高考数学 向量的加减法 考点梳理及习题训练

9.2.1向量的加减法

【考点梳理】

考点一向量加法的定义及其运算法则

1.向量加法的定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

2.向量求和的法则

已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作赢=a,曲=b,则向量/叫做“与6的

和，记作a+方，即“+》=赢+诙=元.

三角形法

这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.\

则

对于零向量与任意向量”，规定〃+0=0+a=〃1

向量求和

的法则

以同一点。为起点的两个已知向量a,为邻边作口O4CB,则以。为起点的对角线次就

是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的壬红四边设法则

平行四边

形法则B,。)

0%------<4

考点二向量加法的运算律

交换律a~\~b=b~\~a

结合律(a+5)+c=a+S+c)

技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

区别联系

三角形法则作出的图形

(1)首尾相接

三角形法则是平行四边形法则作出

(2)适用于任何向量求和

图形的一半

考点三：相反向量

1.定义：与向量。长度相等,方向相反的向量,叫做。的相反向量,记作一

2.性质

(1)零向量的相反向量仍是零向量.

(2)对于相反向量有：a+(—〃)=(—

(3)若〃，)互为相反向量，则a=一方，b=~a,a+b=O.

考点四：向量的减法

1.定义：向量。加上力的相反向量，叫做〃与力的差，即a—8=〃+(一5)，因此减去一个向量，相当于加上这个向

量的相反向量,求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

2.几何意义：在平面内任取一点。，作后=a,OB=b,则向量a—》=函，如图所示.

3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为

终点的向量.

【题型归纳】

题型一：向量加法法则

1.(2022・高一)如图为正八边形ABCOMGH,其中。为正八边形的中心，则OC+“G+F”=()

AB

公L/\

A.OBB.ODC.OFD.OH

2.（2022春・福建福州•高一校联考期末）已知C为线段AB上一点，且AC=2CB,若。为直线AB外一点，则（

A.OC=-OA+-OBB.OC=-OA+-OB

3333

2122

C.OC=-OA+-OBD.OC=-OA+-OB

3333

3.（2022春•福建龙岩•高一上杭县）向量AB+CB+BO+BE+DC化简后等于（）

A.AEB.ACC.ADD.AB

题型二：向量加法法则的几何应用

4.（2022•高一课时练习）已知，ABC的三个顶点A,3,C及平面内一点尸满足AP+2BP+3cp=284,下列结论中正

确的是（）

A.尸在ABC的内部B.P在ABC的边AB上

C.尸在.ABC的边AC上D.P在...ABC的外部

5.（2022春・广东湛江•高一校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=（）

DE

o

BA

A.0B.BEC.ADD.CF

6.（2022春•江西九江•高一校联考期末）设M是平行四边形ABC。的对角线的交点,。为平面上任意一点，则

OA+OB+OC+OD=（）

A.40AfB.3OMC.2OMD.OM

题型三：向量减法法则

7.（2023秋・北京丰台•高一统考期末）A8-AO+CO化简后等于（）

A.BCB.CBC.BDD.DB

8.（2022春.江苏南通・高一统考期末）在,ABC中，己知。是A3边上一点，且3c£>=C4+2C3，则（）

A.AD=2BDB.AD=^DBC.AD=2DBD.AD=^AB

9.（2022•全国•高一假期作业）如图，。是YABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是（）

DC

A.OA+OB=ABB.OA+OB=BA

C.AO-OB=ABD.OA-OB=CD

题型四：向量加减法的运算律

10.（2023・北京房山•高一统考期末）在，ABC中，。为的中点，贝U（）

A.AD=AB+ACB.AD=^AB+^AC

C.BC=AB-ACD.BC=1AB-|AC

11.（2022・高一课时练习）已知ASC是正三角形，则下列等式中不成立的是（）

A.|AB+BC|=|BC+CA|B.\AC+CB\=\BA+BC\

c.|AB+AC|=|CA+CB|D.\AB+BC+AC\=\CB+BA+CA^

12.（2022春.安徽安庆•高一安庆一中校考期末）化简：OP-OA+PB+BC=（）

A.PCB.0c.ABD.AC

题型五：向量减法法则的几何应用

13.（2022秋・江西赣州.高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）如图，等腰梯形ABC。中，AB=BC=CD=3AD,

点E为线段CD中点，点尸为线段8C的中点，则尸石=（）

A.-AB+-ACB.--AB+-AC

3636

C.-AB+-ACD.--AB+-AC

6363

14.（2022春・河南安阳•高一统考期末）在-ABC中，点M是线段上靠近B的三等分点，N是线段AM的中点,

则BN=（）

A.--AB--ACB.--AB+-AC

3636

C.-AB+-ACD.-AB--AC

3636

15.（2022•全国•高一专题练习）己知。是平面上一点，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，且四边形ABC。为平

行四边形，贝I()

A.a+b+c+d=0B.a—b+c—d=G

C.a+b—c—d=0D.Q—b—c+d=0

题型六：向量加减法的综合问题

16.（2023•高一）如图，已知向量-、b、c、d、e.

⑴用a、d、e表示DB;(2)用£＞、c表小£)8;(3)用a、b、e表示EC;(4)用c、d表示EC.

17.(2022•高一)化简下列各式:

WAO+OB+CA-CB-,

(2)MN-MD+NQ-DQ.

18.(2022・高一)如图，E,F,G,H分别是梯形ABC。的边AS,BC,CD,D4的中点，化简下列各式:

WDG+EA+CB;

&EG+CG+DA+EB.

【双基达标】

一、单选题

19.(2022春•吉林白城•高一)化简C8+AO+BA等于()

A.DBB.CAC.CDD.DC

20.（2022春•江苏盐城•高校考期中）下列说法错误的是（）

A.若ABCD为平行四边形，则=

B.若a//b,6//c,则°//c

C.互为相反向量的两个向量模相等

ULUUULILLUUUULUU1

D.NQ+QP+MN-MP^O

21.（2022•图一）在平行四边形ABC。中，M为A3上任一点，则40_。知+08=（）

A.BCB.DCC.ACD.BD

22.（2022・高一）如图，在矩形ABCD中，E为CD中点,那么向量!42+4。=（）

2

DEC

A.AEB.ACc.DCD.AB

23.（2023・高一）如图，按下列要求作答.-k

Xd

Ace/

B

1、/

（D以A为始点，作出“+6；

（2）以8为始点，作出c+d+e;

（3）若°为单位向量，求1+0、1+d|和1+d+e].

24.(2022・高一)化简:

WBA+OD-OA-BC;

(2)(AC+BO+OA)-(DC-r>O-C>B).

【高分突破】

一、单选题

25.（2022春・北京朝阳•高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（）

D

C.AB-AD=DBD.AD+BC=O

26.（2022春・安徽芜湖•高一统考期末）如图，正六边形48COEF中，BA+CD+FE=（）

BA

A.0B.BEC.ADD.DF

27.（2022.高一课时练习）如图，YABCD中，AB=a，的＞=八点E是AC的三等分点=,则。石=（）

33333333

28.（2022春・陕西榆林•高一榆林市第一中学校考期中）已知正六边形ABCD£F,则AC+B£»-FD=（）

A.BCB.AEC.BED.AC

29.（2022春・河南开封•高一统考期末）在平面四边形ABC。中，E,尸分别为A。，BC的中点，则下列向量与AB+OC

不相等的是（）

A.2EFB.AC+DBC.EB+ECD.FA+FD

二、多选题

30.（2022•高一课时练习）已知点。，E,尸分别是ABC的边AB,BC,C4的中点，则下列等式中正确的是（）

H

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=O

C.DE+DA=DFD.AF+EF=CE

31.（2022・高一单元测试）化简以下各式，结果为0的是（）

A.AB+BC+CAB.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD-ADD.NQ+QP+MN-MP

32.（2022春•新疆巴音郭楞•高一校考阶段练习）下列能化简为尸。的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+^PA+BQ）C.（AB+PC）+网-QC）D.PA+AB-BQ

33.（2022春・甘肃张掖•高校考阶段练习）如图，D,E,尸分别是ABC的边AS,BC,CA的中

点，则A尸-。8等于（）

34.（2022.高一单元测试）已知M为ABC的重心，。为8c的中点，则下列等式成立的是（）

A.AD=|（AB+AC）B.MA+MB+MC=0

C.BM=-BA+-BDD.CM=-CA+-CD

3333

35.（2022春•山西长治•高一山西省长治市第二中学校校考阶段练习）下列四式中能化简为A£＞的是（）

A.（AB+CD）+BCB.（AB+MB）+（CD+BC）

C.{MB+AD^-BMD.（OC-OA）+CD

三、填空题

36.（2023•高一单元测试）已知AD是ABC的BC边上的中线，若A8="，AC=b，则

37.（2022・高一课时练习）在平行四边形ABC。中，BC+DC+BA=.

38.（2022.高一课时练习）已知AfiC为正三角形，则下列各式中成立的是.（填序号）

①冲_/=阈；®|AB-CA|=|BC-AB|；③同一CA|=|CA-叫；@|CA-BC|=|AB-AC|.

39.（2022・高一课前预习）向量总/可以写成：①局）+6N；②立O-6N；③。M-oM；®ON-OM-

其中正确的是（填序号）.

40.（2022•高一课时练习）如图所示，中心为。的正八边形A444中，6=A4（i=l,2,,7）,

bj=OAj（j=1,2,,8）,则出+/+伪+&+&=.（结果用q,〃表示）

四、解答题

41.（2022•高一）如图所示，。为aABC内一点，04=〃，OB=b，OC=c，求作向量♦+

42.（2022.高一）如图，请在图中直接标出:

WAB+BC.

(2)AB+BC+CD+DE-

43.(2022.全国•高一)如图所示，AABC的三边均不相等，E,F,。分别是AC,AB,BC的中点.

⑴写出与石尸共线的向量；

⑵写出与EF的模相等的向量;

⑶写出与石尸相等的向量；

(4)写出与DF相反的向量.

【答案详解】

1.A

【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由平面向量的运算法则，^^OC+HG+FH=OC+FG=OC+CB=OB.

故选：A.

2.B

【分析】根据向量加法减法的三角形法则计算即可.

ryr\ir\

【详解】如图，0c=OA+AC=OA+4A2=OA+*（O2-OA）=LOA+*OB

33、,33

故选：B.

3.A

【分析】根据向量的线性运算求解即可.

【详解】由AB+CB+BD+3E+£>C=Ab+CB+3E=A^，

故选：A

4.C

【分析】将AP+2B尸+3CP=28A化简，可得尸C=AP，即可选出答案.

【详解】因为AP+28尸+3CP=28A

所以3PC=A尸+2（2尸一&4）=AP+2Ap=3AP

即PC=AP，

所以点P为AC中点.

故选：C.

5.D

【分析】根据正六边形的特征，得到CD=AF,EF=C8,带入到要求的式子中，利用向量线

性运算加法法则即可直接求解.

【详解】A8CDEF为正六边形，所以CD=A尸，EF=CB,

所以R4+CD+E尸=BA+4尸+C3=2户+围=C尸.

故选：D.

【分析】分别在.OAC和.08。中，根据M是平行四边形ABC。的对角线的交点，利用中

点坐标公式求解.

【详解】解：在.0AC中，因为M是平行四边形ABC。的对角线的交点，

所以0M=g(OA+OC),即0A+0C=20M.

在.08。中，因为M是平行四边形45C。的对角线的交点，

所以OM=；(QB+C©),gpOB+OD=2OM.

所以OA+OB+OC+OD=4OM.

故选：A.

7.B

【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.

【详解】因为A2-AD+Cr)=Z)B+a)=C£)+r)g=C2,

故选：B.

8.C

【分析】利用向量的减法运算即可得到答案.

【详解】解：3CD=CA+2CB，

则有CD_CA=2(C3-8),

可得AD=2£>8•

故选：C.

9.D

【分析】根据向量的加减法的三角形法则及平行四边形的性质即可求解.

【详解】由向量减法的运算可得旗-法=嬴

又因为四边形A8CD为平行四边形，所以54=CO.

故选：D.

10.B

【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.

【详解】解：因为ABC中，。为BC的中点，

所以BC=AC，AD=AB+^BC=AB+^AC-AB）=^AB+^AC,

故选：B

【分析】根据向量加法的三角形法则及二ABC是正三角形，逐一判断即可.

【详解】解：对于A,因为+忸。+。4卜|胡上|4。|,

所以卜2+24=，。+。4|,故正确；

对于B,因为kc+Cq=kqjBA+2C|=2|3£>|=B|AB|（。为AC中点），故错误;

对于C,因为卜2+&4=2,@=君|4例（E为BC中点），

|。4+。@=2|3|=6|48|（歹为48中点），

所以卜8+44=|。4+。目，故正确；

对于D,因为|A8+BC+A4=|0|=0,|CB+BA+CA|=|O|=O,

所以|48+30+4@=12+区4+01卜故正确.

故选：B.

12.D

【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.

【详解】OP-OA+PB+BC=AP+PB+BC=AB+BC=AC.

故选：D

13.B

【分析】根据向量的加减法以及三角形中位线BD=2FE即可得到答案.

【详解】连接3。，AB=3C=CD=3AT>,点E为线段8中点，

点尸为线段2C的中点，

1.1/\4-141

BD=BA+AD=BA+-BC=BA+-[BA+AC]=-BA+-AC=——AB+-AC,

33、'3333

又•.BD=2FE，

:.FE=--AB+-AC.

36

故选：B.

14.B

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】如图所示：

22^3J

1101

=-(AC-AB)__AB=--AB+-AC.

6、>236

故选：B

15.B

【分析】由平行四边形结合向量的减法得出正确选项

【详解】四边形ABC。为平行四边形，故AB=OC，^b-a=c-d

整理得。-6+c-d=0

故选：B

16.WDB=d+e+a

(2)DB=-b-c

(3)EC=e+a+b

WEC=-c-d

【分析】平面向量的线性运算法则依次求解即可.

【详解】(1)DB=DE+EA+AB=d+e+a.

(2)DB=DC+CB=-CD-BC=-b-c.

(3)EC^EA+AB+BC=e+a+b.

(4)EC=ED+DC=-DE-CD=—c-d.

17.(1)0

⑵。

【分析】(1)由向量的加法法则与减法法则求解即可；

(2)由向量的加法法则与减法法则求解即可；

(1)

AO+OB+CA-CB=^AO+OB^+[CA-CB^

=AB+BA=0;

(2)

MN-MD+NQ-DQ=(MN-MD卜(NQ+QD)

=DN+ND=0

18.⑴GE;

⑵0.

【分析】(1)(2)根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.

⑴

DG+EA+CB=GC+BE+CB=GB+BE=GE;

(2)

EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+DE=O-

19.C

【分析】根据向量的加法运算求解即可.

【详解】

CB+AD+BA=^CB+BA^+AD=CA+AD=CD.

故选:C.

20.B

【分析】利用向量相等的定义判断A；举例说明判断B；利用互为相反向量的定义判断C,

利用向量加法、减法法则计算判断D作答.

【详解】对于A,YABC。中，AB=DC,且向量A8与QC同向，则AB=QC，A正确；

对于B,当6=0时，a与c不共线，也满足a//0M/c,B不正确；

对于C,由互为相反向量的定义知，互为相反向量的两个向量模相等，C正确；

对于D,NQ+QP+MN-MP=NP+PN=O,D正确.

故选：B

21.B

【分析】根据向量运算化简AM-OM+OB，再根据相等向量确定正确答案

【详解】解：AM-DM+DB^AM+MD+DB^AD+DB=AB>

在平行四边形ABC。中，AB=DC>所以+=

故选:B.

22.A

【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解

【详解】因为在矩形ABCD中，E为8中点，

所以

22

所以L3+Ar)=£>E+AD=AE,

2

故选：A

23.⑴作图见解析

(2)作图见解析

(3),+W=A/5,卜+4=1,1+2+e卜J13

【分析】(1)根据向量加法的平行四边形法则即可作出a+6;(2)先将共线向量2+d计算

出结果再作出c+d+e;(3)根据H=1利用勾股定理即可计算出各向量的模长.

【详解】(1)将a,6的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出a+6,如下图所示：

d

/

ACe

B/

⑵先将共线向量c,4的起点同时平移到2点,计算出c+d,再将向量e与之首尾相接，利用

三角形法则即可作出c+d+e，如下图所示:

k+4=y]l2+22=-\/5；

由共线向量的加法运算可知|c+^|=|-c|=|c|=l;

利用图示的向量和勾股定理可知，卜+1+e卜亚7万=如.

24.(l)cr>

⑵。

【分析】(1)根据向量加法和减法的运算法则即可求解；

(2)根据向量加法和减法的运算法则即可求解；

【详解】(1)解：BA+OD-OA-BC=(BA-BC^+(OD-OA^=CA+AD=CD.,

(2)解：

(AC+BO+OA^-(DC-DO~OB^=(AC+BA^+OB-OC=AC+CB+BA=AB+BA=Q.

25.C

【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向

量的减法可判断C选项.

【详解】对于A选项，AB=DC，A错；

对于B选项，AB+DA^DB^B错；

对于C选项，AB-AD=DB，C对；

对于D选项，AD+BC=2AD>D错.

故选：C.

26.B

【分析】由正六边形的性质及向量加法的运算法则即可求解.

【详解】解：正六边形A8CDEF中，因为CD=AF,

所以BA+C£>+FE=BA+AF+FE=BE，

故选：B.

27.B

【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.

...2.2---21

【详解】DE=AE-AD=-AC-AD=-(AB+AD)-AD=-a--b

故选：B.

28.B

【分析】根据相等向量和向量的加减运算即可求解.

【详解】由正六边形的特征可知：AC=FD,AE=BD

所以AC+8。一尸£>=3。=AE

29.D

【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可

【详解】因为在平面四边形ABC。中，E,尸分别为A。，的中点,

所以人石二助二工人/^台尸二/^^二工台。，

22

因为EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF

所以2EF=E£>+OC+b+EA+AB+BF=AB+OC,

所以A正确，

因为DC=DA+AC,AB=AD+DB,

所以。C+ABuZM+AC+AQ+OBuAC+QB，所以B正确，

因为DC=D£+EC,AB=AE+E8,

所以。C+AB=Z)E+EC+AE+EB=EC+EB，所以C正确，

因为用+产。=尸8+BA+歹C+CD=84+CD=-(A8+DC),

所以D错误，

故选：D

D

30.ABC

【分析】根据向量加减法的三角形法则及中点，再利用三角形的中位线及平行四边形的性质

即可求解.

【详解】对于A,尸Z）+D4=E4，故A正确；

对于B,FD+DE+EF=FE+EF=0,故B正确；

对于C,因为。，E,尸分别是；ABC的边AB,BC,C4的中点，所以。E&LF,所以四边

形AEE4是平行四边形，所以£>f=AF，即r>E+D4=£>尸，故C正确；

对于D,因为歹为C4的中点，所以■=所以AF+砂MF1C+EFMECKCE，故D错

误.

故选:ABC.

31.ABD

【分析】根据向量的运算依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，AB+BC+CA=0>正确；

对于B选项，AB-AC+BD-CD=CB+BD+DC=CB+BC=O,正确；

对于C选项，OA-OD-AD=DA-AD=2DA，错误；

对于D选项，NQ+QP+MN-MP=NP+PN=Q,正确.

故选：ABD

32.ABC

【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，QC-QP+CQ=PC+CQ^PQ,A选项正确.

B选项，AB+（PA+BQ）=AB+BQ+PA=PA+AQ=PQ,B选项正确.

C选项，（AB+PC]+（BA-QC^=AB+BA+PC-QC=CQ-CP=PQ,C选项正确.

D选项，PA+AB-BQ=PB-BQ=-BP-BQ=-（BP+BQ）^PQ,D选项错误.

故选：ABC

33.BCD

【分析】由中位线的性质及相等向量的定义和向量减法的运算法则即可求解.

【详解】解：因为。，E,尸分别是工ABC的边AB,BC,C4的中点，

所以DF//BE,且DF=BE,DF//EC,且。产=EC,

所以。尸=8E，DF=EC，

所以AF—=Ab—A。=。/=BE=EC，

故选：BCD.

34.ABD

【分析】根据向量的加、减法几何意义求解即可.

【详解】如图所示：F,E分别为AB,AC的中点，

对选项A,AB+AC=2AD，所以AD=：(A2+AC),故A正确.

对选项B,因为跖4+=/，MC=-2MF,

所以MA+MB+MC=O，故B正确；

0010

对选项C,BM=BA+AM^BA+-AD=BA+-(BD-BA\^-BA+-BD,

33、'33

故C错误，

r\°ir\

对选项D,CM=CA+AM^CA+-AD=CA+-(CD-CA\^-CA+-CD,

33、'33

故D正确.

故选：ABD

35.AD

【分析】根据平面向量的运算法则，计算出各选项即可.

【详解】(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AD,贝l|A正确；

(AB+MB)+(CD+BC)=AB+BC+CD+MB=AD+MB,B错误；

(MB+AD)-BM=MB+AD+MB=AD+2MB,C错误；

(OC-OA)+CD=AC+CD=AD,则D正确；

故选：AD.

36.—^<2+Z>j

【分析】分别在△ABD中用向量的三角形加法法则得4。用AB,BD来表示，MC中根据

向量减法法则得BC