北师大版七年级数学下册同步精讲精练2.1两条直线的位置关系-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

2.1两条直线的位置关系知识点一知识点一余角、补角、对顶角的概念和性质（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．（4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）（5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）（6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）知识点二知识点二垂线的概念和性质（1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）（2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD（3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外：=1\*GB3①必须强调在同一平面内；=2\*GB3②点可在直线外，也可在直线上。（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。（4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度题型一对顶角与邻补角的性质【例题1】（2022春•广西月考）下面四个图形中与是对顶角的是A． B． C． D．解题技巧提炼解题关键是掌握对顶角、邻补角的定义【变式1-1】（2021秋•儋州校级期末）下列选项中，和是对顶角的是A． B． C． D．【变式1-2】（2022春•江汉区校级月考）下面四个图形中，和是对顶角的是A． B． C． D．【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角A．3对 B．6对 C．12对 D．16对【变式1-4】（2022•邹城市校级开学）如图，直线，交于点，则图中互为补角的角对数有A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【变式1-5】（2021秋•玄武区期末）若与互余，与互补，与是对顶角，则与的数量关系是A． B． C． D．题型二垂线的唯一性及画法【例题2】（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是A． B． C．与互为补角 D．的余角等于解题技巧提炼熟练掌握各种角的定义是解题的关键【变式2-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的垂线，可画出的垂线有A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【变式2-2】（2022春•南沙区期末）过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是A． B． C． D．【变式2-3】如图所示，过点画直线的垂线和斜线，下列说法中正确的是A．垂线和斜线都只能画一条 B．垂线只能画一条，斜线可画无数条 C．垂线能画两条，斜线可画无数条 D．垂线和斜线均可画无数条【变式2-4】（2021春•丰都县期末）在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是A． B． C． D．【变式2-5】（2022•藁城区二模）如图，经过点的直线，，，中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是A． B． C． D．题型三垂线段最短【例题3】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路、、可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短解题技巧提炼解题关键是熟悉垂线段最短的知识点【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，有三条公路，其中与垂直，嘉嘉和淇淇分别从，处同时出发，沿，匀速骑车到城．若两人同时到达，则下列判断正确的是A．嘉嘉的骑车速度更快 B．淇淇的骑车速度更快 C．两人的骑车速度一样快 D．无法判断两人骑车速度的快慢【变式3-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是A． B． C． D．【变式3-3】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是A．两点之间线段最短 B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．垂线段最短【变式3-4】（2022春•上林县期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄处，为节省材料，他们过点向河岸作垂线，垂足为点，于是确定沿铺设水管，这样做的数学道理是A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两条直线相交有且只有一个交点【变式3-5】（2022秋•唐河县期末）如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是．题型四点到直线的距离【例题4】（2022春•邛崃市期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离解题技巧提炼按照点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质解题．【变式4-1】（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线外一点与直线上各点的连线中，，，，，则点到直线的距离为A．3 B．4 C．4.3 D．5【变式4-2】（2022春•海沧区校级期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法正确的是A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3【变式4-3】（2022春•平桂区期末）如图，直线外一点，点、、、都在直线上，则点到直线的距离是A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度【变式4-4】（2022秋•香坊区校级期中）如图，，点到线段的距离指的是下列哪条线段的长度A． B． C． D．【变式4-5】（2022春•双峰县期末）如图，点在点北偏东的方向，点在点北偏西的方向，且，则点到直线的距离是A． B． C． D．题型五余角与补角的定义【例题5】（2022秋•思明区校级月考）已知，则它的补角为A． B． C． D．解题技巧提炼熟练掌握余角和补角的定义进行解题。【变式5-1】（2022春•碑林区期末）已知，则的补角等于A． B． C． D．【变式5-2】（2021秋•天元区校级期末）一个角的度数是，则它的余角的度数为．【变式5-3】（2022秋•大冶市期末）一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为．【变式5-4】（2021秋•零陵区期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为．【变式5-5】（2021秋•余干县校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大，则这个角是．题型六相交线中角度的计算【例题6】如图，直线，相交于点，已知，，则的度数为A． B． C． D．解题技巧提炼熟练掌握各角知识点的定义进行解题。【变式6-1】（2022秋•东方期末）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则度数是A． B． C． D．【变式6-2】（2022秋•万全区期末）如图，直线，相交于点，，垂直为点，，则A． B． C． D．【变式6-3】2022•邹城市校级开学）如图，在内部作，平分．若，则A． B． C． D．【变式6-4】（2021秋•岳阳楼区期末）如图，直线和直线相交于点，平分．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【变式6-5】（2022春•碑林区校级月考）如图，直线与相交于点，，，射线平分，求的度数．2.1两条直线的位置关系知识点一知识点一余角、补角、对顶角的概念和性质（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．（4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）（5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）（6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）知识点二知识点二垂线的概念和性质（1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）（2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD（3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外：=1\*GB3①必须强调在同一平面内；=2\*GB3②点可在直线外，也可在直线上。（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。（4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度题型一对顶角与邻补角的性质【例题1】（2022春•广西月考）下面四个图形中与是对顶角的是A． B． C． D．【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．由此即可判断．【解答】解：、与没有公共顶点，与不是对顶角，故不符合题意；、与是对顶角，故符合题意；、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意；、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意．故选．解题技巧提炼解题关键是掌握对顶角、邻补角的定义【变式1-1】（2021秋•儋州校级期末）下列选项中，和是对顶角的是A． B． C． D．【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有选项符合，故选：．【变式1-2】（2022春•江汉区校级月考）下面四个图形中，和是对顶角的是A． B． C． D．【分析】利用对顶角的定义对各选项进行分析即可．【解答】解：、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意；、与没有公共顶点，与不是对顶角，故不符合题意；、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意；、与是对顶角，故符合题意．故选：．【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角A．3对 B．6对 C．12对 D．16对【分析】利用对顶角定义可得答案．【解答】解：两条直线相交于一点，共有对顶角的对数为2对，三条直线两两相交，有三个交点，共有对顶角的对数为6对．故选：．【变式1-4】（2022•邹城市校级开学）如图，直线，交于点，则图中互为补角的角对数有A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据补角的定义进行判断即可．【解答】解：与，与，与，与互为补角，故选：．【变式1-5】（2021秋•玄武区期末）若与互余，与互补，与是对顶角，则与的数量关系是A． B． C． D．【分析】根据与互余，与互补，与是对顶角求出，解答即可．【解答】解：与互余，与互补，与是对顶角，，，，，，故选：．题型二垂线的唯一性及画法【例题2】（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是A． B． C．与互为补角 D．的余角等于【分析】由余角，补角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，即可判断．【解答】解：，，平分，，和是对顶角，，与是邻补角，与互为补角，的余角等于，的余角等于，故选：．解题技巧提炼熟练掌握各种角的定义是解题的关键【变式2-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的垂线，可画出的垂线有A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【分析】根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：．【变式2-2】（2022春•南沙区期末）过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是A． B． C． D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【解答】解：选项，没有过点，过该选项不符合题意；选项，过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；选项，为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；选项，没有垂直于，故该选项不符合题意；故选：．【变式2-3】如图所示，过点画直线的垂线和斜线，下列说法中正确的是A．垂线和斜线都只能画一条 B．垂线只能画一条，斜线可画无数条 C．垂线能画两条，斜线可画无数条 D．垂线和斜线均可画无数条【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可解答本题．【解答】解：过点画直线的垂线和斜线，垂线只能画一条，斜线可画无数条，故选：．【变式2-4】（2021春•丰都县期末）在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是A． B． C． D．【分析】满足两个条件：①经过点；②垂直，由此即可判断．【解答】解：根据垂线段的定义可知，选项中线段，是点作线段所在直线的垂线段，故选：．【变式2-5】（2022•藁城区二模）如图，经过点的直线，，，中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是A． B． C． D．【分析】利用三角板，一条直角边与对齐，另一条直角边经过的直线即为所求．【解答】解：把三角板的一条直角边与重合，慢慢移动，在此过程中，直线经过三角板的另一条直角边，所以说与直线垂直的直线是，故选：．题型三垂线段最短【例题3】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路、、可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【分析】根据垂线段最短即可求解．【解答】解：将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路可走、、，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．故选：．解题技巧提炼解题关键是熟悉垂线段最短的知识点【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，有三条公路，其中与垂直，嘉嘉和淇淇分别从，处同时出发，沿，匀速骑车到城．若两人同时到达，则下列判断正确的是A．嘉嘉的骑车速度更快 B．淇淇的骑车速度更快 C．两人的骑车速度一样快 D．无法判断两人骑车速度的快慢【分析】根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知，然后根据速度公式即可判断．【解答】解：与垂直，，若他们同时到达，根据速度公式可得，淇淇骑车的速度快，嘉嘉骑车的速度慢．故选：．【变式3-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是A． B． C． D．【分析】从点到公路，用相同速度行走，最快到达，则需要点到公路的距离最短，根据垂线段最短得出答案．【解答】解：从点到公路，用相同速度行走，最快到达，需要点到公路的距离最短，垂线段最短，是最快到达的路径．故选：．【变式3-3】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是A．两点之间线段最短 B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．垂线段最短【分析】根据垂线段最短即可得出答案．【解答】解：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，故选：．【变式3-4】（2022春•上林县期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄处，为节省材料，他们过点向河岸作垂线，垂足为点，于是确定沿铺设水管，这样做的数学道理是A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两条直线相交有且只有一个交点【分析】根据垂线段最短进行判断．【解答】解：因为于点，根据垂线段最短，所以为点到河岸的最短路径．故选：．【变式3-5】（2022秋•唐河县期末）如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是垂线段最短．【分析】由垂线的性质，即可判断．【解答】解：过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是：垂线段最短．故答案为：垂线段最短．题型四点到直线的距离【例题4】（2022春•邛崃市期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．【解答】解：、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；、根据垂线段最短可知此选项正确；、线段的长是点到直线的距离，故选项错误；、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．故选：．解题技巧提炼按照点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质解题．【变式4-1】（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线外一点与直线上各点的连线中，，，，，则点到直线的距离为A．3 B．4 C．4.3 D．5【分析】由点到直线的距离概念，即可选择．【解答】解：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，点到直线的距离为垂线段的长度，故选：．【变式4-2】（2022春•海沧区校级期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法正确的是A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可．【解答】解：在中，，根据点到直线的距离的概念可知，点到直线的距离等于4，点到直线的距离等于5，点到的距离等于3，点到的距离等于．故选：．【变式4-3】（2022春•平桂区期末）如图，直线外一点，点、、、都在直线上，则点到直线的距离是A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度【变式4-4】（2022秋•香坊区校级期中）如图，，点到线段的距离指的是下列哪条线段的长度A． B． C． D．【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【解答】解：，，点到线段的距离指的是线段的长度．故选：．【变式4-5】（2022春•双峰县期末）如图，点在点北偏东的方向，点在点北偏西的方向，且，则点到直线的距离是A． B． C． D．【分析】根据已知证明，再根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答．【解答】解：如图，由题意得，，，，，，，，，点到直线的距离．故选：．题型五余角与补角的定义【例题5】（2022秋•思明区校级月考）已知，则它的补角为A． B． C． D．【分析】由补角的概念，即可计算．【解答】解：．故选：．解题技巧提炼熟练掌握余角和补角的定义进行解题。【变式5-1】（2022春•碑林区期末）已知，则的补角等于A． B． C． D．【分析】利用互补两角和为求解即可．【解答】解：互补两角和为，的补角为．故选：．【变式5-2】（2021秋•天元区校级期末）一个角的度数是，则它的余角的度数为48．【分析】根据余角的定义进行计算即可．【解答】解：一个角的度数是，则它的余角的度数为，故答案为：48．【变式5-3】（2022秋•大冶市期末）一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为．【分析】根据余角和补角的概念以及题意可设这个角为，得到关于的方程，于是得到结论．【解答】解：设这个角的度数是，