2024届湖北省襄阳市高中数学高二年级上册期末试题含解析

2024届湖北省襄阳市优质高中数学高二上期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构

成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆Q:尤2+⑶+3）2=9,圆心:（无+4）2+丁=4,圆S：（无一4）2+V=4,若

过原点的直线/与圆L、S均相切，贝！1/截圆。所得的弦长为（）

A3B.2

3

C.-D.1

2

2.等差数列｛%,｝的通项公式4=2〃-1,数列2,其前〃项和为S”，则S3,,等于（）

anan+l

Inn

A.----B.----

2n+l2n+l

6n3n

C.----D.----

6n+l6n+l

3.矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物

线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线

石:*=—2加+4（。＞0）的焦点为歹（0,-万），则这次爆破时，矿石落点的最远处到点R的距离为（）

B.2

5

C.2&D.-

2

4.已知A(—1,1,2),5(1,0,-1),设O在直线AB上，且AD=2DB，设g+31+制，CDLAB,贝!M的

值为()

1111

A.—B.——

66

1

C.—D.-

23

5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量V（单位：mm）与时间f（单位：min）的函数关系可表示为y=&5F,则

在/=40min时的瞬时降雨强度为（）mm/min.

11

A.—B.-

24

C.20D.400

6.若复数z满足z=y-（其中i为虚数单位），则目=（）

+i

1

A.-B

4

C.2D.4

7.将直线2x-y+4=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆V+/+2X—4尸0相切，贝！］实数4值为（）

A.-3或7B.-2或8

CO或10D.1或11

8.在下列函数中，求导错误的是（）

A./（x）=x2-1,r（x）=2xB.g(x)=xlnx,g'(x)=ln%+—

C./2（X）=—D.^(x)=xsinx+cosx,0(x)=xcosx

h（X）=--r

9.已知点A、5是抛物线C：/=4x上的两点，且线段AB过抛物线。的焦点/，若A3的中点到>轴的距离为3,

则|明=（）

A.3B.4

C.6D.8

10.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了。

A.三点确定一平面B.不共线三点确定一平面

C.两条相交直线确定一平面D.两条平行直线确定一平面

11.棱长为1的正四面体的表面积是()

C.亨D.石

12.以椭圆二+汇=1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是()

34

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线/:如—y—3相+1=0与圆O：x2+y2=i6相交于A,B两点,则的最小值为.

14.函数/(x)=d+ainx在％=1处的切线与y=2x+3平行，则。=.

15.在等比数列｛4｝中，若%=1,o4=—,则数列｛44+1｝的公比为.

64

16.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，估计该班本次测试平均分为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线C：/=4y的焦点为尸，过F的直线与抛物线C交于A,B两点,点M在抛物线C的准线上,

MF.LAB,SAAFM—^S^BFM

（1）当）=3时,求|A用的值;

（2）当7G[g,2]时，求+的最大值

18.（12分）如图，正方体A3CD—的棱长为2,点E为8区的中点.

（1）求直线A/与平面AAE所成角的正弦值；

（2）求点A到平面D.AE的距离.

19.（12分）设数列｛。,｝的前”项和为5“=2〃2,也｝为等比数列，且4=4，4（%一4）=4

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）设G=£，求数列｛g｝的前〃项和7；

r2v21

20.（12分）已知椭圆C：不+2=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为八，Fi,离心率为不，椭圆C上点M满足

|M^|+|M^|=4

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若过坐标原点。（0,0）的直线/交椭圆C于P,0两点，求线段尸。长为亚时直线/的方程

21.（12分）已知抛物线。:必=22X（。＞0）的焦点为口，点M在抛物线。上，且加点的纵坐标为4,MF=*

（1）求抛物线C的方程;

(2)过点Q(0,-4)作直线交抛物线。于A,3两点，试问抛物线。上是否存在定点N使得直线N4与的斜率互为

倒数？若存在求出点N的坐标，若不存在说明理由

22.(10分)在一ABC中，(2b-6"cosA=GacosC

(1)求NA的大小；

(2)若c=-fib，a=2.求ABC的面积

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】设直线/：y=履，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长

【详解】设过点。的直线八丁=依.由直线/与圆L、圆S均相切，得方14WkI=2,解得左2=13⑴.设点。到直线/的

3

距离为4,则4=(2).又圆Q的半径度=3直线/截圆。所得弦长4=2*-dj,结合(1)(2)两式，解得4=3.

J1+左2

2、D

V1

【解析】根据裂项求和法求得一再计算邑〃即可.

2n+l

01111

【详解】解：由题意得S〃=——+-----+------++-------

〃1,02a?,

1111

----------1------------1------------\~+

1x33x55x7(2〃一1)(2〃+1)

11

+(­

2〃一12〃+1

-----)=-----

2n+l2〃+1

3n

所以83“

6n+l

故选：D

3、D

【解析】根据给定条件求出抛物线E的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.

【详解】依题意，抛物线E的顶点坐标为(0,一2),则抛物线的顶点到焦点R的距离为£=一2+彳3，p>0,解得。=4,

p2〃2

于是得抛物线E的方程为炉=-8丁+4,由>=。得，%=±2,即抛物线E与x轴的交点坐标为M(±2,0),

因此，|ME|=J(±2)2+g)2=g,

所以矿石落点的最远处到点R的距离为°.

2

故选：D

4、B

【解析】设。(X，y，Z),根据AD=2OB求出。d，10)，再根据得/夯力=2«—幻+7—3(—1—2)=0,解

方程即得4的值.

【详解】设。(x,y,z),贝!]\=(x+Ly—1,z—2),：=(2,—1,—3),*=(1—%,—y,—\—z),

ri

x+l=2(1-x),"3'

•••|力=2；,...K-1--~2y,：.<

.,.〃(：，'，0),存尸(’-a,一儿，—1—4),

w=2(—A)+2—3(—1—A)=0,：.

Atl

故选：B

【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推

理能力.(2)。=(%,%,Z]),6=(x2,y2,z2),aLb=+%%+z©=0.

5、B

【解析】对题设函数求导，再求f=40min时对应的导数值，即可得答案.

【详解】由题设，y'=；.档，则川川=《.居=%

所以在，=40min时的瞬时降雨强度为工mm/min.

4

故选：B

6、B

【解析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

1Gi=3」.

【详解】z=ZT(V3+i)(73-i)441

故选:B

7、A

【解析】根据直线平移的规律，由直线2x-y+%=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线

与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于人的方程，求出方程的解即可得到人的

值

解：把圆的方程化为标准式方程得(X+1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(-1,2),半径为遥，

直线2x-y+k=O沿X轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2(x+1)-y+k=O,

I人-2|

因为该直线与圆相切，则圆心(-1,2)至!J直线的距离d=y---------------尹=注，

V2+(-1)

化简得仇-2|=5,即入-2=5或入-2=-5,

解得入=-3或7

故选A

考点：直线与圆的位置关系

8、B

【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.

详解】尸(x)=(x2j_r=2x;

g[x)=x1nx+x(lnx)'=lnx+x-—=lnx+1；

、(x+2)/-(x+2乂e1x+1

"-----------(4-----------丁；

C'(x)=x'sinx+x(sinx)+(cosx)=sinx+xcosx=sinx=xcosx・

故求导错误的是B.

故选:B.

9、D

【解析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果

【详解】设4(王,%)，3(九2,%)，则A3的中点到y轴的距离为生产=3,贝！j|AB|=%+%2+2=6+2=8

故选：D

10、B

【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.

【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而

使得自行车稳定.

故选B项.

【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.

11、D

【解析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果

【详解】如图

由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1,

所以Sa”A3•AC-sin60^―，所以可知：正四面体的表面积为4sc=6，

/IDVAs

故选：D

12、B

【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的“，b,c,再求双曲线的标准方

程.

【详解】•••椭圆的方程为二+f=1,

34

...椭圆的长轴端点坐标为(。,2),(0,-2),焦点坐标为(0,1),(0,-1),

・,•双曲线的焦点在y轴上，且。=1,c=2,

2

:.b=39

y2

二双曲线方程为丁―、=1,

故选:B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、276

【解析】直线/过定点P(3,l),圆心0(0,0),当P0LA5时，|AB|取得最小值，再由勾股定理即可求解.

【详解】由/:如一＞一3加+1=0,得根(1—3)—丁+1=。，

x—3=0

由|八，得直线/过定点？(3,1),且尸在圆O：/+y2=[6的内部,

-y+l=0

由圆0:必+丁=16可得圆心0(0,0),半径r=4,

当P0LA5时，|AB|取得最小值，

圆心0(0,0)与定点P(3,l)的距离为d=732+12=回，

则I|的最小值为24/—屋=2^/16-10=276•

故答案为：2瓜

14、2

【解析】由/(1)=2得出。的值.

【详解】r(x)=e'(f+@

XX

因为函数〃x)=e+ainx在％=1处的切线与y=2x+3平行

所以/1(1)=2,故。=2

故答案为：2

15、—##0.0625

16

【解析】求出等比数列｛4｝的公比，利用定义可求得数列｛%%+J的公比.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为夕，则"=

因此，数列｛a/z｝的公比为乎詈包=/=2.

anan+liO

故答案为：--

16

16、114.4

【解析】将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，即可得解.

【详解】由频率分布直方图可知，该班本次测试平均分为80x0.08+100x0.32+120x0.4+140x0.2=114.4.

故答案为：114.4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【解析】（1）由面积之比可得向量之比，设直线A5的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与向量

的关系可得的A,B的横坐标的关系联立求出直线的斜率，再由抛物线的性质可得焦点弦的值；

（2）由（1）的解法类似的求出A8的中点N的坐标，可得直线A3的斜率与7的关系，再由7的范围，求出直线A8

的斜率的范围，由题意设直线M尸的方程，令y=-1求出M的横坐标，进而求出|MN|的最大值，而|MA+M3|=2|MNI，

求出IMA+M5I的最大值

【小问1详解】

当4=3时，即SAAFM=3SABFM,由题意可得AB=3BF,

因为抛物线C：好=包的焦点为尸（1,0）,准线方程为y=-L

设A（xi,ji）,B（X2,yi）,直线A5的方程为

V=KJC+1

联立〈，，整理可得：x2-4kx-4=0,

显然A＞。，Xi+X2=4k®,xiX2=-4®,yi+yi=k（X1+X2）+2=4i2+2,

由AF=3BF，则（-xi，1-Ji）=3（X2,yi-1）可得xi=-3M③,

①③联立可得X2=-2k,xi=6也代入②中可得-12/=-4,

解得标=:,

由抛物线的性质可得|A5|=yi+y2+2=4xg+2=g,

所以|4为的值为g;

【小问2详解】

由(1)可得AB中点N(2«,2k2+2),由则XI=-笈2④,

同(1)的算法：①②④联立4版=(1-.1)2,因为[1,2],

2

所以4好.2,

2

A11c

令7=2+彳，幺£[不2],

42

则函数y先减后增，所以4=2或;时，y最大且为2+g,此时4〃最大，且为

所以产的最大值为：

8

直线的方程为：--x+1,令y=-L可得x=2h

k

即M(2左，-1),

113

因为IMA+MBl=2|MNI，而WM=|2*2+2+l|=2A;2+3<2x-+3=一，

84

13

所以IM4+M5I的最大值为万

2

18、(1)一

3

⑵：

【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面RAE的一个法向量及的，利用向量的夹角公式即可得解;

(2)直接利用向量公式求解即可

【小问1详解】

解：以点A作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),E(2,2,1),2(0,0,2),4(2,0,2),

设平面的一个法向量为根=(x,y,z),又AR=(-2,0,2),AE=(0,2,l),

m-AD.=-2x+2z=0,

则<i,则可取机=(2,—1,2),

m-AE=2y+z=Q

4_2

又A4,=(0,0,2),设直线AA,与平面D.AE的夹角为0,则sin6=|cos<m,AA>|=|"二人

tIm|||74+l+4x^-3

2

二直线A4与平面D,AE的正弦值为-；

【小问2详解】

解：因为A&=(0,0,2)

所以点A到平面3AE的距离为毕生=-1——=i,

\m\J4+1+43

4

•••点A到平面D】AE的距离为-

2,255

19、(1)a=4n—2,b=——r；(2)T=(—n—)・4"+一

NN4〃T399

S、，n=l

【解析】(1)由已知利用递推公式:。、.，

[Sn-Slt_t,n>2

可得4,代入分别可求数列4的首项伪，公比夕，从而可求么.

(2)由(1)可得C"=(2W-1).4"T,利用乘“公比”错位相减法求和

【详解】解：(1)当时，

2

an=S-S^=2n2—2(〃-I)=4〃—2,

当”=1时，4=5=2满足上式，

故｛an｝的通项式为an=4〃-2

设也｝的公比为9,

由已知条件仇(。2-q)=4知，

,7b.11

伪=2,b=------所以q=——=1,

2%—424

12

.qz=2x行，即么=正

n1

c=^=^-^=(2w-l)4-

4〃T

12,11

T=q+c2+...+cn=[l+3x4+5x4+...+(2n—1)4]

47；=[1x4+3X42+5X42+...+(2〃-3)4”T+(2“一1)4"]

两式相减得：

37；=-1-2(4*+42+43+...+4”T)+(2〃一1)4"=(2zi-|)-4"+|

255

二片(zf)4+§

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.

22

20、(1)土+二=1

43

⑵y=±^-x

2

c1

e=—=一

a2

【解析】（1）依题意可得21=4,即可求出。、b,即可求出椭圆方程;

c2=a2-b2

⑵首先求出直线斜率不存在时弦归。|显然可得直线的斜率存在，设直线方程为y=依、「（如弘）、。（程必），

联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出左，即可得解;

【小问1详解】

C1

e=­=—

a2

解：依题意[2。=4〃=222

，解得所以椭圆方程为工+乙=1;

屏百'43

c2=a2-b2

【小问2详解】

解：当直线的斜率不存在时，直线/的方程为x=O,此时|尸。|=26，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方

[22

三+二=]

程为,=6，贝（I43一，消元整理得（3+4左2）f_12=0,设P（XQJ,。（%，%），则%+々=。，

，=丘

玉光2=一^Tj~29所以|尸。|=J1+=」+元2）2-4%1%2-A/14，即,1+左2\]-4乂,解得k=，

3+4ky3+4左2

所以直线/的方程为y=

2

21、(1)/=4x

⑵存在，(4,4)

【解析】(1)利用抛物线的焦半径公式求得点M的横坐标，进而求得〃，可得答案；

(2)根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线附与的斜率互为倒数列出

等式，化简可得结论.

【小问1详解】

(1)设M(x0,4)

则IW=x°+5M

2

:.x0=2p,4/2=16,

p>0,:.p=2,

故C的方程为：y2=4x；