三角函数与解三角形-2023年高考数学考试（新高考）（解析版）

专题08三角函数与解三角形

三角函数与解三角形

求值含参开方混淆忽视复合

忽视问题没考三角三角函数

角的忽视虑正函数函数忽视

范围对参负号图象的值内函

数的平移域致数自

讨论规则错变量

致错的符

号

易依笈鹤

1.对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围,

2.对于含有整数k的问题，要注意对k进行讨论，

3.三角函数图象左右平移是针对自变量X的，

4.对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，

5.对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，

6.逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，

易磊今新

一、忽视角的范围致错

1.已知α是第二象限角，Sina=专则COSQ等于（）

ʌ125Q5…12

A.------Bo.------C.——D.+—

13131313

2

【错解】选D,因为siMa+cos?α=1_sina=-fΛcosa=±Λ∕1-sina=±—.

，又1313

【错因】没有注意条件α是第二象限角，

【正解】选ATa是第二象限角，则CoSa>0,Λcos«=—ʌ/l—sin2a=-

2.已矢口sin夕+cos。金?'J则Sillo—cos。的值为.

3------------

47?

【错解】Vsin夕+cos6,=-,Λsin<9cos<9=—,Λ(sin<9—cosθ)2=I—2sineCoS/?=-,

.".sincosθ=+答案：土也

33

【错因】没有注意由条件ej83

UJ得sin<9<cosθ,

47?

[正解】*.*sin8+cos9=一,sinOCOSΘ=—,Λ(sin夕一CoS62=1—2sinOCoSO=一,

3189

a.∙.sin*cosO,.∙.sin6-COSe=一4.答案：--ʃ

3.已知(96(0,兀)，tan[^l^J=A

一，则Sine+cos。=

3

θ+-41÷tanθ

【错解】由题知tan∣4lJ=-=----------j=>tan9=1，又因为9∈(0,π),

31—tan0

也.A√∑

sinθ1101sinθ=——

有卜os6»7'10

或＜

227√2

Los(9÷sin^=Icosθ=Z)7后，

10cosθ=---------

10

3√23√2

所以sin<9÷cosθ=——答案:--

51

【错因】没有注意由tan可以缩小角的范围’即可推出Il

)1卜

θ+~

4j_41+tanθ2j

【正解】由题知tan')=^11。=；又因为。£(0,时，且1211^＞0,所以＜9£1,

31—tanθ

√2

sinθ=

=Lιo,

7,片N∙Λɪ/)8出4也答案:呼

有今7也所以sin夕+cos9=-1-=τ-

l÷sin2∕9=1105

E10

4.在AABC中，若C=3B,则C的取值范围为()

b

A.(0,3)B.(1,3)C.(1,√3)D.(√3,3)

cSinCSin3Bsin(4+23)Sin6∙cos28+cosBsin28

【错解】选A由正弦定理可得,

bsinBsinBsinBsinB

=COS28+2COS28=4COS28—1.又0<8<180°,Λ0≤cos2B≤1,又*>0,Λ0<-<3.

bb

【错因】忽略了4+8+。=180。及条件C=38,

CSinCSin3Bsin(8+28)Sin8∙cos28+CoS8∙sin2B

【正解】选B由正弦定理可得,

hsinBsinBsinBsinB

=Cos2β+2cos2fi=4cos2β-1.又4+5+C=180°,C=3B,

.∖0o<β<45o,Λ-<cosfi<l,Λi<4cos2B-l<3,即IV9<3.

2b

二、对于含直三次根珞的求值问题，开方时没有注意正负

5.化简：2Msin8+1+√2cos8+2=()

A.4cos4B.-2sin4-4cos4

C.4sin4D.2sin4+4cos4

【错解】选D原式=2^/1+2Sin4cos4+M4cos24=2^/sin24+cos24+2sin4cos4+2COS4

=2sin4+2cos4÷2cos4=2sin4÷4cos4.

【错因】开方时没有考虑2cos4、sin4+cos4的正负，

(正解】选B原式=2∖,“÷2sin4cos4÷√4cos24=2∖∕sin24÷cos24÷2sin4cos4+2∣cos4|

3Jr

=2∣sin4÷cos4∣+2∣cos4∣,Vπ<4<---,Λsin4÷cos4<0,cos4<0,

/.原式=-2(Sin4÷cos4)—2cos4=-2Sin4—4cos4.

■若乔唠则

6。等于()

2∣+∣∖^+∕os

.θθ

A.sι∏-B.COS-

44

-COS^

C.-sin^D.

【错解】

【错因】

2222

【正解】选A哆噂二臀⅜⅞＜代，—。，COS耍O,sin->O,

24

三、三角函数图象左右平移时忽视自变量X的系数致错

P'-f的图象，可以将函数N=Sin2x的图象(

7.为了得到函数y=sin)

A.向右平移匹个单位B.向右平移;个单位

6

C向左平移匹个单位D-向左平移;个单位

6

【错解】选B根据左加右减可知，为了得到函数y=sink3）的图象，可以将函数>=sin2x

的图象向右平移四个单位.

3

【错因】图象左右平移针对的是自变量X,

函数y=si∏1'I=Si∣2A--1

【正解】选A为了得到函数y=sinl3J的图象，可

以将函数V=sin2x的图象向右平移:个单位.

8.要得到尸COSb+力的图象，只需将y=sin3的图象（）

A.向左平移三个单位B-向右平移"单位

3

C.向左平移电个单位D.向右平移与个单位

3

【错解】选A因为故要得到V=COS的图象，只需将

1z71、

c0s2x+τ

函数y=sin'x的图象向左平移三个单位.

23

【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，

v+

生+4生+三+斗'Iτ]pv+q

2

【正解】选Cy=cos^6j=sirιl262J=s,n_2_,故要得到y=cosQ的图象,

只需将函数v=sinix的图象向左平移也个单位.

'23

四、涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错

9.已知角α为第一象限角，贝哈是第象限角.

2

【错解】Ya是第一象限角，/.2⅛π<tt<­+2kπ,Λ∈Z,ΛΛπ<^<-+Aπ,A∈Z,

224

则《是第一象限角.答案：一

2

【错因】没有对k分情况讨论，

【正解】Tcc是第一^象限角，.∙.2Λπ<[v'+2⅛π,⅛∈Z,Λ⅛π<^<~+⅛π,⅛∈Z,

224

当人为偶数时，仪是第一象限角；当k为奇数时，仪是第三象限角.

22

综上，G是第一或第三象限角.答案：一或三

2

10.(忽视对k的讨论)已知∕=sin(⅛π+α)+CoS(E+α)∕gz),则N的值构成的集合是

sinacosa

【错解】/=泣+/卫=2.答案：{2}

sinacosa

【错因】没有对k分情况讨论，

【正解】当《为奇数时：4=二^一型且=一2.当在为偶数时：力=血。+造≡=2.

sinacosasinacosa

答案：{-2,2}

五、含参问题忽视对参数的讨论致错

11.已知角Q的终边过点P(-4w3M(m≠0),则2sinα+cosα=.

【错解】易知OP=\K-4加)2+(3〃7)2=5加，则SinCt=3加3,COSd=4加

4-

5m55m5

故2sinα+cosa=(.答案：|

【错因】没有对参数m分情况讨论，

【正解】易知OP=、/(—4〃?)2+(3Μ)2=5制|,则Sina=①=cosa=——.

5|刑5|刈

342

当加>0时,Sina=《，cosa=-2sinα+cosa=~^

,342

当〃2<0时，sina=----,COSa=—，Λ2sinα+cosa=—.

555

故2sina÷cosa=±∣.答案:±|

六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量X的系数为负值致错

12.函数«O=sinI一】的单调递增区间为.

【错解】要求./(X)=SinA的单调递增区间，只需令一匹+2EW匹一XW匹+2E伏∈Z),

262

可得—∈

2+2⅛π≤x≤-+2⅛π(ZrZ),所以函数/(X)=Sin的单调递增区间为

33

[--y+2⅛π,y+2⅛π](⅛∈Z).答案：[-ɪ+2Λπ,y+2⅛π](⅛∈Z).

【错因】没有注意自变量X的系数是负数，

，匹—]C--If--xl

【正解】因为尺)=si∏l6J=-si∏l6^,所以要求/(x)=sin"J的单调递增区间,

21

只需要求y=sin[”的单调递减区间.√1+2⅛π≤χ--≤-+2Aπ(A-∈Z),

262

r-

2π5πp7∣§+2府,γ+2⅛π

可得彳+2®WXWW+2E∕∈Z),所以y=sinl6J的单调递减区间为33

--∖^2kπ,"+2Aπ

................H的单调递增区间.答案：L33⅛∈Z)

七、判断三角形形状时考虑不全致错

13.已知在448C中，三个内角为N,B,C,sin2∕=sin28,则aZBC是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【错解】选A因为sin2A=sin2B,所以2A=2B,解得A=B,所以AABC是等腰三角形.

【错因】sin2A=sin2B时，有两种可能：2A=2B或2A=τt—2B,

【正解】选D因为sin2/=Sin28,所以24=28或24=π-28,解得/=8或4+8=更,

2

所以BC是等腰或直角三角形.

八、忽视正切函数本身的定义域

14.已知函数yW=lg(tanx-D+M二2,则/(x)的定义域是.

【错解】：函数√(x)=lg(tanχ-1)÷√9-X2,

71

tanχ-1>0,x≥kπ+-,k&Zr^iπCr

4,∙"∙χ∈[-3],

9-χ2≥0,

-3≤x≤3

函数y=/(X)的定义域为[----,3].答案：[----->3]

44

【错因】没有考虑y=tanx的定义域，

【正解】∙.∙函数/(X)=lg(tanΛ-1)+√9-X2,

左兀+四《后兀+匹(左£Z)C3π

tanχ-1>0,42Λx∈l42)u(43

2

9-χ≥0,3≤x≤3,

f-3π-π∣fππ∣f3π矶但5∣

函数y=∕(x)的定义域为I4,2Jul4'2j.答案：I4,2JlΛ4'2j

1.集合卜E+：WaWE+全0｝中的角所表示的范围(阴影部分)是()

+霜/+X

ABCD

【答案】C

【解析】当A'=2"("GZ)时，2"兀+三WaW2"π+匹("GZ),此时ɑ的终边和匹WaW匹的终边一样;

4242

当*=2〃+l(〃eZ)时，2∕7π+π+™≤α≤2∕jπ+π+^(∏∈Z),此时α的终边和n+：WaWπ+j的终边

一样，结合选项知选C.

2.在4/BC中，若sin2∕=sin2C,则448C的形状是()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】因为sin2/I=Sin2C=⅛sin2/=Sin(Tr—2(7),所以/=C或，+C=：.

当/=C时，三角形为等腰三南形；当/+C=匹时，三角形为直角三角形.

2

3.己知角。的顶点与原点重合，始边与X轴非负半轴重合，若4(一1,历是角。终边上的一点,

且SinO=一可°,则y=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【解析】因为Sine=一呼乂0,J(-l,y)是角6»终边上一点，所以产0,由三角函数的定义,

得不金==一①叵.解得y=-3.

Λp+ι10

4,已知。是第三象限角，且CoS(兀+0)=；,则tan。=()

A.也B.2

4

C.2√2D.√10

【答案】C

【解析】cos(兀+0)=-CoSO=；,所以cos。=—：,又。是第三象限角，

所以sinθ=-^∖∣∖—cos2<9=—ʌ/1—f—J="一垃,所以tanθ=∙5^=—^-=2y∣2.

3cosθ

3

5.已知α终边与单位圆的交点+'3,且α是第二象限角，则yI-Sin2α+42+2cos2α的值等

于()

ʌiB∙^I

C.3D.-3

【答案】C

【解析】因为α终边与单位圆的交点∕'d,且α是第二象限角，所以Sina=F

cos1=-9,则ʌ/l-sin2α+d2+2cos2(X=Λ∕L2Sina∙coso+Y2(l+cos2α)

∣∣∣∣∣

=Λ∕(sinOC-COSa)2+y4cos⅛=∣sina-cosα÷2cosα=÷=3.

6.设α角属于第二象限，且卜°$51=一a

cos-,则；角属于（）

2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】Ia是第二象限角,Λ90o+Λ-36(Xα<180o+Λ∙360o,⅛∈Z,

/.45o+⅛∙180o<^90o+k-180o,⅛∈Z.

2

当k=2n,时，弓在第一象限；当左=2〃+1,∕7∈Z时，仪在第三象限,

22

.∙.2在第一^限或在第三象限，:I2I=—cos-,cos^<0,.∙.生角在第三象限.

2222

7.已知Sinα,COSa是方程2⅛x+⅛2+%=0的两根，则左的值为（）

ʌ,ɪ^ɪC.1±√3D.l+√3

22

【答案】B

sinα+cosa=2k,

【解析】由题意得

sinacosα=Zr2+⅛,

*.*sin2ɑ÷cos2ɑ=(sinα÷cosɑ)2-2sinαcosa=4A2-2(⅛2+A)=1,

即2公一2左一1=0,解得％=里理=红乌∙.∙sinα+cosα=也Sinl叫J,

42

-Λ

.∖sina÷cosct∈[λ∕2,y∣2]9即2%wL/，J∑],Λ⅛∈

8.若。£(0,π),tanθ~∖—ɪ—=6,则sin0+cos9=()

tanθ

A.毡B∙-毡

33

C.D.-

33

【答案】A

22

rΛ77+c1BUΛIɪsinθ.cosθsin^÷cos^,.八1

【角星析】因为tanΘ-∖-------=-------1­；—=----------------=6,所以sinOcos3n=—,

tanθcosθsinθsin⅛osθ6

又9∈(0,π),则sinGO,cosθ>0f所以sinJ+cosGO.

所以(Sinθ+cos0)2=1+2sinOCoS。=：，所以Sinθ+cosΘ=^-γ~.

9.在AZBC中,cosΛ=-sinθ=∣,则COSC的值为（）

13f

唠或T

A./C.--

6565

【答案】A

【解析】在4∕8C中，由COSN=苴~,sinB=~,可得SinZ=—cos?〉=",

13513

：

因为sin8<sin4且力为锐角，则6<α,所以力>6,所以8为锐角，所以CoS8=3-sin%=,

则cosC=cos[π­(/1+5)]=—cos(J+5)=-cosAcosB+sinJsinB=一Aχ4+12χ3=16.

13513565

10.已知COSa=R^

,sinβ-噜且a∈93年33则α+∙的值是（）

5

AC3D

⅞4?

【答案】B

【解析】因为α∈["夕∈[°'J,所以Sina=71-cos%=COS8=7[-Sinq=

/..〃2√53√10√5√10√2

cos(α+^)=cosαcospn-sinasmβ=~~^~sXz--------×v----=一.又0<α+夕<兀，故α+夕=：.

105102

11.己知9∈R,则“3=0"是''y=sin（x+9）为奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当P=O时，V=Sin（X+0）为奇函数；当V=Sin（X+¢）是奇函数时，φ=kκ,⅛∈Z,

所以“0=0"是''y=Sin（X+夕）为奇函数”的兖分不必要条件，故选A.

12.在4/8C中，角/,B,C所对的边分别为“，b,c,已知acosZ=bcos8,

且。2=/+82一外，则4/8C的形状为（）

A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】D

【解析】因为αcos∕=6cos8,所以sin/cos4=sinBcos8,即sin2/I=Sin28,又Z,β∈(O,

π）,故可得4=8或4+8=：.由¢2=42+62—血得COSC=又C∈（0,π）,故可得C=：.综上

所述，4=8=C=故三角形Z8C是等边三角形.

2x—四

13.把函数√(x)=2cos/4j的图象向左平移机（〃》0）个单位，得到函数g（x）=2sin的图

象，则”的最小值是（）

AAB马C.-^~πD2

24242424

【答案】B

把函数y（x）=2CoSI2XT的图象向左平移皿"?>o）个单位,

【解析】选B

SWIU）的图象,

F-〃2(x+∕n)--

付到/(x)=2COSL4=2cos

g(x)=2nΓ^iJ=2o2X

sics0=2COS(^?])

由一匹=——+2Λπ,A∈Z,得m=——+⅛π,Λ∈Z,

4624

7兀=I7π

'.'m>0,当k=∖时，m最小，此时m=π

24-24,

π

TT

14.已知。>0,函数<x）=Sin、4j在区间一2」上单调递减，则实数3的取值范围是（）

ɪ513

A.|_2'4,

B.24C.D.(0,2]

【答案】A

ππ，2叫I

由题意法+l丁πω÷-2kπ+~

【解析】由工在X忘71,得三①+&Wsx+&Wπ0>+三,4j⊂[2

22444

π,兀、兀

一①十一与一，

242

得IWSW

(A∈Z).当A=O时，由•π^3π

πω~∖-一W一,24

42

ω>0,∣^∣<2∏

15.已知函数y=sin(ox+p)l的图象的一部分如图所示,则。，夕的值分别为（）

A1π

A.I,一B.I,UC.2,^3D-"

3

【答案】D

【解析】由图象知，宁"一:寸即T=Tt,所以"=兀，即①=2.

ω

又函数图象过点GJ,所以2义；+夕=E,⅛∈Z,又|喈，故夕=：,故选D.

16.已知函数y(x)=sin("+d(3>0),对任意x∈R,都有加方月，并且以)在区间「-Λ-±

_63_

不单调，则3的最小值是()

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【解析】由题意,Z0是函数f[x｝的最大值,

Λ-+≡=2A-π+≡,⅛∈Z,即s=6A+l,⅛∈Z.∙.∙<υ>O,ΛA∈N.

362

当上=0时，0=1,/(x)=Sin[+力在一工，匹上单调递增，不符合题意；

_63_

7X+

当k=1时，ω=7,/(x)=sin(3符合题意，二”的最小值是7.

17.(多选)在BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.⅛⅛=2√3,c=3,A+3C=π,则下

列结论正确的是（）

A.CGSC=弋B.SinB='C.a=3D.SAABC=亚

【答案】AD

【解析】选AD由/+3C=π,得8=2C根据正弦定理」一=-^,得2由SinC=3×2si∏Ccos

sinBsinC

C,又SinC>0,故COSC=鱼，SinC=亚故A正确；sinB=sin2C=2sinCcosC=—,故B

333

错误；由余弦定理得。2=层+力2—2α6cosC,将6=23，c=3代入得/-4α+3=0,解得〃=3

或4=1.若α=3,则A=C=-,且B=-,与sin矛盾,所以a=∖1故C错误；S△襁C=LZbSin

4232

C=l×l×2√3×^=√2,故D正确.故选A、D.

23

18.(多选题)如图是函数y=sin(s∙+p)的部分图象，则SinOX+s)=()

【答案】BC

pπτf∣

【解析】由题图可知，函数的最小正周期T=2136j=π,Λ-=π,ω=±2.

㈤

住OlX

当a)=2时，y=sin(2x+^),将点16,J代人得，sinl3H=O

/.2×~+^=2Aπ+π,⅛∈Z,即g=2⅛π+”,A∈Z,

63

k+⅞)=sin[n±f)=sin[!f]知B正确;

，y=sin,故A错误；由sinl

12x+⅞)=sin0+尹LoS(2x+胃知

由sinlC正确;

2r+2x+

由sinl∣f]=∞s[i)COSJΓ错误.

=L+D

综上可知，正确的选项为B、C.

cosβ^‰-^,则

若匹，-+al1

19.0<a<-π<β<--,CosUIJ一,)

2233

cD?

ATB学∙4

【答案】D

VXH+¥邛邛

20.已知角ɑ的终边经过点(3a—9,α+2),且cosα≤0,sina>0,则实数a的取值范围是,

【答案】(-2,3]

3a-9≤0,

【解析】；cosaW0,Sina>0,角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上..∖

a+2>0,

Λ-2<Λ≤3.

21.已知函数y(x)=2sin(5+9)(G>O,一兀<9<0)的相邻两个零点间的距离为彳，且TtJ=-2,

则9=

【答案】U

【解析】由题意Γ=2×-=π,ω>0,所以CU=@=2,[J=2sin[[+")

2T

~~"+φ=2kιt―匹，⅛∈Z,又一π<^<O,所以¢=——.

424

22.化简sin(mr+a)cos(m-ɑ%ez)的结果为_______

cos[(∕7÷l)π-«]

【答案】(-1)"+ISina("∈Z)

Sin(2攵兀+α)cos(2⅛π—0)sinICOSa

【解析】①当〃=2如-∈Z)时，原式=sɪna.

cos[(2A÷l)π-ɑ]一cosa

②当“=2k+l∕∈Z)时，原式=SinK2A+l)π+α]cos[(2k+l)Lα]=(-sinα)(-cosα)=sinα.

cos[(2⅛÷2)π-«]cosα

综上，化简的结果为(一DESina("∈Z).

23.在锐角4/BC中，BC=2,sin8+sinC=2sinN,则中线长的取值范围是.

【答案】a,$1

【解析】设ZB=c,AC=b,BC=a=2,对sin