直击2024年高考-高三数学秋季期末卷（全国解析版）

高三数学秋季期卷(全国版)1-答案解析

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1、已知集合M={x|y="-婷+2久+3bN—{x\-2<x<2,x&7,}

则MCN=().

A.[-1,2)B.(2,3]C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D;

【解析】={%|——+2%+3>0}={x|—14x43},N={-1,0,1},

:.MCN=[-1,0,1).

故选D.

2、已知直线tx+2y—3=0,%：Q—l)x+ty+3=0,则“/+2t+1=0'是"卜,L4

的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A;

【解析】Vt2+2t+l=0,

t——1,

由k：tx+2y—3=0,%：(t—1)久+ty+3=0,

当h1%时，有—1)+2t=0,解得t=0或t=-1,

故t2+2t+1=0=41%，

但匕,Lq推不出+2t+1=0,

故/+2t+1=0是k1%的充分不必要条件.

故选A.

22

3、已知双曲线C：左一嬴=19>0/>0）的两条渐近线的斜率之积等于—4,则双曲线C的离心

率为（）.

A.匹B.V5C.回D.V10

22

【答案】A;

22

【解析】双曲线C：9—2=1（。>0/>0）的两条渐近线的斜率之积等于一4,

2

可得一2=—%

所以小=4b2,

所以e=叵!=恒

7a27a?2

故选：A.

4、下列关于％,y的关系中为函数的是（）.

f阳％》1

A.y=V%—4+—xB.y2=4%cr-y=h-2%,%<i

D.

X1234

y0011

【答案】D;

【解析】A选项：y=Vx—4+，3—%中，

令｛仁工解得｛:箸即k,

y不是关于％的函数.

B选项：y2=4x,当X>0时，有两个y与％对应，

y不是关于％的函数.

C选项：y=｛1当％=1时,有丫=±1,

所以y不是关于X的函数.

D选项：满足任取定义域内的％,都有唯一的y与％对应，y是关于％的函数.

、已知贝！、的大小关系为（）.

5b=log42,c=log73,Jab、c

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D;

【解析】VO<g）11<i,

0Va<-，

2

1

Vlog42=

b=-,

2

..弓=

log7V7<log73<log77=1,

：.-<c<1,

2

.,.c>b>a.

故选D.

6、在△ABC中，已知BC=2,—AB，COS2C+2sin2=1,贝UB/.BC=

（）.

A.1B.3C.2D.2A/3

【答案】B;

【解析】盛1+国=同-同，

••力C_L力B，A=2f

：cos2c+2sin2—=1,

2

COS2c=COS（7T—C）,可得2cos2。+cosC-1=0,

解得cosC=所以c=g则

236

在RfABC中'BC=2,BA=®BA•BC=通X2=3.

故选B.

7、已知数列｛a"的前n项和为立，若对任意的正整数n,都有an+i&Sn，则称为“和谐数

列”，若数列｛爵｝为“和谐数列”，则的的取值范围为().

A.(-1,+8)B.[0,+8)C.(0,+8)D.(L+8)

【答案】B;

【解析】①当的=0时，显然满足厮+14Sn，此时数列｛/｝为“和谐数列”；

②当a-0时，$九=当口=2%(1—引，由an+i《Sn可得:簿《2的(1-表),

2

即2a1(2n—1)》

V2(2n-1)>1恒成立，

••a1>0.

综上可知，%>0.

故选B.

8、已知在正三棱锥/—BCD中，E为4。的中点，AB1CE,则正三棱锥4一BCD的表面积与该三

棱锥的外接球的表面积的比为().

6+V3B2+V3c3+V3D3+V3

4TT47r47167r

【答案】D;

【解析】正三棱锥A—BCD中，AB1CD,AB1CE,

：.AB1平面4cO,

：.AB1AC,AB14D,.•.三条侧棱两两互相垂直，

设ZB=a,

■,.a2+a2=BC2,

:.BC=缶，

则可得正三棱锥4-BCD的表面积为3x|xa2+^x(缶)2=等a?,

设外接球的半径为R,则2R=Va2+a2+a2,

・nV3

・・R=—。，

2

则外接球的表面积S=4TTR2=37m2,

.•.正三棱锥4-BCD的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为：蹩丝=三遗.

3na26n

故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9、若复数z满足z(l-2i)=10(i是虚数单位)，贝U().

A.z=2-4i

B.z-2是纯虚数

C.复数z在复平面内对应的点在第三象限

D.若复数z在复平面内对应的点在角a的终边上，贝Usina=^

5

【答案】A;B;

【解析】Vz(l-2i)=10,

旦—io(i+2i)_2+组

•.Z_.2i_(l-2i)(l+2i)_N+41'

.-.z=2-4i,选项A正确，

Vz-2=4i,为纯虚数，

，选项B正确,

:复数z在复平面内对应的点为(2,4),在第一象限,

.•.选项C错误,

:复数z在复平面内对应的点为(2,4),

..42V5

•"Sina=/。。=——

V22+425

选项D错误.

故选：AB.

10、如图，正方体ABC。—AiBiGA，取正方体六个面的中心G,H,M,N,E,F,将其连接起

来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是().

A.〃平面FMNB.EM与平面GHMN所成角为？

C.平面FMN_L平面FGHD.平面FHM〃平面EGN

【答案】A;B;D;

【解析】A选项：连接&D,&Q,JD,

根据正方体六个面的中心分别为点G,H,M,N,E,F,

可得£7/〃JD,同理可证FN〃(:iD,则EH〃FN,

■:FNu平面FMN,EHC平面FMN,故〃平面FMN,故A正确；

1>

B选项：由题意知，四边形GHMN为正方形，设GMCHN=0（点。同时是正方体和正八面体的中

心），

连接E。，则/EM。即为直线EM与平面所成的角,

由长度关系可得。=£,故正确；

NEM4B

B,c

C选项：连接BD,由题意知BD过点F,则平面FMNCI平面FGH=BD,

且GH〃BD//MN,分别取GH,NM的中点S,T,连接ST,FS,FT,

•：4FGH,△FMN都为等边三角形，

故NSF7即为平面FMN与平面FGH所成的二面角，

由余弦定理可得cosZSFT=故C错误；

D选项：由以上证明可知，GN〃HM,

-：GN^nEGN,HMC平面EGN,

故4M〃平面EGN,

又；EG〃ACi，FM//AClt故EG〃FM,

；EGu平面EGN,FMC平面EGN,故尸M〃平面EGN,

,：FMCHM=M,EGCGN=G,故平面FHM〃平面EGN,故D正确.

11、设角a的顶点与坐标原点0重合，始边与工轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为

P(a,b),记a=/(a),b=g(a),则下列命题正确的是().

.,a

A.tana=-

b

B.a=/(a)为偶函数，b=g(a)为奇函数

C./(a)-g(a)与/(a)+g(a)的最大值均为近

D./(a)—g(a)与/(a)+g(a)在区间上均为单调递增函数

【答案】B;C;

【解析】A选项：由任意角的三角函数的定义可知，a=cosa,b=sina,tana故选项A

a

错误；

B选项：由于a=/(a)=cosa为偶函数，b=g(a)=sina为奇函数，故选项B正确；

C选项：由于/(a)—g(a)=cosa—sina=V2sin-a)，/(a)+g(a)=cosa+sina=

V2sinQ+因此两个函数的最大值均为夜，故选项C正确；

D选项:由于/(a)—g(a)=cosa—sina=V2sin-a)=—\/2sin(a—》在区间可上

单调递减，故选项D错误.

12、已知函数/(%)=[(meR)e为自然对数的底数)，则().

(.—%—4%—4,x<m

A.函数/(久)至多有2个零点

B.函数/(%)至少有1个零点

C.当加<一3时，对Bq。久2，总有“吗)-"不)<0成立

D.当：m=0时，方程/(/(x))=0有3个不同的实数根

【答案】A;B;C;

【解析】作出函数y=ex-1和函数y=-%2-4%-4的图象如图所示，

当m＞0时，函数/'(%)只有1个零点，

当—2＜加《0时，函数/(%)有2个零点，

当m4-2时，函数/'(%)只有1个零点，故选项AB正确；

当血＜-3时，函数/(久)为增函数，故选项C正确；

当m=0时，/(t)—0,“=—2,t2—0,当/'(久)=ti=—2时，该方程有两个解,

当/(%)=t2=0时，该方程有两个解，

所以方程(久))=0有4个不同的解，故选项D错误.

故选ABC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13、已知圆C：久2+y2=4上恰好有3个点到直线1：y=久+b的距离都等于1,则

b=.

【答案】+V25

【解析】由圆。的方程：%2+y2=4,可得圆C的圆心为原点。(0,0),半径为2,

若圆C上恰有3个点到直线/的距离等于1,则点。到直线&y=%+b的距离d等于1,

直线Z的一般方程为：x—y+b=0,

d=詈=1,

解得b=+V2.

故答案为：土金.

14、学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲

将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞

征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问.当代著名数学家

华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：

“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，

如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想用=22n+1(n=0,1,2,…)是质数.直到1732年才被

善于计算的大数学家欧拉算出，&=641X6700417不是质数.现设与=Iog2【log2(&-

1

l)](n=1,2,-),“=田式")，则表示数列｛%｝的前n项和%=.

【答案】盍

【解析】因为"=Iog2【log2(4-1)]=>

an(an+l)n(n+l)nn+1

所以％=l-l+l-j+-

nn+ln+1n+l

故答案为：忌.

15、已知抛物线y2=2p;c(p>0)的焦点为F(l,0),过点F的直线交抛物线于2,B两点，且2/

-3/M-则抛物线的方程为;但用的值为

【答案】y2=4%;|;

【解析】：抛物线/=2Px(p>0)的焦点为F(l,0)，

2~P=2，

...抛物线的方程为y2=4%,准线为x=—1,

如图所示，分别过点48作准线的垂线，垂足分别为M,N,设准线与工轴的交点为P,过点5作

直线AM的垂线，垂足为E,交x轴于点Q,

由抛物线的定义可得:\AF\=\AM\,\BF\=\BN\,\PF\=p=2,

由2房=一3痴可知MW=2\BF\,

设出川=d,则|3N|=d,

\AF\=\AM\=2d,\AE\=\AM\-\BN\=d,\QF\=\PF\-\PQ\=2-d,

,.\QF\_=\BF\_

,\AE\~\AB\f

,2-da1

••-.一,

dd+2d3

解得：d=\BF\=|.

故答案为：y2-4x,|.

16、如图，树顶4离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面c米的C处看此树，则距离此

树米时，看4、B的视角（NZCB）最大.（结果用a,b,c表示）

【答案］J(a—c)(b—c)；

【解析】过点。作。。148,贝!|AD=a—c,BD=b—c,设CD=x,

则tan/皿/告，tanNBT=f

tanZACD-tan/BCD

tanZACB=tan(/力CD-/BCD)

1+tanZACD-tan/BCD

a-cb-c

___F_7a-b

a-cb-c—(g-c)(b-c)

1||<2J(a_c)(b-c)

xxx

当且仅当x=二c),即％=J(a—c)(b—c)时,tanN4CB取得最大值，即N4SB最大.

故答案为：-c)(b—C).

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17、在△力BC中，它的内角力，B,。的对边分别为a,b,C,且满足5由2(3+。)一$由23—

sin2C+sinBsinC=0,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，

条件①：c=4,a+b=6+2V7;

条件②：b=6,sin

(1)求a的值.

【答案】选择条件①：a=2V7,选择条件②：a=45

【解析】若选择条件①：c=4,a+b=6+2V7;

因为sin?(B+C)—sin2B—sin2C+sinBsinC=0,

可得sin?B+sin2C—sin2A=sin可inC,

由正弦定理可得/+c2-a2=be,

则小=ft2+c2—ftc=(6+2A/7—a)2+16—(6+2V7—a)x4，解得。=2夕.

若选择条件②：b=6,sing—B)=—%

因为siM(B+C)—sin2B—sin2C+sinBsinC=0,

可得sin?B+sin2C—sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得川+c2-a2^be,

再由余弦定理可得cosA=吐萨=：

又因为4e(0,兀),

71

所以

A3

因为sin-B）=—cosB=-亨'BPcosB=争则BE

•2

所以sinB=

4

则由正弦定理嘉=心及b=6,

可得。=需=绛=3

4

(2)求AABC的面积.

【答案】选择条件①：S-BC=6b，选择条件②：

【解析】若选择条件①：c=4,a+6=6+2V7;

由（1）及余弦定理可得cosA=%F=?

因为4e（0,兀）,

所以4=争

因为a=2V7，a+b=6+2V7，

所以b=6,

所以S0BC=^bcsinA=|x6x4x^=6A/3-

若选择条件②：b=6,sin售—B）=—%

因为4=，sinB=7,cosB=—，a=4^3，

344

V

133十

V-3XVT7+Xx/2i

2---

所以sinC=sinM+B）248

所以SAABC=|absinC=|x4V3x6x3+^=。目产

18、近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百

般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G,然而这并没有让华为却步，华为在

2018年不仅净利润创下纪录，海外增长同样强劲，今年，该企业为了进一步增加市场竞争力，计

划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250

+100%0<%<40,

.10000'。力匚八、

701%H----------9450,%>40

X

由市场调研知，每部手机售价7000元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求出2020年的利润小（久）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

（—10/+600%—250,0<%<40

【答案】仅久）=[.i+—）+9200,x》40・

【解析】当0<久<40时，

勿（久）=700%-（10/+100%）-250

=-10x2+600%-250,

当x>40时，

/（％）=700%-（701%+-9450）-250

（,ioooo\

二一（第H——--J+9200,

f—10%2+600%—250,0<%<40

〃（无）=1_（%+D+9200,x》40.

（2）2020年产量为多少（干部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

【解析】若0<久<40,IV（x）=-10（%-30）2+8750,

当％=30时，皿（久）„!"=8750万元，

若久》40,卬（%）=—（%++9200<9200-2,10000=9000,

当且仅当叫时,即％=时，卬（久）久万元，

x=1°：1001na=9000

；.2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

19、已知圆台01。2,轴截面ABC。，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，

点E为下底圆弧心的中点，点N为上底圆周上靠近点4的而的四等分点，经过。八02,N三点的平

面与2)交于点M，且E，M,N三点在平面4BCD的同侧.

(1)判断平面。1。2“可与直线CE的位置关系，并证明你的结论.

【答案】CE〃平面O1O2MN,证明见解析.

【解析】：圆台的两个底面互相平行，

，平面。1。2”可与圆台两个底面的交线平行，

又因为点N为上底圆周上的靠近点4的晶的四等分点，

，点M为下底圆周上的靠近点。的办的四等分点，

77

:.NAO]N=NDO2M=

:点E为下底圆弧的中点，

ZO2CE=p

O2M//CE,

又02Mu平面O1O2MN,CE0平面O1O2MN,

.,.。£7/平面01。2”必

(2)尸为上底圆周上的一个动点，当四棱锥P-4BCD的体积最大时，求异面直线CP与DB所成角的

余弦值.

【答案】正.

6

【解析】当四棱锥P-4BCD的体积最大时，也就是点P到平面的距离最大，此时点P为上

底圆周上48的中点.

设圆台的上底面圆的半径为r,则高为r,02c=2r,以点。2为坐标原点，建立如图所示的空间直

角坐标系，

则C(0,2r,0),P(r,0,r),£)(0,-2r,0),B(0,r,r),

—>—>

••CP=(r,—2r,r)»DB=(0,3r,r>

则cos｛CP,DB)="L尸'歹=-—)

''V6rxV10r6

.•.异面直线CP与DB所成角的余弦值为叵，

6

当点P在成的另一侧中点时，异面直线CP与DB所成角的余弦值也是叵,

6

异面直线CP与DB所成角的余弦值为叵.

6

20、已知是等差数列，其前几项和为工，｛%｝是正项等比数列，且的+瓦=3,瓦=2%,

。+坛=

313,S5—3b3=1.

⑴求数列与｛,｝的通项公式.

【答案】即=

2n-1,bn=2n.

【解析】设等差数列的公差为d,等比数列｛g｝的公比为q(q>0)>

由的+瓦=3,瓦=2al得%=1,瓦=2,

由与可得管：13

03+b3=13S5-3b3=1：2：220=,

5(5(1+2d)-6q2=1

解得：d=2,q=2,

故九n

a=2n-1,bn=2.

若％=n记〃=仇,+求%.

(2)an+(—l),qc2b2+—Fcnbn,nEN*,

n+1n

【答案】Tn=(2n-3)2+|(-2)+y.

n

【解析】由(1)得：cn=an+(—l)=2n—1+(—1)”,

nnn

■'-cnbn=anbn+(-l)bn=(2n-l)2+(-2),

设An=21+3-22+5-23+•••+(2n-1)2"①，

234

则2Ali=2+3-2+5-2+---+(2n-1)2几+1②，

由①一②得：

—An=21+2-22+2•23+••■+2-2n-(2n-l)2n+1

n+1

=2+23al-(2n-l)2

=(3-2n)2n+1-6,

=(2n-3)2n+1+6,

又(一2)1+(-2)2+…+(-2尸==|[(-2)"-1],

nn+1n

•1•Tn=(2n-30+1+6+|[(-2)