2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：函数的解析式（含解析）

《函数的解析式》

考查内容：主要涉及求函数的解析式（换元法，待定系数法，配凑法，方

程组法等）

选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知=+4%-5,则“X）的表达式是（）

A.%2+2x-3B.%2+6x-10C.x2+6xD.x2+8x+7

2.已知函数/（«+l）=x+2,则

A./（x）=x2+2x+lB./（x）=x2-2x+3（x>l）

C./（x）=x2-2x+lD./（x）=x2+2x+3（x>l）

3.已知/（、6+l）=%+3,则/（%+D的解析式为（）

A.x+4(x>0)B.x2+3(x>0)

C.x2-2x+4(x>1)D.x2+3(x>1)

4.已知/(尤+1)=，匚巨，则/(2x—1)的定义域为()

5.设函数/(%)=履+/左>0),满足/(/(%))=16x+5,则/(x)=()

A.—4x—B.4-x—C.4x-1D.4x+1

33

6.已知"尤)满足2/(x)+/d)=3x,则/(%)等于()

X

A.-2C%---1-B.-2CxH—1

XX

C.c2xH—1D.2c%—1

xx

7.设/(立2%)=2%%>0),则“3)的值是()

A.128B.256C.512D.1024

8./(cosx)=coslx,贝ij/(sin60。)等于()

B6

c.D.

"T~T22

9.已知定义在H上函数/（%）为单调函数，且对任意的实数x，都有

/1/⑴+乙］J，则/(喝3)=()

12

A.0B.-C.-D.1

23

10.若函数/(x)=(m—3)x”是累函数，且图象过点(2,4),则函数

g(x)=loga(m—x2)的单调增区间为()

A.(-2,0)B.(-oo,0)C.(0,+co)D.(0,2)

11.已知函数y=/(x)对任意xwR,都有2/(尤)一3/(-幻=5sin2x+cos2x,将

TT

曲线y=/(x)向左平移一个单位长度后得到曲线y=g(x),则曲线y=g(x)的一条

4

对称轴方程为()

A,.x=--兀-B.x=--兀C~.x=-710D.x=—Tl

8484

12.设函数/:RfR满足f(0)=1,且对任意x,ye火都有

f(xy+1)=/(©/(y)—/(y)-x+2,则/(2019)=()

A.0B.1C.2019D.2020

二.填空题

13.已知二次函数〃力=依2+法+c(a/o),其图象过点(L—1),且满足

/(x+2)=/(x)+4x+4,则/(%)的解析式为.

14.已知函数〃力，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

/(x)+g(x)=e*+*+l,则g(x)=.

15.已知/(x+D=:，/⑴=1，(xeN+),f(x)=________.

f(x)+2

16.7Xx)是R上的函数，且满足/(0)=1,并且对任意的实数％，y都有

f(x-y)=/(x)—y(2x—y+1),则f{x}的解析式_______

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)已知/［xH--］=X，H---,求/(X);

X)X

(2)如果则当XWO且XW1时，求/(X)；

\x)1-x

⑶已知了。)是一次函数，且满足3/(x+l)—2/(x—l)=2x+17,求f(x)；

⑷已知函数〃无)的定义域为(0,+8),且/(x)=2/m五-1,求〃无).

18.已知二次函数/(X)=依2+区+C,满足/(o)=2,f(^x+l)-f(x)=2x-l.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)求〃力在区间［-1,2］上的最大值;

(3)若函数/(%)在区间［a,a+1］上单调，求实数。的取值范围.

19.一次函数/(©是R上的增函数，/"(x)]=4x+3,

4M2—1

g(x)=/(x)(x+---)(m>0).

(1)求AM；

(2)对任意“马6口,3],恒有|g。)—g(w)|W24,求实数机的取值范围.

20.已知函数/(%)对一切实数无，V者B有/(尤+y)-/(y)=》a+2y+i)成立，且

/⑴=。・

(D求/(0)的值；

(2)求/(%)的解析式；

(3)已知aeH,设P：当0<%<1时，不等式/(%)+4<2x+a恒成立；。：当

工目-2,2］时，g(x)=/(x)—依是单调函数.如果满足P成立的。的集合记为A,满

足。成立的。的集合记为3,求ACCRB(R为全集).

21.已知函数/(%)=岂1定义在(-M)上的奇函数，且/I2

(1)求函数/(光)的解析式;

(2)判断函数/(%)的单调性，并证明;

(3)解关于x的不等式〃2x-L)+〃x)<0.

22.已知f(%)为奇函数,g(%)为偶函数，且f(%)+g(x)=21og2(l-%).

(1)求/(%)及g(%)的解析式及定义域；

(2)如函数尸(%)=2。(%)+(4+2)%在区间(一1,叩上为单调函数,求实数k的范围.

(3)若关于％的方程f(2%)-TH=0有解，求实数血的取值范围.

《函数的解析式》解析

1.【解析】由于尤2+4]—5=(1一1)2+6(无一1),所以/(X)=%2+6X.

故选：C

2.【解析】设"&+1，则/21且尤=Q—Ip

.•./(/)=«—iy+2=l—2r+3.-./(X)=X2-2X+3(X>1),本题正确选项：B

3.【解析】令&+1=《/21),反解得：x=(r—Ip

回代得:/⑺=(51)2+3,即：/(X)=(X-1)2+3(X>1),

故：/(x+l)=f+3(x20).故选：B.

4.【解析】由题意可知，令x+l=1,则X=r一1,

.../(Z)=,—(1)2=J—-+2/,

13

-Z2+2?>0，解得0W/W2,令0W2x—1W2,解得一<x<—

22

「13-

二函数/(2x—1)的定义域为,故选：D

5.【解析】由题意可知/=左(乙+人)+匕=左一+劭+人=16尤+5

一=16

所以<07+6=5,解得：左=41=1,所以/(九)=4x+l.故选：D

k>Q

1113

6.【解析】把"(x)+〃一)=3%①中的x换成一,得2/(—)+"%)=—②

XXXX

31

由①x2—②得3/(x)=6x——n/(x)=2x——.故选：D

XJC

7.【解析】设log2X=f,则x=2，,所以/(力=2”，即/(x)=2*

则/(3)=2吩=28=256-故选：B

8.【解析】/(cosx)=cos2x,化简变形可得/(cosx)=2cos2x—l,

令1=cosx,/e,所以/(/)=2/一1,Ze[-1,1],

所以/(sin60°)=/[曰[=2x[¥]-1=1,故选：C.

9.【解析】根据题意，/(%)是定义域为R的单调函数，且对任意实数了都有

=则〃力+^7为常数，

22

设/(幻+▽：=/,则/(X)=—LT+，，

2+12+1

又由/|/(x)+乙］=］即/⑺=-'+"?

221

解可得，=1,则/(x)=—^^+1,则/(log23)=—皿「+1=不，故选：B.

乙IX.乙IA.乙

10.【解析】因为函数/(%)=(机—3)/是幕函数，且图象过点(2,4)

则4-九2〉0解得—2<%<2,令/(%)=4-%2,g(r)=log2r

因为《X)在(-2,0)上单调递增，(0,2)上单调递减，且g(/)=log2/在定义域上单调

递增，故8(%)=108〃(〃2-尤2)=1082(4—尤2)在(—2,0)上单调递增，(o,2)上单调

递减，故选：A

2f(x)-3f(-x)=5sin2x+cos2x①

11.［解析］由</①x2+②x3,得

2/(-A：)-3/(%)=-5sin2x+cos2x②

-5/(x)=-5sin2x+5cos2x,即/(x)=sin2x-cos2x=^2sin12x—：J,

则g(x)=&sin2^%+^-j-^-=A/2sin^2x+^j,

jrjr-rrK7T

令2xH—=—l-kji,kEZ,则对称轴方程为1=—I---,kwZ,故选：C

4282

12.【解析】f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,/(0)=l,

取x=0得到/⑴=/(0)/(y)—/(y)+2=2

取y=0得到/(I)=/(x)/(0)_/(0)_X+2=2得到/(x)=x+l

/(2019)=2020,故答案选D

13.【解析】根据题意可知a+Z?+c=-L

又a(x+2)-+b(^x+2^+c=ax2+fev+c+4x+4恒相等，

化简得至！J(4a+Z?)x+4a+2Z?+c=(Z?+4)x+c+4恒相等,

4〃+6=Z7+4

所以<4〃+2Z?+c=c+4,故々=1,Z?=0,c——2,

a+b+c=-l

所以的解析式为/(x)=*-2.故答案为：/(q=*-2.

14.【解析】•••/(尤)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

f(x)+g(x)=ex+x2+1,

f(-%)+g(-尤)=e~x+(-x)2+1,BPf{x}-g[x)=e~x+x2+1,

两式相减可得2g=即8('=3(^_6一)故答案为：

一—/、2〃x)

15.【解析】/(x+1)=cl\一

/(x)+2

1111

---------=--------1---———b(x-l)x—=l+(x-l)x—=士^

/(x+1)/(X)2----/(%)/(I)222

2

/(x)=

x+1

16.【解析】令*=0,代入/(%-V)=/(%)-丁(2%-丁+1)得

/(—y)=/(0)—y(—y+D,

又/(。)=1，则/(-J)=1-y(-y+I)=y2—y+l=(-y)2+(-y)+1,

f(x)=x2+X+1,故答案为：f(x)=X2+X+1.

当x>0时,

当x<0时,

/(x)=-3x(%,—2或%22).

Ayi

⑵1-X11，・•・/(%)=—毋W。).

-1x-1

X

⑶设/(%)=改+b(aw0)则

3/(x+1)—2/(x—1)=3[a(x+1)+切—2[a(x—1)+/=2x+17,

a=2

ax+5a+b=2x+17,故＜,••〃=2,b7,

5a+b7=ll

f(x)=2x+l.

⑷；/(x)=2/\]五

-1①

用；替换①式中的x得=2f(x)e—l②

把②代入①式可得/(x)=2(2/(%)^-—1)•—1，

即/(x)=JV%+＞0).

18.【解析】(1)由/(0)=2,得c=2,

由/(x+1)—/(%)=2x—1,得2tzx+a+Z?=2x—1,

2a=2。=1

故＜a=-l'解得

+bb=—2’

所以/(x)=f—2x+2.

(2)由(1)得：/(X)=X2-2X+2=(X-1)2+1,

则/(x)的图象的对称轴方程为x=l,

又〃T)=5,〃2)=2,

所以当x=—1时/(%)在区间［-1,2］上取最大值为5.

(3)由于函数/(九)在区间［a,a+1］上单调,

因为/(%)的图象的对称轴方程为％=1,

所以aNl或a+lWl,解得：。40或a21,

因此a的取值范围为::(^»,0]o[l,+co).

19.【解析】(1)•••一次函数/(x)是R上的增函数，'・设/(%)=cuc+b(a＞。)，

/[/(%)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4犬+3,

a2=4-\a=2

,c，解得，，/(x)=2x+l.

ab+b-3b=l

(2)对任意％,x2e［l,3］,恒有忖(内)一8(x2)归24等价于8(%)在口,3］上的最大值

与最小值之差MV24,由(1)知g(x)=/(x)(x+电F)=2f+4”+史?，

g(x)的对称轴为X=T〃<0且开口向上，

・•・g(x)在［1,3］上单调递增,

/、小、ycyc4m—1/、c4m—1

=3=12w+18+

-,'gWmaxg()2>,gd=g(D=4m+2+2-，

M=g(3)-g(l)=8m+16<24，解得m<\,

综上可知，me(0,1］.

20.【解析】（1）令x=—1,y=l,则由已知得,

/(O)-/(l)=-lx(-l+2+l),

/(1)=0,.-./(O)=-2

(2)令y=0,则/⑺―/(O)=x(x+l)，又/(0)=-2,

/(x)=x2+x-2；

(3)不等式/(X)+4<2X+Q,即/+%_2+4<2x+a,EPx2—x+2<a，当

Ovxvl时，％2一%+2<2.又一x+2恒成立，A={〃|aN2}.

g(x)=%2+x—2—ax=x2+(1—Q)X—2,又g(%)在［—2,2］上是单调函数,

故有二三一2,或二22,

22

3={〃|Q<-3或a25},ACRB={a\2<a<5］.

21.【解析】（1）函数/（力=三|是定义在（-M）上的奇函数，.•・/（（））=0,

又~Z?—0,6Z—1,•-f(%)=-2~

(2)/(%)在(-1』)上为增函数，理由如下.

设一1<石<X2<1,则1一%・%2>0，xi-x2>0,l+x；>0,1+xf>0,

.,〃%)—"2)—K―旨―储

，/(%)<7(-^2)，/(x)在在(-1,1)上为增函数,

⑶/(2x-l)+/(x)<0,.-./(2x-l)<-/(x)=/(-x),