新高考数学（B）人教A版一轮复习课时规范练 空间向量及其运算

课时规范练37空间向量及其运算

基础巩固组

1.已知空间四边形OABC4',^4=a,OB=b,OC=c,^M在OA上，且0M为8c中点，则

而=（）

AHb4c

号口争+銹

2.若直线/的方向向量为a=（l,0,2）,平面a的法向量为11=（2,0,4）,则（）

A./〃aB./±a

C./caD./与a斜交

3.（2019陕西西安质检）已知空间四边形488的每条棱和对角线的长都等于分别是BCAD的

中点，则族•赤的值为（）

A.a2B.%C.%D.,〃2

4.若向量2=（遮,1,0）斤（1,0»2）,＜2,1）＞=/则实数2的值为（）

A.V2B.2C.±V2D.±2

5.平行六面体N8CD4由Cd中,向量方，而，京两两的夹角均为60°,且|荏|=1,|而|=2,|丽＞3,则

I福I等于（）

A.5B.6C.4D.8

6.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为与。为空间直角坐标系的原点，点48满足

万?=2a+b,而=3ab,则AO/B的面积为.

7.已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐标为（2,l,l）,则p在基底［a+b,ab,c｝下的坐标为，在基底

｛2a,b,c｝下的坐标为.

8.(2019江苏宿迁期末)若平面a的一个法向量为4，,0),直线/的方向向量为(1,0,1),则/与a所成角的

大小为.

9.在空间直角坐标系中，以点Z(4,l,9),8(l(),1,6),C(x,4,3)为顶点的A/BC是以8C为斜边的等腰直角三

角形,则实数x的值为.

10

如图，在棱长为a的正方体ABCDA\ByC\D\中,G为△8CQ的重心，

求证:(1)小6,。三点共线；

(2)4C丄平面BC\D.

综合提升组

11.(2019广西模拟)/,8,C,。是空间不共面的四点，且满足荏•前=0,而•而=0,荏•而=0"为8c中点,

则△力加。是()

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.不确定

12.直三棱柱Z8C481cl中,N8C/=90°,MN分别是4囱aG的中点,BC=C4=CCi,则BM与4N所

成角的余弦值为()

.12„V30„V2

A-WBD5C而D.-

13.已知正方体48CC481Gz)i,下列命题：

_>____,____>____>2

+AiD1+A-[Bi)^==3AiBi;

题E(4瓦-中)=o；

③向量画与向量项的夹角为60°;

④正方体ABCDA\B\C\D\的体积为|布•丽>・而|.

其中真命题的序号是()

、①②B.①②③C.①④D.①②④

14.(2019西安调研)已知方=(1,5,2),近=(3,1,z),若荏丄前，丽=(xl,乂3卜且8尸丄平面Z6C,则实数

x+y=.

创新应用组

如图,四边形/88和尸。均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段P。上,E,尸分别为

的中点.设异面直线EM与/尸所成的角为仇则cos。的最大值为.

如图，直三棱柱/8C48Q,底面△/BC中,。=C8=l,N8C4=90°,棱44i=2,MJV分别是48s仇的

中点.

(1)求丽的模；

⑵求cos<B4；,CB；>的值;

(3)求证：48丄GM

参考答案

课时规范练37空间向量及其运算

1.B显然丽=而一而^+闲|dl=；b*|a.故选B.

2.B：a=(l,0,2),n=(2,0,4),

即n=2a,故a〃n,・：/丄a

3.CAE-AF=^(AB+AC)-^AD=^(AB-AD+AC-AD)=^a2cos60°+a2cos60。)=，.

故选C.

4.C|a|=J(V3)2+l2=2,|b|=>/l+z2,a-b=V3..•.cos?==—====:，化为z?=2,解

NJWW2xvl+zz厶

得z=土鱼.故选C.

5.A设i4B=a,4D=b,A41=c,则MCl|=a+b+c,MCl|2=a2+b2+c2+2a•b+2b•c+2c♦a=25,因此

|宿|=5.

6.乎由市=2a+b,而=3ab,得

|明=J(2a+庁=夕砺|=J(3a-b)2=V7,01-05=(2a+b)-(3ab)=y.

*cosNBOA=°A°B—H

・・C°S/"Q"|函函一14，

5V3

.\smZBOA=­r.

14

1--->---»5A/3

；.S“OAB=WI。411OBIsinZBOA=詈.

7.(H)(1,1,1)由条件p=2a+bc设p在基底｛a+b,ab,c｝下的坐标为(x,y/),则

p=x(a+b)+y(ab)+zc=(x+y)a+Qy)b+zc,

x+y=2,

x-y=1,

(z--1,

(x=I，

所以｛y=2.，即p在基底｛a+b,ab,c｝下的坐标为(|,1,1),

[z=-1,

同理可求p在基底｛2a,b,c｝下的坐标为(1,1,1).

故答案为(|4,1,1).

8.]设平面a的一个法向量为m=(H，0),直线/的方向向量为n=(l,0,l),

OZZ

1

则cos<m,n>=JF=—=令I与a所成角的大小为优则sin，即直线/与平

n

叫11l2^XV2ZZ

面a所成角为巳

o

9.2由题意知万•尼=0,|荏|=|就

又通=(6,2,3),前=。4,3,6),

6(%-4)-6+18=0,

解得x=2.

.04)2_&

、_------»----»----»------»---->----»------>---->------>------>------>9

10.证明(1)C41=CB+BA+AAj=CB+CD+CC^CG=CC1+QG=CCj4-1x

1---->----»---->1--->---->--->---->1-->--->----»1---->

久的8+60)="1+j(C5-CCj+CO-CC1)=j(CB+CD+CCj)=|CAr,

CG||京即4,G,C三点共线.

(2)-^C5=a,CD=b,CQ=c,

则|a|=|b|=|c|=a,

且ab=bc=ca=O.

,:CAr=a+b+c,SC1=ca,

・,.C4i=(a+b+c)(ca)=c2a2=0.

因此两丄西，即CA\LBC\.

同理C4i丄8D

又8。与8G是平面内的两条相交直线，故4C丄平面BC\D.

11.C:为8C中点,•••AM=^(AB+AC).AAM-AD=^(AB+AC)-AD=^AB-AD+

1-->--->

^AC-AD=0,

.：/0丄/。厶4〃。为直角三角形.故选C.

12.C如图，以点G为坐标原点,GB,G4,CC所在的直线分别为x轴沙轴/轴,建立空

间直角坐标系，

不妨设8C=G4=CG=1,可知点40,1,1),N(0,，0),8(1,0,1),

•••丽=(0/1),前=(另,1).

.：cos<丽，的>=湍親=鲁.根据京与丽(的夹角及MV与所成角的关系可

知与ZN所成角的余弦值为鲁.

13.A设正方体边长为单位长为1,建立空间直角坐标系，如图.

罚=(0,0,1),和=(1,0,0),京=(0,1,0),中=(1,1,1),何=(1,0,1),

2

所以对于①，(彳7+不瓦+小瓦)2=(1,1,1>(1丄1)=3=3用瓦，故废真命题；

对于②碇瓦一価)=(1,1,1>(0,1,1)=0,故②是真命题；

对于③因为丽•布=(1,0,1>。1,1)=1,所以cos</D；/必=硒:焉.=,向量也

与向量项的夹角为120°,故③是假命题；

对于正方体”CD418coi的体积为|靠卜|価j-|瓦5],但是|龍•国•诟|=0,故歌

假命题.故选A.

(3+5-2z=0,

14.y由条件得k-l+5y+6=0,

3(x-l)+y-3z=0,

1525

7―7・

15.|以4为坐标原点，射线分别为x,y,z轴的正半轴，建立如图所示的空间直

角坐标系.

设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0)4(2,1,0),M(0),2)(0WyW2).所以

格(2,1,0)丽=(]),2).所以万两=2+乂|而=圾函

丽丽_卜2+y|

所以cos0=,

丽的「后1+y2一0小+y2

令2V=厶则y=2厶且[0,2],

所以cos0=----1=「I亏.当f=0时,cos8=0.当拄0时,cos