2024年中考数学压轴题特训

压轴题特训

一.选择题（共6小题）

1.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,BD相交于点O,AB=6,ND4C=60°,点F在

线段A0上从点A至点0运动，连接。F,以。尸为边作等边三角形。尸E,点E和点A

分别位于。尸两侧，下列结论：①NBDE=NEFC;②ED=EC；®ZADF=ZECF；（4）

点E运动的路程是2M，其中正确结论的序号为（）

C.②③④D.①②③④

2.如图，0ABe。的对角线AC、BD交于点0,AE平分NBA。交BC于点E,且乙4OC=

60°,AB=lf）C,连接0E.下列结论：

2

①NCW=30°；

②SUABCD=A8・AC；

③。B=AB；

@OE=1BC,成立的个数有（)

4

C.3个D.4个

3.如图，在菱形ABCO中，AB=BD,点E、F分别是AB、A。上任意的点（不与端点重合）,

且AE=OF,连接BF与。E相交于点G,连接CG与8。相交于点H.给出如下几个结

论:

①△AEDdQFB；

@Siqii®BCDG=近CG2；

2

③若AF=2QF,则8G=6GF；

④CG与8。一定不垂直;

⑤NBGE的大小为定值.

其中正确的结论个数为（)

C.2D.1

4.已知：如图，在正方形外取一点E,连接4E、BE、DE.过点A作AE的垂线交

DE于点、P.若AE=AP=1,PB=通.下列结论：

①△APOdAEB；

②点B到直线AE的距离为加；

③EBLED；

④SAAPD+SAAPB=1+V6；

⑤S正方形ABCO=4+

其中正确结论的序号是（）

B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

5.如图所示，。为正方形ABC力的中心，BE平分NDBC交DC于点、E,延长BC到点凡

使FC=EC,连接。F交BE的延长线于点“，连接。”交0c于点G,连接“C.则下

列结论：①0H〃8F；②NCHF=45°；③GH=」8C；@FH2^HE-HB,正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

6.如图，在平面直角坐标系中，菱形4B0C的顶点。在坐标原点，边80在x轴的负半轴

匕NBOC=60°,顶点C的坐标为（m,3加），反比例函数），=K的图象与菱形对角

x

二.填空题（共20小题）

7.如图，E,尸是正方形4BCD的边AD上两个动点，满足4E=D尸.连接C尸交BO于点

若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是

8.如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC,连接AC,且NACD=30°,tan/BAC=2返

3

9.如图，△ABC是等边三角形，高A。、BE相交于点H,8c=4我，在8E上截取2G=2,

以GE为边作等边三角形GEF,则△AB”与△GEF重叠（阴影）部分的面积为.

10.如图，点。在△ABC的边BC上，ZC+ZBAD=ZDAC,tanZBAD=A,AD=V65,

II.如图，在。。的内接四边形ABC3中，AB=3,AD=5,/BA£>=60°,点C为弧BO

的中点，则AC的长是.

12.如图，四边形A8C£>中，N4=90°,48=3料，A£>=3,点M,N分别为线段BC,

A8上的动点（含端点，但点M不与点8重合），点E,尸分别为OM,MN的中点，则

EF长度的最大值为.

13.如图，在△48C中，ZBAC=30°,A8=AC,4。是BC边上的中线，ZACE=1-ZBAC,

2

CE交AB于点E,交AO于点尺若8c=2,则E尸的长为.

14.如图，在边长为6近的正方形ABCO中，E是AB边上一点，G是A。延长线上一点,

BE=DG,连接EG,CFLEG交EG于点、H,交AD于点F,连接CE,BH.若BH=8,

15.按如图方式作正方形和等腰直角三角形.若第一个正方形的边长AB=1,第一个正方形

与第一个等腰直角三角形的面积和为51,第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积

和为52,…，则第〃个正方形与第〃个等腰直角三角形的面积和S〃=.

16.已知等边三角形A3C的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点尸到A3的

距离是1,点尸到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是.

17.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线OE与AC所在的直线相交于点E,垂足为。,

连接8E.已知AE=5,tan/AE£>=&,则BE+CE=.

4

18.以矩形0A8C的顶点。为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的

正半轴上，双曲线）（x>0）的图象经过8c的中点£>,且与交于点E,过0C

x

边上一点F,把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C'处，且C'E//

BC,若点C'的坐标为（2,4）,则tan/CBF的值为.

19.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数>=区（x>0）的图象交矩形04BC的边A8

X

于点。，交边BC于点E,且BE=2EC若四边形0D3E的面积为6,则攵=.

20.如图，已知点4,A2,…，4均在直线y=x-1上，点Bi,B2,…，8〃均在双曲线y

=-工上，并且满足：Ai8i_Lx轴，81A2_Ly轴，A2B2_Lx轴，BM3_Ly轴，…，AnBn-Lx

x

轴，&A〃+i_Ly轴，…，记点A〃的横坐标为〃〃(九为正整数).若m=-1,则42015=

21.如图，在RtZ\OA8中，0A=4,A8=5,点。在。4上，AC=1,。尸的圆心P在线段

BC上,且OP与边AB,AO都相切.若反比例函数y=K(ANO)的图象经过圆心P,

x

则k=_______

22.如图，△O4C和△8AO都是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例函数y

=区在第一象限的图象经过点跟若以2-4解-2,则％的值为

23.函数y=x的图象与函数y=2的图象在第一象限内交于点8,点C是函数旷=9在第一

xx

象限图象上的一个动点，当△08C的面积为3时，点。的横坐标是

24.如图，反比例函数y=3(x>0)的图象与矩形O48C的边长A8、8c分别交于点E、

x

F且AE=8E,则4OE尸的面积的值为.

25.在平面直角坐标系xQy中，已知第一象限内的点A在反比例函数y」的图象上，第二

X

象限内的点8在反比例函数的图象上，连接。4、OB,若。。8=返。4,

yx2

则k=.

26.如图，点A在双曲线y=2(x>0)上，点8在双曲线>=匡(x>0)上，且AB〃y轴,

XX

点P是y轴上的任意一点，则△出8的面积为.

27.在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,点。在边8c上，BD=1~BC,将线段。8绕点

3

。顺时针旋转至DE,记旋转角为a,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角

三角形CEF,连接AF.

(1)如图1,当a=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；

(2)当0°<a<180°时，

①如图2,(1)中线段A尸与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,当8,E,F三点共线时，连接AE,判断四边形AECF的形状，并说明理由.

图2

28.在nABCD中，NBAO=a,DE平分NADC,交对角线AC于点G,交射线AB于点E,

将线段EB绕点E顺时针旋转2a得线段EP.

2

(1)如图1,当a=120。时，连接4P,请直接写出线段AP和线段4c的数量关系；

(2)如图2,当a=90°时，过点B作B尸，EP于点尸，连接4凡请写出线段4凡AB,

A。之间的数量关系，并说明理由;

(3)当a=120°时，连接AP,若BE=LAB,请直接写出△APE与△COG面积的比值.

2

29.已知四边形ABC。是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在

备用图

(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点、P,AF交CO于点Q,连接CF,

①当〃尸工时，求线段CF的长;

3

②在△PQE中，设边QE上的高为儿请用含机的代数式表示人并求/?的最大值；

(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请

直接写出y与"?的关系式.

30.在矩形A8CO中，点E是射线BC上一动点，连接AE,过点B作8凡L4E于点G,交

直线CD于点F.

图1图2图3

(1)当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角

三角形CF“，连接

①如图1,若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是,位置关系

是;

②如图2,若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；

如果不成立，请说明理由；

(2)如图3,若点E在线段上，以8E和2F为邻边作平行四边形BEHF,M是BH

中点，连接GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值.

31.如图，在平面直角坐标系中，四边形O48C的边OC在x轴上，0A在y轴上.。为坐

标原点，AB//OC,线段OA,A8的长分别是方程/-9x+20=0的两个根(OA<AB),

tanZOCB——.

3

(1)求点B,C的坐标；

(2)户为0A上一点，。为OC上一点，OQ=5,将△POQ翻折，使点。落在A3上的

点0'处，双曲线y=K的一个分支过点0'.求A的值；

x

(3)在(2)的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点M使以O',Q,M,

N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

32.如图，AM是△ABC的中线，。是线段AM上一点(不与点4重合).DE//ABAC

点尸，CE//AM,连接AE.

(1)如图1,当点。与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)如图2,当点。不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

(3)如图3,延长8。交AC于点H,若BH_LAC,且BH=AM.

①求NC4M的度数；

②当FH=a，0M=4时，求。，的长.

33.如图，在正方形A8CZ)中，点E、G分别是边A。、BC的中点，AF=^AB.

4

(1)求证：EF_LAG；

(2)若点F、G分别在射线A3、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点产运动

速度的2倍，EFL4G是否成立(只写结果，不需说明理由)？

(3)正方形A8C力的边长为4,P是正方形ABC。内一点，当SA%B=SAQAB,求△以8

周长的最小值.

34.在直角坐标系中，过原点。及点A(8,0),C(0,6)作矩形0ABC、连接。B,点。

为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE,作DF±DE,交OA于点F,连接

EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间

(1)如图1,当f=3时，求。F的长.

(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中，/DEF的大小是否发生变化？如果变

化，请说明理由；如果不变，请求出tan/OEF的值.

(3)连接A£>,当A。将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的，的值.

35.如图，在正方形A8CD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE,DE.

(1)如图1,求证：Z^BCE丝△OCE；

(2)如图2,延长BE交直线C。于点凡G在直线4B上，且FG=FB.

①求证：DELFG；

②已知正方形ABCD的边长为2,若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形

36.如图1,二次函数(x+3)(x-4)图象交坐标轴于点A,B(0,-2),点尸为x

轴上一动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点尸作PQLx轴分别交线段AB,抛物线于点。，C,连接AC.当OP=1时,

求△AC。的面积；

(3)如图2,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点。在抛物线上时,

图1图2

37.如图，二次函数y=-/-2x+4-/的图象与一次函数＞=-2x的图象交于点4、B(点

B在右侧)，与)，轴交于点C,点A的横坐标恰好为a.动点尸、。同时从原点O出发，

沿射线08分别以每秒遥和2遥个单位长度运动，经过f秒后，以PQ为对角线作矩形

PMQM且矩形四边与坐标轴平行.

(1)求a的值及/=1秒时点P的坐标；

(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间/的取值范围；

(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R,作关于原点(0,0)的对称点为R',

当点M恰在抛物线上时，求R'M长度的最小值，并求此时点R的坐标.

38.已知：抛物线y=o?+fer+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸为直线8c上方抛物线上任意一点，连尸C、PB、PO,P0交直线BC

于点E,设患=%求当k取最大值时点尸的坐标，并求此时改的值.

0E

(3)如图2,点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D

①求△B。。的周长及VdnZBDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan/BM0=2(f为大于0的常数)，求点M的坐

t

标.

39.如图，抛物线＞=/+公-3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),。是抛物线的顶点，

P是抛物线上的动点，点P的横坐标为机(0W机＜3),AE〃尸。交直线/：)，=1+2于点

2

E,AP交DE于点F,交)，轴于点。.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设的面积为Si,△AEF的面积为S2,当Si=S2时，求点P的坐标；

(3)连接8Q,点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且NBMQ=45。，在点

P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围.

40.将抛物线y=o?(aWO)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线从

y=a(x-〃)2+公抛物线，与*轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),

点尸是抛物线”上的一个动点.

(1)求抛物线”的表达式；

(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线”上运动(不与A,C重合)，过点尸作PO

±AB,垂足为Q,PO交AC于点E.作PFL4C,垂足为F,求△PEF的面积的最大值；

(3)如图2,点。是抛物线”的对称轴/上的一个动点，在抛物线”上，是否存在点尸,

使得以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点

P的坐标；若不存在，说明理由.

41.在平面直角坐标系中，抛物线3交x轴于点4(-1,0),8(3,0),过点

B的直线y=lx-2交抛物线于点C.

3

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点(户不与点8,C重合)，求△PBC面积

的最大值；

（3）若点M在抛物线上，将线段绕点。旋转90°,得到线段ON,是否存在点M,

使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由.

42.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=-叱（而>0）与x轴交于A（-1,

-222

0）,B（m,0）两点，与y轴交于点C,连接BC.

（1）若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点尸位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求

点P的坐标；

（3）设直线），=1+，与抛物线交于8,G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点尸

2

（在抛物线的对称轴上），使得以8,G,E,尸为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出

点E,F的坐标；若不存在，说明理由.

43.如图，抛物线y=』+2x-8与x轴交于4,B两点（点A在点8左侧），与），轴交于点C.

(1)求4,B,C三点的坐标;

(2)连接AC,直线（-4V/n<0）与该抛物线交于点E,与AC交于点。，连接

OD.当。AC时，求线段OE的长;

(3)点M在），轴上，点N在直线AC上，点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在点

使得以C、M、N、尸为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

44.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与)，轴交于点C(0,

6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(I)求抛物线的表达式；

(2)判断△BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，&为半径作。C,在0c上是否存在点P,使得BP+JLEP

2

的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

45.如图，抛物线yuM+bx+S交x轴于A(3,0),8(-1,0)两点，交y轴于点C,动

点P在抛物线的对称轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及aPBC的周长；

(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点。，使得以A,C,P,Q为

顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

备用图

46.如图，已知抛物线、=苏+云+5(。r0)与无轴交于点A(-5,0),点B(1,0)(点A

在点B的左边)，与)，轴交于点C,点。为抛物线的顶点，连接BD直线)经

过点4,且与y轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点N是抛物线上的一点，当△8£W是以ON为腰的等腰三角形时，求点N的坐标;

(3)点尸为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG,并延长FG与线

段BO交于点，(点H在第一象限)，当/EFG=3/BAE且HG=2FG时，求出点尸的

47.如图，抛物线y=-工2+&v+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.连

2

接AC,BC,点尸在抛物线上运动.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点P在第四象限，点。在布的延长线上，当NCAQ=NCBA+45°时，

求点尸的坐标；

(3)如图②，若点尸在第一象限，直线AP交8c于点F,过点P作x轴的垂线交8c

于点，，当为等腰三角形时，求线段PH的长.

48.如图，抛物线y=a?+*+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐

标分别是4(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

(2)将△A8C沿BC所在直线折叠，得到△OBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对

称轴上？若点。在对称轴上，请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点尸是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接4P交BC于点。，连接BP,

顶点P的坐标为(2,-1).点5为抛物线上一动点，连接AP,AB,过点8的直线与抛

物线交于另一点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，ZABC=ZOAP,且点C位于x轴上方，求点C

的坐标；

(3)若点B的横坐标为f,NA8C=90°,请用含［的代数式表示点C的横坐标，并求

出当f＜0时，点C的横坐标的取值范围.

备用图

50.如图，函数y=-7+bx+c的图象经过点A(777,0),B(0,n)两点，m,〃分别是方程

--2x-3=0的两个实数根，且用＜〃.

(I)求〃?，"的值以及函数的解析式；

(H)设抛物线＞=-/+版+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为。，连接AB,

BC,BD,CD.求证：XBCDs△OBA：

(III)对于(I)中所求的函数y=-x^+bx+c,

(1)当0WxW3时，求函数y的最大值和最小值；

(2)设函数y在/内的最大值为p,最小值为＜7，若p-q=3,求/的值.

51.如图，已知A。，EF是。。的直径，AO=6J5,。0与nOABC的边AB,OC分别交于

点E,M,连接CD并延长，与AF的延长线交于点G,ZAFE^ZOCD.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若GF=1,求cos/AEF的值；

(3)在(2)的条件下，若NABC的平分线8”交C。于点H,连接A”交。。于点N,

求姻■的值.

52.如图，A8是。。的直径，点C为。。上一点，OELBC于点4,交。。于点E,点。

为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F,且NBO£>=N3C£>,连

接80、AC、CE.

(1)求证：力/为OO的切线；

(2)过E作£G_LFQ于点G,求证：△CHEQXCGE：

(3)如果4尸=1,sinN尸。4=亚，求EG的长.

53.如图，在aABC中.ZABC=ZACB,以AC为直径的。。分别交AB、BC于点M、N,

点尸在AB的延长线上，且NBCP=」NBAC.

2

(1)求证：CP是。。的切线;

COS求点8到AC的距离.

(2)若BC=3&/BCP=YH,

6

54.如图，以Rt^ABC的直角边AB为直径的00交斜边AC于点。，过点。作。。的切线

与BC交于点E,弦与AB垂直，垂足为4.

(1)求证：E为BC的中点；

(2)若。。的面积为I2n,两个三角形△AHO和的外接圆面积之比为3,求4

QEC的内切圆面积Si和四边形OBEQ的外接圆面积S2的比.

55.如图，4B是OC的直径，M、力两点在AB的延长线上，E是OC上的点，且DE?=DB

•DA,延长AE至F,使得AE=EF,设BF=10,cosZB£D=A.

(1)求证：XDEBsXDAE：

(2)求D4,OE的长；

(3)若点尸在8、E、M三点确定的圆上，求的长.

56.已知在平面直角坐标系中，点A(3,0),8(-3,0),C(-3,8),以线段BC为直

径作圆，圆心为E,直线AC交OE于点。，连接OD.

(1)求证：直线。。是。£的切线；

(2)点尸为x轴上任意一动点，连接CF交0E于点G,连接BG；

①当tanNACF=1•时，求所有产点的坐标(直接写出)；

7

②求毁的最大值.

CF

图1图2

57.如图，在RtZ\ABC中，/B=90°,/8AC的平分线A。交8C于点。，点E在AC上,

以AE为直径的。。经过点D

(1)求证：①8c是。。的切线；

②C£>2=CE・CA：

(2)若点F是劣弧A£>的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积.

58.已知AB是。。的直径，C是圆上一点，NBAC的平分线交00于点。，过。作。

AC交AC的延长线于点E,如图①.

(1)求证：OE是。0的切线；

(2)若AB=10,AC=6,求8。的长；

(3)如图②，若F是。A中点，FGJ_0A交直线。E于点G,若FG=29,tanN2A£>=

3,求00的半径.

4

图①图②

59.如图，直线y=3x与双曲线）=上（ZWO）交于A,B两点，点A的坐标为（机，-3）,

2x

点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点。，且BC=2CD.

（1）求k的值并直接写出点8的坐标；

（2）点G是y轴上的动点，连接GB,GC,求GB+GC的最小值；

（3）P是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点P,Q,使得四边形A8PQ是矩

形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由.

60.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与8。的交点E恰好在y

轴上，过点。和BC的中点”的直线交AC于点F,线段。E,CO的长是方程/-9x+18

=0的两根，请解答下列问题：

（1）求点D的坐标；

（2）若反比例函数）=区@#0）的图象经过点H,则后=；

x

（3）点。在直线8力上，在直线。，上是否存在点P,使以点尸，C,P,。为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

压轴题特训

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

1.如图，在矩形48C。中，对角线AC,8。相交于点O,AB=f>>/D4c=60°,点尸在

线段40上从点A至点。运动，连接。凡以。尸为边作等边三角形OFE,点E和点A

分别位于DF两侧，下列结论：①NBDE=/EFC；②ED=EC；@ZADF^ZECF；④

点E运动的路程是2日，其中正确结论的序号为（）

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

【分析】①根据NCAC=60°,OD=OA,得出为等边三角形，再由△OFE为等

边三角形，得NEDF=NEFD=NDEF=60°,即可得出结论①正确：

②如图，连接0E,利用SAS证明△D4F丝△OOE,再证明△ODE也△OCE,即可得出结

论②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④如图，延长OE至E',使OE'=0£>,连接DE',通过△D4P丝△OOE,NDOE=

60°,可分析得出点尸在线段AO上从点A至点。运动时，点E从点。沿线段OE'运

动到E',从而得出结论④正确；

【解答】解：①：ND4C=60°,OD=OA,

...△OAQ为等边三角形，

：.ZDOA^ZDAO^ZODA-60°,AD=OD,

•.•△OFE为等边三角形，

：・NEDF=NEFD=NDEF=60°,DF=DE,

VZBDE+ZFDO=ZADF+ZFDO=60Q,

:.NBDE=NADF,

ZADF+ZAFD+ZDAF=\SOa,

AZADF+ZAFD=1SOQ-ZDAF=120°,

VZEFC+ZAFD+ZDFE=\SOQ,

：.ZEFC+ZAFD^\80Q-NDFE=120°,

ZADF=ZEFC,

：.NBDE=AEFC,

故结论①正确；

②如图，连接。E,

在△D4F和△OOE中，

'AD=0D

,NADF=N0DE，

DF=DE

：./\DAF^/\DOE(SAS),

：.ZDOE=ZDAF=60°,

VZCOD=180°-ZAOD=120°,

：.ZCOE=ZCOD-ZDOE=\20°-60°=60°,

：.ZCOE^ZDOE,

在△OOE和△OCE中，

"OD=OC

<ZD0E=ZC0E-

OE=OE

.,.△OOE丝△OCE(SAS),

：.ED=EC,ZOCE=ZODE,

故结论②正确；

@"：ZODE=ZADF,

：./ADF=NOCE,即NADF=NECF,

故结论③正确；

④如图，延长OE至E',使OE'=OD,连接。E',

,:△DAFQXDOE,ZDOE=60°,

点尸在线段AO上从点A至点。运动时，点E从点O沿线段OE'运动到E',

,：OE'=0O=A£>=A8ran/ABO=6ran3(T=2后

.•.点E运动的路程是2«,

故结论④正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质,

等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三

角形判定和性质等相关知识是解题关键.

2.如图，oABCQ的对角线AC、BD交于点O,AE平分NBA。交BC于点E,HZADC=

60°,AB^l.BC,连接OE.下列结论：

2

①NCAZ)=30°；

③0B=A8；

@OE=1BC,成立的个数有()

C.3个D.4个

【分析】由四边形ABC。是平行四边形，得到/ABC=NAZ)C=60°,120°,

根据AE平分NBA。，得到NBAE=NE4D=60°推出是等边三角形，由于AB=

IfiC,得到AE=28C,得到aABC是直角三角形，于是得到/C4£>=30°,故①正确；

22

由于AC_LA8,得到SCABCD=AB・AC,故②正确，根据OB=、BD,且2。

22

>BC,得到ABWOB,故③错误；根据三角形的中位线定理得到0匹=工8,于是得到

2

OE=^BC,故④正确.

4

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

.,.NA8C=NA£>C=60°,NBAO=120°,

■：AE平分NBA。，

：.ZBAE^ZEAD=60°

.•.△ABE是等边三角形，

：.AE=AB=BE,

•：AB=^BC,

2

：.AE=1.BC,

2

；.NBAC=90°,

：.ZCAD=30°,故①正确；

VAC1AB,

9

S^ABCD=ABAC9故②正确，

"：AB=1.BC,OB=LBD,

22

\"BD>BC,

：.AB^OB,故③错误；

'：CE=BE,CO=OA,

OE=LB,

2

OE=1BC,故④正确.

4

故选：c.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，

平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.

3.如图，在菱形ABC。中，AB=BD,点、E、p分另I是AB、AO上任意的点（不与端点重合）,

且AE=£>凡连接B尸与DE相交于点G,连接CG与80相交于点H.给出如下几个结

论：

①/XAED冬△DFB；

②S|/qii»BCDG=近CG?;

2

③若AF=2OF,则8G=6GF；

④CG与B£）一定不垂直；

⑤NBGE的大小为定值.

其中正确的结论个数为（）

D

H

A.4B.3C.2D.1

【分析】①先证明△AB。为等边三角形，根据“SAS”证明丝△QFB；

②证明/BGE=60°=NBCD,从而得点8、C、D、G四点共圆，因止匕/BGC=/OGC

=60°,过点C作CM1GB于M,CNLGD于N.证明△C8W丝△CDN,所以S四边形BCDG

=S四边形CMGN,易求后者的面积；

③过点F作口〃AE于P点，根据题意有FP：AE=DFtD4=l：3,则FP：BE=1：6

=FG：BG,即BG=6GF；

④因为点E、尸分别是AB、4。上任意的点（不与端点重合），且AE=DF,当点E,F

分别是AB,中点时，CG±BD；

⑤NBGE=NBDG+NDBF=NBDG+NGDF=60°.

【解答】解：①；A8CD为菱形，

"：AB=BD,.•.△ABD为等边三角形，

AZA=ZBDF=60°,

又；AE=DF,AD=BD,

:.AAED经ADFB,故本选项正确；

②ZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,

即NBGQ+/BC£>=180°,

:.点、B、C、£>、G四点共圆，

：.ZBGC^ZBDC=60a,/DGC=NDBC=60°,

：.ZBGC=ZDGC=60°,

过点C作CM_LG8于M,CALLGO于N（如图1）,

则△C8M丝△CONCAAS）,

S四边形BCOG=S四边形CMGN,

S四边形CMGN=2SzsaWG，

VZCGM=60°,

，GM=JLCG,CM=±LCG,

22_

•••S四边形CMGN=2SACMG=2XJLXJLCGX，LCG=Y1CG2,故本选项错误;

2224

③过点尸作FP〃AE交。E于P点（如图2）,

'：AF^2FD,

：.FP：AE=DF：D4=l：3,

"：AE=DF,AB=AD,

；.BE=2AE,

：.FP：BE=FP：2AE=1：6,

"：FP//AE,

:.PF〃BE,

：.FG：BG=FP：BE=1：6,

即8G=6GF,故本选项正确；

④当点E,尸分别是AB,AQ中点时（如图3）,

由（1）知，△ABQ,△BQC为等边三角形，

•.•点E,F分别是AB,AO中点，

：.NBDE=ZDBG=30°,

：.DG=BG,

在△GOC与ASGC中，

'DG=BG

<CG=CG-

CD=CB

.♦.△GOC丝△BGC,

ZDCG=ZBCG,

：.CH±BD,即CG_LB。，故本选项错误；

⑤•：NBGE=NBDG+/DBF=NBDG+NGDF=60°,为定值,

故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，

故选：B.

【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和

性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积

是解题的关键.

4.已知：如图，在正方形ABC。外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交

OE于点P.若AE=AP=1,PB—y/s.下列结论：

①注ZkAEB；

②点B到直线AE的距离为我；

③EBLED：

④SAAPD+SAAPB=1+V6;

⑤S正方形ABCD=4+遍.

其中正确结论的序号是（）

AD

c

RC

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

【分析】①利用同角的余角相等，易得再结合已知条件利用&4S可证

两三角形全等；③利用①中的全等，可得结合三角形的外角的性质，

易得NB