广东省2024年普通高中合格性学业水平考试数学模拟数学试题一（含答案解析）

广东省2024年普通高中合格性学业水平考试数学模拟数学

试题一

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知A={2,4,5},B={3,5,7),则ADB=()

A.{5}B.{2,4,5)

C.{3,5,7}D.{23,4,5,7)

2.下列函数定义域为R的是（）

lTA0.5

A.y=lnxB.y=x~C.y=x3D.y=x

3.复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则）i=（）

A.—2+iB.2+i

C.-2-iD.2-i

4.设命题p:〃x〉0,log3<2x+3,贝”为(

33

A.〃x>0,log2x2x+3B.$x0>0,log2x02x0+3

C.$x0>0,log2x0<2x0+3D.x>0,log2x>2x+3

5.已知。是第四象限角，cosa=~—,贝Ijtan（兀+a）等于（）

12125

A.B.——cD.

y5-H12

6.若不等式办2+bx+2>0的解集为—

贝！aJ+Z?=

A.1B.-12C.-28D.-14

7.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒到19秒之间，下图是这次测

试成绩的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,

成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则x和y分别为（）

试卷第1页，共4页

1O氏CO%35D%35

A.%,4590%,4590

8.已知集合/={1,a},B={\,2,3},则％=3”是“NUB”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.函数了=0'T+1,(a>0且awl)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

IT

10.为了得到函数y=2sin(2x-§)的图像，可以将函数y=2sin2x的图像

7T

A.向右平移/个单位长度

0

TT

B.向右平移(个单位长度

C.向左平移丁个单位长度

6

TT

D.向左平移:个单位长度

11.基函数/3=(/一〃在(0,+oo)上是减函数，则机=()

A.-1B.2C.-1或2D.1

12.sin27°cos18°+cos27°-sin18"的值为

A.—B.—C.1D.1

222

二、填空题

13.已知tane=2,贝ljtan(a+?j=.

14.若x>l,则x+—1的最小值是___.

x-\

15.甲、乙、丙三人任意站成一排，则甲站在两端的概率是.

试卷第2页，共4页

16.平面向量3与B的夹角为60。,1=(2,0),|^|=1,则卜+2同等于.

17.甲、乙两人进行射击10次，它们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别

是：s看=3,4=1.2•成绩较为稳定的是.(填“甲”或“乙”)

18.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是.

甲乙

829

91345

254826

785535

667

三、解答题

19.已知x>0,向量a=(l,x),5=

(1)当实数x为何值时，2Z+1与垂直.

(2)若x=2,求£在3上的投影.

3

20.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知。=2,c=5,cosB=~.

(1)求b的值；

(2)求sinC的值.

21.已知复数2=(加2-1)+(〃?2一7"一21，meR.

(1)若Z是实数，求加的值；

⑵若Z是纯虚数，求相的值；

⑶若Z在复平面内对应的点在第四象限，求加的取值范围.

22.如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48a)是正方形，P4_L平面48C7),且尸/=，

点E为线段的中点.

(1)求证：PB〃平面4EC；

试卷第3页，共4页

(2)求证：NE_L平面尸CD.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】直接利用并集定义运算即可.

【详解】「A={2,4,5},B={3,5,7}；

:.AuB={2,3,4,5,7}.

故选D.

【点睛】考查集合的列举法的表示，以及并集的运算，属于基础题.

2.C

【分析】根据幕函数、和对数函数的定义域即可得出结果.

【详解】A：函数y=lnx的定义域为（0,+⑹，故A不符合题意；

B：函数尸X-'：的定义域为何力0},故B不符合题意；

C：函数>=，=私的定义域为R,故C符合题意；

D：函数y=x。5=£=6的定义域为。内），故D不符合题意；

故选：C

3.D

【分析】先求得zA,利用复数乘法运算求得正确答案.

【详解】依题意z=-l+20=-l-2i,；.i=（-f.i=2-i.

故选：D

4.B

【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】该命题含有量词“V”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，

故“为:$/>0,log2%32%o+3.

故选：B

5.D

【分析】先确定正弦，再利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简求值，即得答案

【详解】因为。是第四象限角，所以cosa=12,sina=-5

,,।xsina5

故tan（z兀十a）-tana=------二一一.

cosa12

答案第1页，共7页

故选：D

6.D

【分析】由题意可得再=-；，尤2=!是方程办2+区+2=0的两个根，且。<0,利用韦达定

理运算求解.

【详解】由题意知4=-;，々=：是方程办2+法+2=0的两个根，且a<0,

a23

所以a+b=-14.

故选：D.

7.D

【分析】根据频率分布直方图，先求出成绩小于17秒的学生人数占百分比为：1-0.06-0.04=0.9

再求出绩大于等于15秒且小于17秒的学生的频率，然后求得学生人数.

【详解】由频率分布直方图可知成绩小于17秒的学生人数占百分比为：

1-0.06-0.04=0.9,故x=0.9

成绩大于等于15秒且小于17秒的学生的频率为：

0.36+0.34=0.7

故大于等于15秒且小于17秒的学生的人数为：7=50x0.7=35

故选D

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，清楚认识图形是解题的关键，属于基础题.

8.A

【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.

【详解】a=3时，A={1,3},AQB,即充分性成立；

当/U8时，a=2或3,即必要性不成立；

故选：A.

9.B

【分析】令指数为0,求出x,再代入计算可得；

【详解】解：令x-l=0,解得x=l,

所以当x=l时，y—a*—+l=a°+l=2,

答案第2页，共7页

所以函数了=。1+1过定点（1,2）.

故选：B

10.A

【详解】试题分析：根据题意，令域H储±=酎，解得丫=三，

,笺6

由图像平移知，需要将函数；二sin二的图像向右平移工个单位，

6

得到函数*一品T2^-Jii：的图像；

故答案为A.

考点：函数图像平移法则的应用.

11.A

【分析】根据基函数的定义，令冽2一冽一1=1,求出用的值，再判断冽是否满足募函数在

%£（0,+8）上为减函数即可.

【详解】••,幕函数/（X）=卜/一"L1），+“3,

••m2-m-1=1,

解得加=2,或加=-1；

又（0,+8）时/（%）为减函数，

二.当加=2时，m2+m-3=3,幕函数为歹=/,不满足题意；

当初=-1时，m2+m-3=-3,幕函数为＞二%一3,满足题意；

综上，m=-\.

故选：A.

12.A

【分析】逆用两角和的正弦公式直接求解.

【详解】原式=sin（27°+18。）

=sin450=.

2

故选4

【点睛】本题考查两角和的正弦公式，属于基础题.

答案第3页，共7页

13.-3

【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.

71

tana+tan—。.

42+1=3,

【详解】•「tana=2,tana+—=

I4.

1—t,ana,4tan—%1—2xl

4

故答案为：-3.

14.3

【分析】x+'=x-l+工+1,利用基本不等式可得最值.

x-lX-L

【详解】；X>1,

：.x+-^—=x-l+—^—+l>2,(x-l)x—+1=3,

x-ix-ir'x-i

当且仅当尤-1=」7即x=2时取等号，

x-1

x=2时xH------取得最小值3.

x-l

故答案为：3.

15-I

【分析】根据题意分别求出三人站成一排以及甲站在两端种数，再根据古典概型概率求解.

【详解】甲、乙、丙三人任意站成一排共有用=6种站法，甲站在两端时，共有闻密=4种

站法，

42

所以甲、乙、丙三人任意站成一排，则甲站在两端的概率是7二7,

63

2

故答案为：

16.2G

【分析】先求向量口，再根据向量模的运算求归+2可.

【详解】因为「=(2,0),所以|町=2,

又因为万与3的夹角为60°,W=l,

所以归+2可=a2+4a-b+4b2=4+4|a|x|/j|xcos60°+4x1

=8+4x2x1x1=12；

2

答案第4页，共7页

所以归+2回=26.

故答案为：28.

17.乙

【分析】根据方差的大小判断即可.

【详解】解：因为甲的方差为3,乙的方差为1.2,所以方差较小的为乙，

・・.成绩比较稳定的是乙.

故答案为：乙.

18.45、46

【分析】由茎叶图写出所有的数据从小到大排起,找出中间的数即为中位数.

【详解】甲组数据有28,31,39,42,45,55,57,58,66,可知甲组数据的中位数是45,

乙组数据有29,34,35,42,46,48,53,55,67,可知乙组数据的中位数是46.

故答案为：45、46

19.(1)3；(2)一巫.

10

【分析】(1)令(22+叶,-2可=0,列方程解出x.

a-b

(2)运用向量的数量积的定义可得鼠九再由Z在书上的投影为百，计算即可得到所求值.

\b\

【详解】(1)*.*x>0,向量Q=(1,x),6=(-3,1).

:2。+石与〃—2b垂直，

・，.(2Q+.(Q-2b)=2Q—,b—2Z?=2(1+12)-3(x-3)-2x10=0,可得2x?—3x-9=0,

3

「・解得x=3,或(舍去).

(2)若x=2,贝心=(1,2),5=(-3」)，可得恸=而，

a-blx(-3)+2xlV10

可得Z在刃上的投影为W=-=-记.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐

标公式，向量在另一个向量方向上的投影的求解，属于简单题目.

20.(1)Vn;(2)生叵.

17

答案第5页，共7页

34

【分析】（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由cos5=不可得sin5=《，再根据正弦定

b

理，代值计算即可.

sin5sine

3

【详解】（1）由余弦定理得62=/+c2-2accos8=4+25-2x5xw=17,所以6=

34b后.5

（2）因为cos8=，所以sin5=>由正弦定理三，得丁一菽，所以

55sin/?sinC

5

S1nC=±^

17

【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用.在解三角形有关的问题时，正弦定理、

余弦定理是两个主要依据，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意

用哪一个定理更为方便、简捷，一般来说，当条件中出现成，〃，/时，往往用余弦定理,

而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数，再结

合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

21.或