第五节 数学归纳法(要点归纳+夯实基础练)

第五节数学归纳法

【要点归纳】

数学归纳法证题的关键点

1.验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数“0,这个"0,就是

我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点，

奠基要稳''是第一个关键点.

2.递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从到的过程中，要正确分

析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由〃=发到，7=k+1时，等式的

两边会增加多少项，增加怎样的项.

3.利用假设是核心：在第二步证明〃=4+1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把

归纳假设，=&时命题成立“作为条件来导出，=k+1”，在书写向上H)时，一定要把包含人&)

的式子写出来，尤其是H&)中的最后一项，这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就

不是数学归纳法.

【夯实基础练】

1.(2022-西北工业大学附属中学高三九模)利用数学归纳法证明不等式

1+,+'+…+」一＜”("N2,a∈N*)的过程中，由〃=%到〃=Z+1时-，左边增加了

232,,-l

()

A.1项B.A项C.2"-1项D.2*项

【解析】当〃=上时，不等式左边的最后一项为一一，而当〃=k+1时，最后一项

2*-1

为一J—=丁'~r,并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加

2i+l-l2λ-l+2λ

1,所以增加了2«项.故选：D

【答案】D

2.用数学归纳法证明等式1+2+3++(2“+1)=(〃+1)(2〃+1)时，从〃=女到

〃=左+1等式左边需增添的项是()

A.2k+2

B.[2(⅛+l)+l]

C.[(2攵+2)+(2k+3)]

D.[(⅛+l)+l][2(Zr+l)+l]

【解析】当〃=左时，左边=1+2+3++(2Z+1),共2Z+1个连续自然数相加，

当〃=4+1时，左边=1+2+3++(2k+1)+(2%+2)+(2女+3),

所以从〃=上到〃=Z+1,等式左边需增添的项是[(2左+2)+(2%+3)].故选：C.

【答案】C

3.用数学归纳法证明不等式J+1+,++_]>乌一1(〃∈N*,〃≥2)时，以下说法

2342,,^l2

正确的是()

A.第一步应该验证当〃=1时不等式成立

B.从“〃=左到〃=Z+1”左边需要增加的代数式是ɪ

C.从“〃=后到〃=4+1”左边需要增加24项

D.从“〃=%到〃=4+1”左边需要增加的代数式是一rJ-+-πi—++ɪ

2A^'+12λ^'+22k

【解析】第一步应该验证当〃=2时不等式成立，所以A不正确；

m.lIlj1zllɪl1、111

2342k2342k-i2^1+l2A'I+22k

所以从F=Z到〃=Z+1''左边需要增加的代数式是一一+/—++1,所以

2k-'+↑2k-'+22k

8不正确；

所以从“〃=k到n=Z+1”左边需要增加2*τ项，所以C不正确.故选:D.

【答案】D

4.己知/(〃)=l+g+；++J("∈N+),证明不等式/(2")>T时，/(2"T)比

/(2")多的项数是()

A.21项B.2"|项C.24项D.以上都不对

【解析】因为『(2"")=l+5+3++∙^γ>/(2A)=1+-+ʒ++—,

1

所以/(2"∣)-/(2，=^—+πr~++—ɪ-,

2λ+l2k+22k+2k

所以/(2E)比/(2")多的项数是2人.故选：C.

【答案】C

5.利用数学归纳法证明"1一』+!一」•+H---L=—!—I—!—F+‘一”时

2342n-l2n〃+1n+22n

从“〃=攵”变到“〃=k+1”时，左边应增加的项是.

解析当n=k时等式为

ι-il-l÷+-，+±当n=k+∖时，等式为

2+342k—1IkZ+lk+2+Ik

111

1-—+-----+H-----------=----1-----F+----因此，从""=k''变到

2342Z+12k+2k+2k+32k+2

n=k+∖”时，左边应增加的项是

11111

1--+------++---1-

2342k+]2k+22k-∖2k)2k+l2k+2

11

.故答案为:

2k+Γ2k+2

1______1

【答案】

2k+∖~2k+2

1_n+2

6.用数学归纳法证明等式：l+α+α?+…+/+1=丁(α±l∕∈N*),验证〃=1

时，等式左边=.

【解析】用数学归纳法证明：l+α+∕+...+α"+∣=一“(4±l∕eN*)时,

1-av7

在验证〃=1时，把当〃=1代入，左端=l+α+/.故答案为：l+a+/

【答案】l+a+a^.

设数列｛斯｝满足

7.«1=3,an+l=3all-An.

⑴计算如俏，猜想｛斯｝的通项公式并加以证明;

(2)求数列｛2"斯｝的前n项和S,,.

【解析】(1)由题意可得%=3q—4=9-4=5,q=34—8=15—8=7,

由数列｛α,,｝的前三项可猜想数列｛4｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即

an=2n+l,

证明如下：

当〃=1时，q=3成立;

假设〃=女时，％=2&+1成立.

那么“=女+时，也成立.

1ak+l=3ak—4k-3(2k+1)—4k=2k+3=2(Zc+l)+l

则对任意的〃都有成立；

eN*,an=2〃+1

(2)由(1)可知，α,,∙2"=(2n+l)∙2"

23,,lz,

Sn=3×2+5×2+7×2++(2n-l)∙2^+(2n+l)∙2,①

234,n+,

2Sll=3×2+5X2+7×2++(2∕ι-l)∙2'+(2n+l)∙2,②

由①—②得：-S,,=6+2X(22+23++2n)-(2n+l)∙2,,+,

22×(l-2n-1)

=6+2×—―^-(2π+l)∙2n+l=(l-2n)∙2n+1-2,

βpS,,=(2∕ι-l)∙2n+l+2.

【答案】(1)出=5，%=7，an=2n+∖,证明见解析；(2)S,,=(2〃-1>2田+2.

8.数列｛%｝满足S,,=2"-α,,("∈N*).

(1)计算4、/、%，并猜想句的通项公式：

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

【解析】(1)当〃=1时，4=S[=2-4,，4=1；

、，.

=3;

当〃=2时，ay+a2=S2=2×2-a2,.∖Ci2~^

φ7

"i〃=3时，ax+a2+a3=S3=2×3-a3,..tz3=—；

由此猜想/=F-("WN'