数学教案-第3章

课题3.1角的概念的推广〔一〕教学目标1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教学重点理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点终边相同的角的表示.教学时间2课时教具准备圆规、三角尺周次第十三周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

假设目前准确的时间是8:45，在挂钟里显示时间是10：15，块了一个班小时。要校准此钟，必须将分针往回拨一圈半，这个角度是多少？

新课讲授〔65分钟〕一、角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋学生听课思考问题教师活动学生活动转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或可以简记成⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1角有正负之分如：=210=150=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转2周〔360×2=720〕3周〔360×3=1080〕3还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．二、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角〔角的终边落在坐标轴上，那么此角不属于任何一个象限〕例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角学生听课做笔记教师活动学生活动等3．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同小结：〔5分钟〕所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：课后作业：〔5分钟〕P59:1、2学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.1角的概念的推广〔一〕1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。课题3.1角的概念的推广〔二〕教学目标①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.教学重点了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.教学难点弧度的概念及其与角度的关系教学时间2课时教具准备无周次第十三周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？②1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？③角的范围是什么？如何分类的？

新课讲授〔65分钟〕一、根本概念初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学答复以下问题：(1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？学生听课做笔记教师活动学生活动初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学答复以下问题：(1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？(3)弧度是如何定义的？(4)角度制与弧度制的区别与联系?2．学生动手画图来探究：(1)平角、周角的弧度(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？360°=2∏；180°=∏；90°=∏/2例1、把以下各角从度化为弧度：(1)〔2〕(3)解：(1)〔2〕(3)变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22º30′〔2〕—210º(3)1200º解：(1)〔2〕(3)例2、把以下各角从弧度化为度：〔1〕(2)3.5(3)2(4)解：〔1〕108º(2)200.5º(3)114.6º(4)45º变式练习：把以下各角从弧度化为度：〔1〕〔2〕—〔3〕解：〔1〕15º〔2〕-240º〔3〕54º正角零角负角正实数零负实数弧度数表示弧长与半径的比正角零角负角正实数零负实数学生听课做笔记教师活动学生活动小结：〔5分钟〕1、弧度制的定义；2、弧度制与角度制的转换与区别；3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

课后作业：〔5分钟〕P611、2、3学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.1角的概念的推广〔二〕一、了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.二、认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.三、了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。课题3.2任意角的三角函数〔一〕教学目标〔1〕借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括从任意角三角函数的定义认识其定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.〔4〕通过用单位圆上的点的坐标定义三角函数的过程表达化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想.教学重点任意角的正弦、余弦、正切的定义教学难点用单位圆上点的坐标刻画三角函数；三角函数中的对应关系教学时间2课时教具准备三角板、圆规周次第十四周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?Oxya角的终边PTMA如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,那么线段的长度为,线段的长度为.那么Oxya角的终边PTMA;;.

新课讲授〔65分钟〕学生听课做笔记教师活动学生活动思考一：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？〔结合相似三角形知识，说明三个值与终边上点的位置无关〕显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：;;.思考二：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、探究新知1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；〔2〕叫做的余弦,记做,即；〔3〕叫做的正切,记做,即.注意:既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,.学生听课做笔记教师活动学生活动4.提问：你能解释一下定义中的对应关系？三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.小结：〔5分钟〕本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?你能用定义准备求出任意角的三角函数值吗？

课后作业：〔5分钟〕P65-661、2、3、4学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.2任意角的三角函数〔一〕〔1〕正弦、余弦、正切的定义〔2〕任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕三角函数是以实数为自变量的函数.〔4〕用坐标定义三角函数的过程表达化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。课题3.2任意角的三角函数〔二〕教学目标〔1〕掌握三角函数的符号；〔2〕根据定义理解与运用公式一，把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值.〔3〕初步应用定义分析与解决与三角函数值有关的一些简单问题.教学重点三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕教学难点理解转化，灵活运用诱导公式〔一〕教学时间2课时教具准备三角板、圆规周次第十四周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

复习回忆：任意角的三角函数定义是什么？

新课讲授〔65分钟〕一、探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制学生听课做笔记教师活动学生活动例1．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角证明：sin在第三、第四象限为负，Tan在第一、第三象限为正故有当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角2.提问：角的终边落在坐标轴上三个三角函数值是多少？3.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:，，(其中)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求到(或到)角的三角函数值.例2.确定以下三角函数值的符号:(1);(2);(3);(4)解：〔1〕250是第三象限角，为负〔2〕-45是第四象限角，为负〔3〕-672是第四象限角，为正〔4〕540是轴线角，为0例3.求以下三角函数值:(1);(2)解：(1)(2)学生听课做笔记教师活动学生活动小结：〔5分钟〕(1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(2)请写出各三角函数的定义域；(3)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?

课后作业：〔5分钟〕P67学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.2任意角的三角函数〔二〕〔1〕三角函数的符号；〔2〕任意角的三角函数值转化为0°～360°间的三角函数值.〔3〕三角函数值有关的简单问题教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。课题3.2任意角的三角函数〔三〕教学目标〔1〕用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔2〕正弦线、余弦线和正切线.〔3〕用有向线段表示三角函数的数形结合的思想；教学重点掌握作角α的正弦线、余弦线、正切线教学难点三角函数线的正确理解教学时间2课时教具准备三角板、圆规周次第十五周教学组织与实施教师活动学生活动OxyOxya角的终边PTMA1.什么叫单位圆？〔以原点为圆心，单位长为半径作的圆〕2.三个三角函数是怎样定义的？

新课讲授〔65分钟〕问题1．引入能否用几何方式来表示三角函数呢？问题2．当角为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，那么请你观察:学生听课做笔记教师活动学生活动根据三角函数的定义：；〔发现三角函数值的绝对值与相应线段的长度相等〕问题3．〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段、规定一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有4.像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔directlinesegment〕.5.如何用有向线段来表示角的正切呢?如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当的终边与轴或轴重合时，又是怎样的情形呢？学生听课做笔记教师活动学生活动小结：〔5分钟〕(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.

课后作业：〔5分钟〕P701、2、3学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.2任意角的三角函数〔三〕〔1〕用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔2〕正弦线、余弦线和正切线.〔3〕用有向线段表示三角函数的数形结合的思想；教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。课题3.3三角函数的图像和性质〔一〕教学目标1.理解并掌握正弦函数的性质；2.能熟练运用正弦函数的性质.教学重点理解掌握并能熟练应用正弦函数的性质做题教学难点对正弦函数性质的理解和应用教学时间2课时教具准备三角尺、圆规周次第十五周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

复习回忆：；，那么x=，，那么x=.？我们在前面已经学过函数，了解了汉书所包含的几方面的性质，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它的性质新课讲授〔65分钟〕问题一学生思考问题。教师活动学生活动(1)正弦函数的定义域是什么？(2)它的最值情况如何？正弦函数的值域是什么？1的定义域为R.2对于,当x＝2k＋，kZ时ymax＝1；当x＝2k－，kZ时ymin＝－1，所以的值域为[-1，1]..问题二今天是周二，再过7天或14天或21天…还是周二，我们说7天，14天，21天…都是日期的一个周期.通过这样一个生活中的实例，使学生初步理解周期的概念.然后给出函数周期的定义：一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得对于函数定义域内的任意，等式恒成立，那么称函数为周期函数.其中，常数叫做该函数的周期.如果这样的常数中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最小正周期.提出问题：正弦函数是否是周期函数？说明原因？学生讨论发现结论：正弦函数是周期函数，都是它的周期，显然，它的最小正周期是.今后谈到三角函数的周期时，都是指它们的最小正周期.问题三学生观察正弦函数图象分析图像对称性，用几何法得出结论：正弦函数R的图像关于坐标原点对称.因此，正弦函数R是奇函数.问题四学生观察正弦函数图像，讨论交流正弦函数的单调性学生听课做笔记教师活动学生活动xx6xx6yyyoo--12345-2-3-41作业：〔5分钟〕P761、2学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.3三角函数的图像和性质〔一〕1.正弦函数的性质；xx6xx6yyyoo--12345-2-3-41教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。课题3.3三角函数的图像和性质〔二〕教学目标1.理解并掌握余弦函数的性质；2.能熟练运用余弦函数的性质.教学重点理解掌握并能熟练应用余弦函数的性质做题教学难点对余弦函数性质的理解和应用教学时间2课时教具准备三角尺、圆规周次第十六周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

复习正弦函数图像，周期、定义域、值域分别为多少？引入余弦函数？会与正弦函数有什么区别？

新课讲授〔65分钟〕(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即学生听课做笔记，思考问题。教师活动学生活动－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.(3)周期性由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.注意：1周期函数x定义域M，那么必有x+TM,且假设T>0那么定义域无上界；T<0那么定义域无下界；2“每一个值”只要有一个反例，那么f(x)就不为周期函数〔如f(x0+t)f(x0)〕3T往往是多值的〔如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期〕周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期〔有些周期函数没有最小正周期〕根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性由sin(－x)＝－sinxcos(－x)＝cosx可知：y＝sinx为奇函数y＝cosx为偶函数∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称(5)单调性从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：学生听课做笔记教师活动学生活动当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.小结：〔5分钟〕正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题.

课后作业：〔5分钟〕P781、2学生记录作业和预习内容板书设计教学随笔3.3三角函数的性质；-11-4-3-25432-ooyyy6xx2.余弦函数的的图像和性质〔二〕-11-4-3-25432-ooyyy6xx1.余弦函数图像特征.教师提出预习问题，让学生产生继续探究、学习的愿望，整堂课带着下一堂课的悬念结束，为学习下一结内容做好铺垫。

课题3.3三角函数的图像和性质〔三〕教学目标1.理解并掌握正切函数的性质；2.能熟练运用正切函数的性质.教学重点理解掌握并能熟练应用正切函数的性质做题教学难点对正切函数性质的理解和应用教学时间2课时教具准备三角尺、圆规周次第十六周教学组织与实施教师活动学生活动引入〔10分钟〕

1．正切函数的定义域是什么？2．正切函数是不是周期函数？假设是，最小正周