2023年中考数学二轮训练-几何探究压轴题

2023年中考数学二轮专题训练:几何探究压轴题

1.已知AD是43c的中线，点E是线段AO上一点，过点E作AC的平行线，过点8作

AO的平行线，两平行线交于点尸，连结AF.

BD(£)Cff~~DCBDC

fflCO图②ffl(3)

【方法感知】如图①,当点£与点o重合时，易证：△AECSFBE.(不需证明)

【探究应用】如图②，当点E与点。不重合时，求证：四边形ACM是平行四边形.

【拓展延伸】如图③，记AB与EF的交点为G,CE的延长线与AB的交点为N,且N

为4B的中点.

(2)若。，AB,BC=5时，则M的长为

2.已知：如图，正方形与正方形的'G.

C,-----------------、DJ----------\DJ----------\D

⑵如图②，求)的值；

⑶如图③，分别取b、8E的中点M、N，试探究：MN与8E的关系，并说明理由.

3.在ABC中，AB=AC,点。是射线C8上的一动点（不与点8、C重合），以AO为

一边在AD的右侧作VADE，使4）=隹，ZDAE=ZBAC,连接CE.

⑴如图1,当点。在线段CB上,且N84C=90。时，那么ZDCE=_______度;

（2）设N8AC=a,^DCE=p.

①如图2,当点。在线段CB上,N8ACW90。时,请你探究a与夕之间的数量关系，并

证明你的结论；

②如图3,当点。在线段CB的延长线上，N8ACW90。时，请将图3补充完整；写出此

时。与夕之间的数量关系，并说明理由.

4.已知，43C为等边三角形，点。在边8c上.

图1图2图3

【基本图形】如图1,以AE＞为一边作等边三角形VAZJE，连结CE.可得C£+CD=AC

（不需证明）.

【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以OF为一边作等边三角JDEF.求证：

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CE+CD=CF.

【类比探究】如图3，点尸是AC边的延长线上一点，以。尸为一边作等边三角一DEF.试

探究线段CE,CD,CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理

由.

5.综合与实践

二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究.

问题模型：等腰三角形ABC,ZMC=120。，AB=AC^2,

⑴探究1:如图1,点。为等腰三角形A8C底边8c上一个动点，连接AD,则AO的最

小值为判断依据为；

⑵探究2:在探究1的结论下，继续探究，作“BAD的平分线AE交8c于点E,点尸，

G分别为AE,A。上一个动点，求。尸+所的最小值；

(3)探究3:在探究1的结论下，继续探究，点M为线段上一个动点，连接AM，将AM

顺时针旋转60°,得到线段AN，连接ND,求线段ON的最小值.

6.问题提出

D、

A

B'

E

H

图1图2图3

(1)如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,4=50°,将其折叠，使点B落在AC边

上的8,处，折痕经过点C,交AB于点。，则的度数为；

问题探究

(2)如图2,正方形A3。的。对称轴1交CD于点”，点£在/上，连接

AE、BE、CE、DE.若正方形ABC。的边长为2,BE=BC,求线段E4的长.

问题解决

(3)如图3,有一块三角形空地ABC经测量，AC=8c=45米，ZACB=90。.现要过

点C边修建一条小路PC,满足45。</4(7/<90。，点4关于「。的对称点为。，连接

DA,DB,DB交PC于点E.若BE=35米,请利用所学知识，求DE的长.

7.已知A4CB是等腰直角三角形，CA=CB,

(1)如图1,COE是等腰直角三角形，点。在AB的延长线上,CD=CE,连接BD,

求证：BELAB；

⑵如图2,点尸是斜边上动点，点G是A8延长线上动点，总、有NFCB=NCGF,

探究AEGF,8G的数量关系，并说明理由；

⑶如图3点，是AC一点，连接FH若NHFC=45。，AF=m,BF=n直接写出CHF

的面积为(用机，〃表示).

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8.课本再现

如图1,在等边3ABe中，E为边AC上一点，D为BC上一点,且A£=CD,连接AD

与的相交于点F.

⑴与的的数量关系是_______与BE构成的锐角夹角NB/会的度数是

深入探究

⑵将图1中的4。延长至点G，使FG=B尸，连接8G,CG,如图2所示.求证：GA

平分/BGC.（第一问的结论，本问可直接使用）

迁移应用

⑶如图3,在等腰ABC^,AB=AC,D,E分别是边8C,AC上的点，AO与比相

交于点尸.若％AC=ZBFD,S.BF=3AF,求黑的值.

9.四边形A3。中，AD//BC,M为AB上一点，连DM、BD.

1.

图1图2图3

⑴DM平分NAD8,ZBDC=NBCD,

①如图1,求证：MDA.DC;

②如图2，若CN平分NACB，交BD于F,交AB于N,AC，BD,ZADO+ZBCO=_；

(2)在(1)的条件下求ZDEO+NCFO的值；

⑶如图3,当/。DE=2NA£>E,NOCF=2N8Cr时，试探究NAAQ+4NC与NDOC的

数量关系，证明你的结论.

10.综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①,在YABC。中，BEA.AD,

垂足为E,F为CD的中点，连接EF,BF，试猜想打与BF的数量关系，并加以证明.

(1)独立思考：请解答老师提出的问题；

⑵实践探究：希望小组受此问题的启发，将YABC。沿着防(F为CO的中点)所在直

线折叠，如图②,点C的对应点为C,连接DC并延长交A8于点G,请判断AG与BG

的数量关系，并加以证明.

(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将Y4BC。沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对

应点为A,使48_LCO于点H,折痕交AD于点M,连接AM，交CD于点N.该小组

提出一个问题：若此YA3CZ)的面积为20,边长AB=5,BC=2m,求图中阴影部分

(四边形BHNM)的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

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11问题提出:已知矩形A8C£>点E为AB上的一点,EFLAB交于点F将AEBF

绕点B顺时针旋转a(0°<a<90。)得到EBF',则A£'与。尸有怎样的数量关系.

【问题探究】

探究一：如图，已知正方形A8C。,点E为A8上的一点，EFYAB,交BD于点F.

(1)如图1,直接写出D笔F的值」

AE

(2)将AEBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF,猜想DF^AE

的数量关系，并证明你的结论；

探究二：如图，已知矩形ABCD,点E为AB上的一点，EFYAB,交BD于点F.

如图3，若四边形ABCD为矩形，黑="，将/XEBF绕点R顺时针旋转a(0。<a<90。)

BC2

得至UE'BF'(E、F的对应点分别为E'、F点)，连接AE'、DF：则差的值是否随

Dr

着a的变化而变化.若变化，请说明变化情况；若不变，请求出黑的值.

DF

【TS规律】

如图3,若四边形A8CO为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将△£»尸绕点8顺时

针旋转a(0°<a<90°)得至IjE'BF',连接AE,DF',请直接写出A£与Z)厂的数量

关系.

12.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

DA

G/

EEE

图2图3图4

(1)根据定义判矩形

已知：如图1,在平行四边形488中，AC8。是它的两条对角线,AC=BD.求证：

平行四边形A8Q9是矩形.

(2)动手操作有发现

如图2,在矩形A8CQ中，E是BC的中点，将一AfiE沿AE折叠后得到，点尸在

矩形A8C。内部，延长所交CD于点G.猜想线段GR与GC有何数量关系?并证明你

的结论.

⑶类比探究到一般

如图3,将⑵中的矩形A8CZ)改为平行四边形，其它条件不变，⑵中的结论是否仍然成

立，请说明理由.

(4)解决问题巧应用

如图4,保持⑵中的条件不变，若G点是的中点,S.AB=2，请直接写出矩形A8CD

的面积.

13.在ABC中，CA=CB,ZACB=a,点P是平面内不与点A,C重合的任意一点，

连接心，将线段AP绕点P逆时针旋转〃得到线段OP,连接AO,BD,CP.

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D

D

图①图②

⑴观察猜想

RD

如图①，当。=60。时，而的值是，直线8。与直线CP相交所成的较小角的度

数是

(2)类比探究

RD

如图②，当。=90。时，请写出方的值及直线8D与直线CP相交所成的较小角的度数,

并就图②的情形说明理由.

14.(I)(问题背景)如图1,在等边中，点M是BC边上一点，连接AM，以A例

为边作等边AMN(A,M,N按逆时针方向排列)，连接CN,求证：AC=CM+CN

(2)(变式探究)如图2,已知,指出图中的另外一对相似三角形并进

行证明；

(3)(拓展应用)如图3,在ABC和VA0E中，ZBAC=ZDAE=90°,

NABC=NAL>E=30°,点力在BC边上,求空的值.

15（1X操作发现】如图1,四边形ABC。、CEGF都是矩形，2=:,AB=9,">=12,

AG2

小明将矩形CEG/绕点C顺时针转。。（0414360）,如图2所示.

①若右4G的值不变，请求出AG会的值，若变化，请说明理由.

BEBE

②在旋转过程中，当点民E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度.

（2）【类比探究】如图3,ABC中，AB=AC=2右，ZBAC=a°,tanZABC=^,

G为BC中点，力为平面内一个动点，且DG=W,将线段8。绕点。逆时针旋转得

到,则四边形BAC3'面积的最大值为一.（直接写出结果）

16.如图1,在矩形ABC。中，BC=3,动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿

射线8c方向移动，作一.PAB关于直线期的对称,设点P的运动时间为,⑸.

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⑴若AB=2G.

①如图2,当点9落在AC上时，求证：PCB'sACB,

②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符

合题意的,的值？若不存在，请说明理由.

(2)当P点不与C点重合时，若直线与直线8相交于点M,且当，<3时存在某一时

刻有结论NPA"=45。成立，试探究：对于f>3的任意时刻，结论=45。”是否

总是成立？请说明理由.

17.在正方形ABCD中，E是边。上一点(点E不与点C、。重合)，连结8E.

感知：如图①，过点A作好;1班;交BC于点尸.求证ABF=BCE.

探究：如图②，取8E的中点M,过点用作交BC于点F,交AD于点G.

(1)求证：BE=FG.

(2)连结CM,若CM=1,求尸G的长.

应用如图③，取8E的中点M，连结CM.过点C作CGL3E交于点G，连结EG、

MG.若CM=3,求四边形GMCE的面积.

18点P在四边形ABC。的对角线AC上，直角三角板P所绕直角顶点P旋转，其边PE、

P尸分别交BC、CD边于点M、N.

操作发现：如图①，若四边形"8是正方形，当时，可知四边形/WCN是

正方形，显然PM=PN.当PM与8c不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系；

.（直接写出结论即可）

类比探究：如图②，若四边形A8CZ）是矩形，试说明翳=篇

拓展应用：如图③，改变四边形ABCD^ABC的形状，其他条件不变，且满足A8=8,

图①图②图③