024学年九年级上学期期中数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.把一元二次方程--3x=l化为一般形式，则它的一次项系数和常数项分别为（）

A.1,—3B.3,-1C.-3,—1D.—3,1

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.已知二次函数y=g（尤-6y+3下列说法：①其图像的开口向下；②其图像的对称轴

为直线下一6；③其图像顶点坐标为（6,3）；④当尤＜6时，y随尤的增大而减小.则

其中说法正确的有

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.某种芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由128元降为88元.若两次

降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x,根据题意，可列方程

A.128（1-N）=88B.88（1+x）2=128

C.128（1-2x）=88D.128（1-x）2=88

5.如图，在RtABC中，/&1C=9O。.将RtABC绕点C按逆时针方向旋转47得到

及AA'3'C,点A在边8'C上，则的大小为（）

6.二次函数y=--2x-2与坐标轴的交点个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80c〃z,

宽为50c机的挂图，设边框的宽为xc%,如果风景画的面积是2800c/,下列方程符合

题意的是（）

50cm

80cm

A.(50+x)(80+x)=2800B.(50+2x)(80+2x)=2800

C.(50-x)(80-x)=2800D.(50-2尤)(80-2x)=2800

8.把抛物线y=/先向左平移i个单位再向上平移i个单位，所得到抛物线的表达式为

()

A.y=x2+lB.y=(%+l)2+lC.y=(x-l)2-lD.y=(^+l)2-l

9.若A，X2是一元二次方程尤2-2无一3=0的两个根，贝！|x；+考+再超的值是()

A.-7B.-1C.1D.7

10.已知二次函数y=ax2+6x+c(aw0)的图象如图所示，给出以下结论：@a+b+c<0；

②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0,其中正确的个数是()

二、填空题

11.若关于x的一元二次方程f+6x-c=0有一根为-2,则c的值为.

12.抛物线>=以2+法+°过点4(-1,6),3(3,6),则此抛物线的对称轴是直线尤=_

13.若关于x方程W+S+b)x+6=。的一个根是3,那么另一个根是

14.如果方程近2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数上的取值范围是.

15.若点尸。小-加+3)关于原点的对称点Q在第三象限，那么根的取值范围是

三、解答题

16.用合适的方法解下列方程:

⑴尤2-7X+12=0；

试卷第2页，共4页

⑵尤2+4X+1=0.

17.抛物线的图像如图所示，其中点A为顶点.

(1)写出点A,B的坐标；

⑵求出抛物线的解析式.

18.如图，将一个含30。角的三角板A3C绕点C顺时针旋转得到△££>(?,点3、C、E共

(2)若AB=1,求BE的长.

19.已知相，"是方程/_2工一1=0的两个根.求3裙_6m-7的值.

20.已知关于尤的一元二次方程N+(2A+3)x+N=0有两个不相等的实数根x/,X2.

(1)求左的取值范围;

11

(2)若丁+7=-1,求上的值.

21.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是(-2,-4),(0,-4),(1,-1),ABC

绕点。逆时针旋转90。后得到44^G.

(1)画出△4片a,并写出点G的坐标;

⑵画出,ABC关于原点。对称的△AAQ.

22.如图，已知二次函数y=^_4x+c的图像与坐标轴交于点4-1,0)和点8(0,-5).

(2)已知该函数图像的对称轴上存在一点尸，使得AASP的周长最小.请求出点尸的坐

标；

(3)在(2)的条件下，在x轴上找一点使得A4PM是等腰三角形，请直接写出所

有符合条件的点M的坐标.

23.正方形A3CD的边长为5,E,尸分别是AB,8c边上的点，且ZH)尸=45。.将DAE

绕点D逆时针旋转90°,得到△naw.

(1)求证：EF=AE+CF-

(2)当AE=2时，求石尸的长.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案.

【详解】解：化为一般式为：尤2-3元-1=0

•••故一次项系数为-3,常数项为：-1

故选：C.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=Q力,c是常数且存0）,在

一般形式中办2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中。力,c分别叫二次项系数，一次项

系数，常数项.

2.A

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐个排查即可解答.轴对称图形的关键是寻

找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部

分重合.

【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

3.B

【分析】根据函数的解析式可知。=3＞0,所以函数的开口向上，故①不正确；根据解析式

可知函数的对称轴为x=6,故②不正确；根据函数的顶点式可知函数的顶点为（6,3）,故

③正确；根据函数的图像可知当尤＜6时，函数的图像在对称轴的左边，y随x增大而减小,

故④正确，综上，即可得.

【详解】解：：函数的解析式丫=:（》-6）2+3中的4=；＞0,

2z

.••函数的开口向上，

故①不正确；

:函数的对称轴为户6,

故②不正确；

:函数的顶点式可知函数的顶点为（6,3）,

答案第1页，共13页

故③正确；

♦.•当尤＜6时，函数的图像在对称轴的左边，y随尤增大而减小，

故④正确，

综上，只有③④正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质.

4.D

【分析】根据该药品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程,

此题得解.

【详解】解:依题意得：128(1-x)2=88.

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键.

5.A

【分析】先根据旋转的性质得出/A'=/BAC=90。，ZAG4,=47°,然后在直角△A(方中利

用直角三角形两锐角互余求出AB'.

【详解】解：在RtAABC中，/BAC=90。，将RtAABC绕点C按逆时针方向旋转48。得到必

△ABC',

ZA，=Z.BAC=90°,ZAC4,=47°,

.-.ZS,=90°-ZAC4,=43°.

故选A.

【点睛】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了直角三角形两锐角互余的性质.

6.D

【分析】画出二次函数y=x2—2x—2的图像，根据图像进行解答.

【详解】先审题，二次函数与坐标轴的交点，有两种情况.第一与y轴的交点，即尤=0的时

候，求得y=-2,这是一个交点.第二与尤轴的交点，即y=0,就是求二次方程无2—2x—2

=0的解，求得两解.因此，可解得有3个交点.

【点睛】本题考查了二次函数图像与坐标轴交点的求法，令尤=0和j=0分别解2个方程是

本题的解题关键.

答案第2页，共13页

7.D

【分析】根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案.

【详解】由题意得：风景画的长为：(8。-2x)57,宽为：(50-2x)cm

利用矩形的面积公式得：(8。-2x)(50-2x)=2800

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键.

8.B

【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式.

【详解】解：将抛物线y=f先向左平移1个单位再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数

表达式为y=(x+iy+1.

故选：B.

【点睛】本题考查函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用

规律求函数解析式.理解和掌握函数图像平移的规律是解题的关键.

9.D

hr

【分析】利用两根之和为玉+尤2=-一，两根之积为国％=—，计算即可.

aa

【详解】解：：4、々是一元二次方程/一2尤-3=0的两个根，

再+x2=2,x[x2=-3,

・••片+君+西兄2=(%+%2)2―F%2=4—(—3)=7,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式.

10.B

【分析】①据当X=1时图象在X轴下方，得出yVO,即a+b+c<0判断即可；

②据当x=-l时图象在x轴上方，得出y>0,即a-b+c>0判断即可；

③据对称轴X=-=<1,得出2a+b>0进行判断；

2a

④由图象开口向上判断出a>0,由对称轴在y轴右侧得出b<0,由抛物线与y轴交于负半

轴，c<0判断即可.

【详解】解：①当x=l时图象在x轴下方时，y<0,

答案第3页，共13页

即a+b+c<0,①正确；

②当x=-l时图象在x轴上方，y>0,

即a-b+c>0,②错误；

③由抛物线的开口向上知a>0,

Vx=<1,

la

.*.2a+b>0,③错误；

④：图象开口向上，

:对称轴在y轴右侧

.*.b<0,

•••抛物线与y轴交于负半轴，

.".c<0,

/.abc>0,④正确，

,正确的结论有2个；

故选：B.

【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由

抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键.

11.-8

【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值.

【详解】解：把x=-2代入方程有：4-12-c=0

c=-8.

故答案为：-8.

【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值.

12.1

【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，先根据点A（T6）,3（3,6）的纵坐标相等可

知两点关于抛物线的对称轴对称，再根据中点坐标公式求出对称轴直线即可，根据题意得出

两点关于抛物线的对称轴对称是解题的关键.

【详解】解：：点A（T6）,现3,6）的纵坐标相等,

.♦•两点关于抛物线的对称轴对称，

答案第4页，共13页

.,•抛物线的对称轴为：直线X=—^-=1,

2

故答案为：1.

13.2

【分析】设方程的另一个根是"3由根与系数的关系两根之积等于6,即3机=6,然后求解

即可.牢记“一元二次方程加+云+。=0(。叫的两根之和等于-：，两根之积等于亍,是解

题的关键.

【详解】解：设方程的另一个根是北

根据题意得：3m=6,解得：m=2,

方程的另一个根是2.

故答案为：2.

14.左<1且上片0

【分析】本题考查了一元二次方程加+6x+c=0(aw0)的根的判别式A=62-4oc：当A〉。，

方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数

根.也考查了一元二次方程的定义.根据一元二次方程依2+法+。=0(。#0)的根的判别式

^=b2-4ac,由题意得人力0且A>0,即22-4X^X1>0,然后求出两个不等式的公共部分

即可.

【详解】解：•••方程区2+2》+1=0有两个不等实数根，

.•.左/0且A=2z-4x左xl=4-4上>0

解得左<1且左片0,

故答案为：左<1且人力0.

15.0<m<3

【分析】由题意知点尸必在第一象限，根据第一象限的坐标特征，可列出关于根的一元一

次不等式组，解不等式组即可求得加的取值范围.

【详解】•・•点尸(m,-m+3)关于原点的对称点。在第三象限

二・点尸(m,-m+3)在第一象限

则(f-mm>+03>0

解不等式组得：0〈根<3

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故答案为：0<加<3

【点睛】本题考查了两点关于原点对称的性质，点在各个象限的坐标特征，解一元一次不等

式组，掌握这些知识是解决本题的关键.

16.(1)玉=3,x2=4

(2)%=—2—A/3,/=—2+A/3

【分析】(1)运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是

解题的关键；

(2)先配方，然后运用直接开平方即可解答；掌握配方法是解题的关键.

【详解】(1)解：%2一7%+12=0

(x-3)(x-4)=0,

尤―3=0或％-4=0,

%=3,4=4；

(2)解：X2+4x+l=0

%?+4%=—1f

/+4%+4=-1+4,

(x+2『=3,

尤+2=土币)>

玉=-2->/3,=-2+-\/3.

17.(1)42,-4),5(0,4)

(2)y=2(x-2)2-4

【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标、待定系数法求二次函数解析式等知识,

解题关键是通过图像获得所需信息.

(1)观察图像，即可确定点A,8的坐标；

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4利用待定系数法求解即可.

【详解】(1)解：根据图像可知，42,-4),8(0,4)；

答案第6页，共13页

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4,

将点W。，4)代入，

可得4a-4=4,解得4=2,

所以抛物线的解析式为y=2(%-2)2-4.

18.(1)150

⑵2+6

【分析】本题主要考查了旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，

理解并掌握旋转的性质是解题关键.

(1)根据点3、C、E共线，/ACB=30。，由/ACE=180。-NACB即可求得答案；

(2)首先根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得AC=2,再根据

勾股定理解得BC=JAC?-AB?=6,然后根据旋转的性质可得CE=C4=2,即可获得答

案.

【详解】(1)解：：点B、C、E共线，ZACB=30°,

：.ZACE=180°-ZACB=150°,即旋转角=150。.

故答案为：150；

(2)解：,:?B90?,ZACS=30°,AB=1,

：.AC=2AB=2,

BC=VAC2-AB2=73，

又ABC绕点C顺时针旋转得到AEDC,

：.CE=CA=2,

：.BE=CE+BC=2+43.

19.-4

【分析】将"z代人方程--2x-1=0可得病-2根=1,然后再对3m2-6”7-7变形得到

3(m2-2m)-7,然后整体代人即可解答；掌握一元二次的解以及代数式的灵活变形是解题

的关键.

【详解】解：是方程--2%-1=0的一个根，

答案第7页，共13页

nr—2m—1=0,BPm2—2m=1,

3m2-6m—1=3(w?—2a)-7=3x1—7=-A-.

3

20.(1)k>-(2)k=3.

4

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△>(),即可得出关于左的不等式，解之即可得

出左的取值范围；

2

(2)根据根与系数的关系可得出x/+x2=-24-3,xIX2=k,结合上+工=-1即可得出关于

X]x2

上的分式方程，解之经检验即可得出结论.

【详解】(1);关于尤的一元二次方程N+(24+3)x+%2=0有两个不相等的实数根，

；.△=(2/+3)2-4k2>0,

3

解得：Q-=；

4

(2)Xi>&是方程N+(24+3)x+N=0的实数根，

.".xi+x2=-2k-3,xiX2=k2,

解得：ki=3,fe=-1>

经检验，k!=3,左2=-1都是原分式方程的根，

又,：k>-—,

4

k=3.

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当A>0时,

方程有两个不相等的实数根”；

(2)根据根与系数的关系结合'+1找出关于左的分式方程.

龙]x2

21.(1)图见解析，G(l,l)

(2)图见解析

【分析】此题考查旋转画图，中心对称作图，

(1)根据旋转的性质确定A、岗、G，然后顺次连接即可画出图形，最后写出C1的坐标;

根据旋转的性质是解题的关键；

答案第8页，共13页

(2)根据中心对称的性质确定4、与、G，然后顺次连接即可画出图形.掌握中心对称的

性质是解题的关键.

【详解】(1)解：如图：△Age即为所求；点点C1的坐标为(u).

(2)解：如图：与C?即为所求.

22.(1)y=x2-4.r-5；(2)点尸的坐标为(2,-3)；(3)四(5,0)或(一1一3四,0)或(30-1,0)

或(2,0).

【分析】(1)利用待定系数法求解函数解析式即可；

(2)先求解抛物线与x轴的另一个交点的坐标，由AC两点关于关于对称轴对称，连接3c

交对称轴与尸点，则AABP的周长最短，再求解BC的解析式即可得到答案；

(3)先求解AP的长度，分别以A尸为圆心，AP为半径画弧，得到与x轴的交点符合题意，

作AP的垂直平分线与x轴的交点也符合题意，从而可得答案.

【详解】解：(1)根据题意，把点4T0)和点8(0,-5)代入函数解析式.得

0=a-(-l)2-4x(-l)+c

-5=a-02-4x0+c

a=l

解得

c=-5'

二次函数的表达式为y=Y-4x-5；

(2)令y=0,得二次函数y=/-4x-5的图象与x轴的另一个交点坐标C(5,0)；

由于尸是对称轴尤=2上一点，

连接A8，由于=后,

答案第9页，共13页

要使AAB尸的周长最小，只要上4+尸3最小；

由于点A与点C关于对称轴x=2对称,连接BC交对称轴于点P,

则R4+PB=3P+PC=3C,根据两点之间，线段最短，可得上4+PB的最小值为5C；

因而5C与对称轴x=2的交点尸就是所求的点；

设直线BC的解析式为y=kx+b,

b=-5k=l

根据题意可得0=5』解得

b=-5

所以直线BC的解析式为y=%-5；

x=2x=2

因此直线3C与对称轴1=2的交点坐标是方程组〈的解，解得

y=x—5y=-3'

所求的点P的坐标为(2,-3)；

(3)4(-1,0),尸(2,-3)*

AP=^/(-1-2)2+(0+3)2=3近,

以A为圆心，AP为半径画弧，交无轴于监,加2，

OMX=OA+AMl=OA+AP=l+3>f2,OM2=AM2-OA=AP-OA=3y/2-l,

答案第10页，共13页

.-.Mjf-l-3"0）,此（3拒-10）,

以尸为圆心，AP为半径，交九轴于加3，

由等腰三角形的三线合一得到：4