湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题4.23 《相交线与平行线》动点问题（专项练习）

专题4.23《相交线与平行线》动点问题（专项练习）1.(2023七下·温州期中）已知，点是平面内的一个动点，连结、PD（1）如图一，当点运动到上方时，试说明：.（2）如图二，当点运动到与之间时，给出的数量关系并说明理由.（3）如图三，点和点是平面内的两个动点，连结、、，直接给出的数量关系________.2.(2023七下·温州月考）已知直线AB平行CD，直线EF分别截AB、CD于点E、F两点。（1）如图①，有一动点P在线段CD之间运动（不与C，D两点重合），试探究∠1、∠2、∠3的等量等关系？试说明理由。（2）如图②、③，当动点P在线段CD之外运动（不与C，D两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由。3.(2023八上·芮城期末）综合与探究：将三角形纸板如图放置，点P是边AB边上一点，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，探究:（1）如果α=30°，β=40°，则∠DPC=________.（2）当点P在E、F两点之间运动时，∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；拓展：（3）猜想：如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），上述（2）中的结论是否还成立？并说明理由．4.(2023七上·南岗期中）已知，，．（1）如图1，求证：（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．5.(2023七下·内江开学考）如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.（1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是________；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠________；（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律.（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN的度数.6.(2023八上·武汉月考）如图1，平分.（1）求证：；（2）如图2，平分交的延长线于点，若，求的大小；（3）如图3，若是上一动点，是延长线上一点，交于，交于平分,交于，交于，当在线段上运动时（不与重合），求.7.(2023七下·新乡月考）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.8.(2023七下·北京期末）如图，在三角形ABC中，点D是为BC上一点，连接AD．（1）三角形ABC中，∠BAC=90°，点E是AB上一点，过点E作EF//AD交BC于点F，作DG⊥AC于G．依题意补全图形，并判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明．（2）任意三角形ABC中，点E是AB延长线上一点，过点E作EF//AD交BC所在直线于点F，G是直线AC上一点，连接DG．若要使（1）结论仍成立，DG与AB位置关系应满足的条件?请画图并直接写出DG与AB位置关系．9.(2023七下·合肥期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF=85°，则∠A的度数为________°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF=∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．10.(2023七上·南岗期末）已知：直线分别与直线，相交于点，，并且（1）如图1，求证：；（2）如图2，点在直线，之间，连接，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，求的度数．(2023七下·高港期中）如图（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=135°，∠PCD=125°.求∠APC度数.小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数.请写出具体求解过程.

（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.12.(2023七下·太原期中）课题学习：平行线的“等角转化功能.（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴________，________.又∵，∴.解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.（2）问题迁移：如图2，，求的度数.（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.

13.(2023七下·茂名期中）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．14.(2023七下·德州月考）如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上.．（1）试找出∠1，∠2，∠3之间的关系并说出理由；（2）如果点P在A，B两点之间运动，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化；（3）如果点P在A，B两点外侧运动，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系（点P和A，B不重合）．15.(2023七下·锡山期末）如图1，已知直线MNGH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=1.小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：（1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上.①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数；②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数；将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K.在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK=n°，∠CDK=(4m﹣2n﹣10)°，则m的取值范围为________.16.(2023七下·阜阳期中）如图，已知直线l1，l2，点P在直线l3上且不与点A、B重合．记∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．（1）如图，若直线l1//l2，点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．（2）如图，若（1）中∠1、∠2、∠3之间的关系成立，你能不能反向推出直线l1//l2？若成立请说明理由．（3）如图，若直线l1//l2，若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB），请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．17.(2023七下·厦门期末）如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．18.(2023七下·桦南期中）根据下图回答问题：（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．19.(2023七下·青岛期中）已知直线l1∥l2，且l4和l1、l2分别交于A、B两点，点P为线段AB上的一个定点（如图1）（1）写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．（2）如果点P为线段AB上．的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（不必说理由）（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和点A、点B不重合）

①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）20.(2023七下·北京月考）问题情境：如图1，，，．求度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得．问题迁移：（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．21.(2023七下·莆田月考）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时(不与点C重合)，∠PQD，∠APQ与∠BAC有何数量关系？写出结论，并说明理由．22.(2023七下·孝南期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接（1）直接写出点、点的坐标（2）如图，延长交轴于点，点是线段上的一动点，连接、，猜想、、之间的数量关系，并说明理由（3）在轴上是否存在点，使的面积与四边形的面积相等，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由23.(2023七上·南召期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

（1）数学活动小组经过讨论形成下列推理，请你补全推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，∵PE∥AB(作图知)又∵AB∥CD，∴PE∥CD．________∴∠A+∠APE=180°．∠C+∠CPE=180°．________∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD与α、β之间有何数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与α、β之间的数量关系．

参考答案一、综合题1.【答案】（1）略

（2）

（3）【考点】平行线的判定与性质【解析】【解析】解：（1）如图：延长AB交PD于点E，

∵AB∥CD，∴∠D=∠AEP，∵∠A+∠P+∠AEP=180°，∴；

（2）∠P-∠D+∠A=180°,理由如下：

如图，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，AB∥PE，∴PE∥CD，∠A+∠APE=180°，∠D=∠DPE，∴∠APE=∠APD-∠DPE=∠APD-∠D，∴∠A+∠APD-∠D=180°，即∠P-∠D+∠A=180°；

（3）∠P-∠A=∠Q-∠D，理由如下：

如图：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，

∵PE∥AB，QF∥AB，AB∥CD，∴AB∥PE∥QF∥CD，∴∠A=∠APE，∠EPQ=∠PQF，∠FQD=∠D，∵∠EPQ=∠APQ-∠APE，∠PQF=∠PQD-∠FQD，∴∠APQ-∠APE=∠PQD-∠FQD，∴∠APQ-∠A=∠PQD-∠D，即∠P-∠A=∠Q-∠D.

故答案为：∠P-∠A=∠Q-∠D.

【分析】（1）如图一：延长AB交PD于点E，根据二直线平行，同位角相等得出∠D=∠AEP，进而根据三角形的内角和定理即可得出结论；

（2）∠P-∠D+∠A=180°,理由如下：如图二，过点P作PE∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥CD，根据二直线平行同旁内角互补得出∠A+∠APE=180°，根据二直线平行，内错角相等得出∠D=∠DPE，进而根据角的和差及等量代换即可得出结论；

（3）∠P-∠A=∠Q-∠D，理由如下：如图三：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥PE∥QF∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠APE，∠EPQ=∠PQF，∠FQD=∠D，进而根据角的和差及等量代换即可得出结论.2.【答案】（1）解：∠2=∠1+∠3理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥CD.∴∠3=∠CPQ.∵∠2=∠APQ+∠CPQ=∠1+∠3.

（2）解：解：②∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠3∠1.理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥CD.∴∠3=∠CPQ.∠2=∠CPQ∠APQ=∠3∠1.③∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠1∠3.理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥CD.∴∠3=∠CPQ.∠2=∠APQ∠CPQ=∠1∠3.综合②、③的结论，∠2=.【考点】角的运算，平行线的判定与性质【解析】【分析】（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠APQ+∠CPQ即得结论；

（2）不成立，新的结论为∠2=∠3

∠1.理由：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，

由∠2=∠CPQ

∠APQ即可求出结论；

（3）不成立，新的结论为∠2=∠1

∠3.理由如下：

同（1）可证∠1=∠APQ，∠3=∠CPQ，利用∠2=∠APQ

∠CPQ即可求出结论.3.【答案】（1）70°

（2）∠DPC=α+β，理由是：如图，过P点作GH∥DF，∵DF∥CE∴GH∥CE∴∠PCE=∠CPG=α，∠PDF=∠GPD=β∵∠DPC=∠CPG+∠GPD=α+β

（3）（2）中的结论不成立，理由是：如图，过P作PH∥DF（图1）∵DF∥CE∴PH∥CE∴∠PCE=∠1=α∵∠FDP=∠2=β∵∠DPC=∠FDP-∠PCE=∠2-∠1=β-α.如图2，过P作PH∥DF（图2）∵DF∥CE∴PH∥CE∴∠PCE=∠1=α∵∠FDP=∠2=β∵∠DPC=∠PCE-∠FDP=∠1-∠2=α-β.故（2）中的结论不成立.【考点】角的运算，平行线的性质，三角形-动点问题【解析】【解答】（1）过P点作GH∥DF，∵DF∥CE,∴GH∥CE∴∠PCE=∠CPG=α，∠PDF=∠GPD=β∵∠DPC=∠CPG+∠GPD=α+β∵α=30°，β=40°∴∠DPC=70°故答案为：70°【分析】（1）过P点作GH∥DF，可得GH∥CE，根据“两直线平行，内错角相等”解答即可；（2）过P点作GH∥DF，可得GH∥CE，根据“两直线平行，内错角相等”解答即可；（3）过P点作PH∥DF，可得PH∥CE，分P点在直线CE上方、DF下方两种情况，根据“两直线平行，内错角相等”解答即可；4.【答案】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，∴

（2）解：过作，∵，∴，∴，．又∵，∴，即．∵平分，∴．∵平分，∴．∵，∴，，设，，∵，∴，，∴，∴；

（3）解：延长至点，∵，∴，，，．又∵，∴，∴．又∵，，∴，由（2）问知，，，∴．又∵，∴，由（2）问知，，，∵，∴，∴，过作，∴，∴，，∴，由（2）问知，，∴，∴，∴．【考点】平行线的判定与性质，角平分线的定义【解析】【分析】（1）由AE∥BD，可得∠A+∠B=180°，由∠A=∠D得出∠B+∠D=180°，根据同旁内角互补两直线平行即证；

（2）过作，设，，根据角平分线的定义、平行线的性质及交的和差关系可证结论；

（3）延长

至点

，根据平行线的性质及等量代换，可得

，由补角的性质得出，结合（2）可求出∠AFH=20°，过

作

，

可证

，从而求出．5.【答案】（1）130°；CBN

（2）解：∵AM∥BN，∴∠ABN＋∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP＋∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP＋∠DBP=；

（3）解：不变，∠APB:∠ADB=2:1，∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB:∠ADB=2:1；

（4）解：∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC＋∠CBD=∠CBD＋∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∴∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，∴2∠DBN=∠ABN，∵∠A+∠ABN=180°，∴2∠DBN+∠A=（∠A+∠ABN）=90°.【考点】平行线的性质，角平分线的定义【解析】【解答】（1）解：①∵AM∥BN，∠A=50°，∴∠ABN=180°-∠A=130°，故答案为：130°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，故答案为：CBN【分析】（1）①利用平行线的性质求出∠ABN的度数；②利用两直线平行，内错角相等，可证得结论.（2）利用平行线的性质，可证得∠ABN＋∠A=180°，由此可推出∠ABP＋∠PBN=180°-x°，再利用角平分线的定义可证得∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，可推出2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，从而可表示出∠CBD.

（3）利用平行线的性质，可证得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，利用角平分线的定义，可得到∠PBN=2∠DBN；然后求出∠APB:∠ADB的比值.（4）利用平行线的性质，可证得∠ACB=∠CBN，利用已知条件，推出∠CBN=∠ABD；再证明∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，可求出2∠DBN=∠ABN，∠A+∠ABN=180°；然后代入计算可求出2∠DBN的度数.6.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DE平分∠ADB，∴∠EDB=∠EDA，∴∠ADC+∠BCD=∠EDB+∠EDA+∠BDC+∠BCD=2（∠EDB+∠BDC）=180°，∴∠EDB+∠BDC=90°，∴∠DEC+∠ECD=180°-∠EDC=90°

（2）解：设∠ABF=x，∵平分，∴∠DBF=∠ABF=x，∴∠DBC=∠ABC-∠DBF-∠ABF=100°-2x，∵∠BDC=∠BCD，∴∠，∴∠F=∠BDC-∠DBF=40°+x-x=40°

（3）解：设AD交KG于P，

∵平分，DE平分∠ADB，∴∠BKH=2∠NKH，∠ADB=2∠ADE，∴∠BAD+∠DMH=∠BKH+∠AOK+∠ADB+∠DOM=2∠NKH+2∠AOK+2∠ADE=2（∠NKH+∠AOK+∠ADE）=2（∠NPD+∠ADE）=2∠DNG，∴=2.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补得出∠ADC+∠BCD=180°，进而根据角平分线的定义及等量代换得出∠EDB+∠BDC=90°，最后根据三角形的内角和定理即可得出；

（2）根据题意设∠ABF=x，利用角平分线的定义得出∠DBF=∠ABF=x，根据角的和差得出∠DBC=100°-2x，接着利用三角形的内角和定理得出∠BDC=40°+x，最后根据三角形的外角性质，由∠F=∠BDC-∠DBF算出答案；

（3）根据题意设AD交KG于P，进而结合角平分线的性质得出∠BKH=2∠NKH，∠ADB=2∠ADE，然后得出∠BAD+∠DMH=∠BKH+∠AOK+∠ADB+∠DOM=2∠NKH+2∠AOK+2∠ADE=2（∠NKH+∠AOK+∠ADE）=2（∠NPD+∠ADE）=2∠DNG，从而即可得出答案.7.【答案】（1）解：AB∥CD；理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD

（2）解：∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：过E作EF∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90°，∵∠MCE＝∠ECD∴∠ECD＝∠MCD∴∠BAE＋∠MCD＝90°

（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP【考点】平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义【解析】【解答】解：（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.

故答案为：∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出结论；

（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝∠MCD，得出∠BAE＋∠MCD＝90°；

（3）由平行线的性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形内角和定理得出∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即可得出结果.8.【答案】（1）解：如图所示，∠BEF与∠ADG的数量关系是：∠BEF=∠ADG证明：∵EF//AD，∴∠BEF=∠BAD，∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BEF+∠DAC=90°∵DG⊥AC，∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BEF=∠ADG；

（2）当DG与AB平行时，（1）中的结论仍然成立【考点】垂线，平行线的性质【解析】【解答】解：（2）如图所示，∵EF//AD∴∠AEF=∠BAD，∵DG//AB，∴∠BAD=∠ADG，∴∠AEF=∠ADG，故当DG与AB平行时，（1）中的结论仍然成立．【分析】（1）根据题意画出图形即可，根据EF//AD可得∠BEF=∠BAD，由DG⊥AC得∠DAG+∠ADG=90°，再由∠BAD+∠DAG=90°可得结论；（2）由EF//AD可得∠AEF=∠BAD，由DG//AB可得∠BAD=∠ADG，进一步可得结论．9.【答案】（1）85

（2）证明：如图1，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．∴DE∥BA．

（3）∠EDF+∠A=180°【考点】平行线的判定与性质【解析】【解答】（1）∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，∵∠EDF=85°∴∠A=∠EDF=85°；故答案为：85；（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°，理由：如图2，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，∴∠EDF=∠EAF=∠A；如图3，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠F=180°，∠F=∠CAB，∴∠EDF+∠BAC=180°．即∠EDF+∠A=180°【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠A=∠EDF=85°；（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．10.【答案】（1）解：证明：如图，

∵，．∴，∴．

（2）解：证明：如图，过点作，

又∵，∴．∴，．∴

（3）解：解：如图，令，，∵则，，∵射线是的平分线，∴，∴，∵，∴，∴，过点作，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【考点】平行线的判定与性质【解析】【分析】（1）先求出，即可作答；

（2）先证明，再求出

，

，即可作答；

（3）根据平行线的性质和角平分线的性质进行求解即可。11.【答案】（1）解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=180°-∠PAB=180°-135=45°，∠CPE=180°-∠PCD=180°-125=55°，∴∠APC=45°+55°=100°，

（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.【考点】平行线的判定与性质【解析】【分析】问题情境：过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=45°+55°=100°；问题迁移：(1)过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；(2)画出图形(分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上)，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.12.【答案】（1）∠EAB；∠DAC

（2）解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，

（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．【考点】平行线的判定与性质，角平分线的定义【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.13.【答案】（1）解：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD

（2）解：∠BAE+∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°

（3）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC【考点】平行线的判定与性质，角平分线的定义【解析】【分析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．14.【答案】（1）∠1+∠2=∠3理由：过点P作l1的平行线PQ∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ∴∠1=∠4，∠2=∠5∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3

（2）∠1+∠2=∠3不变

（3）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3理由：①当点P在下侧时，如图，过点P作l1的平行线PQ∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4∴∠1-∠2=∠3②当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．【考点】平行线的性质【解析】【分析】（1）过点P作l1的平行线，根据平行线的性质进行解题；（2）（3）都是同样的道理．15.【答案】（1）解：①∵∠DFE=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∵∠EDF=30°，∴∠DEF=60°，∵∠DEF=∠EAF+∠AFE，∴∠AFE=∠DEF﹣∠EAF=60°﹣45°=15°；②如图，当∠AFD=90°时，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵∠BAC=45°∴∠ABC=45°，∵MN∥GH，∴∠BAN=∠ABC=45°，∵∠AFD=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，∵∠ADF=30°，∴∠FAD=60°，∴∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=60°﹣45°=15°；如图，当∠FAD=90°时，∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=90°﹣45°=45°，∴∠FAN度数为15°或45°；

（2）【考点】余角、补角及其性质，平行线的性质，旋转的性质，一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解:（2）如图，∵∠BAC=45°，∠ACB=90°，∴∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°，∵MN∥GH，∴∠MAK=∠AKD=n°，∵∠AKD+∠CDK=225°，∴(n+4m-2n-10)°=225°，整理得：n°=(4m-235)°，∵AC=1，且EF和GH之间的距离为1，∴BC=1，如图，点C在直线MN上时，点B、K、D重合，∠MAK=n°=180°-45°=135°，如图，点C在直线GH上时，点B、K、D重合，∠MAK=n°=90°-45°=45°，∵点C在MN和GH之间（不含MN、GH上），∴45°＜n°＜135°，即45°＜(4m-235)°＜135°，∴m的取值范围是：70°＜m＜92.5°.故答案为：70°＜m＜92.5°.【分析】（1）①根据直角三角形的性质求出∠DEF=60°，结合图形计算即可；②分∠AFD=90°、∠FAD=90°两种情况计算，得到答案；

（2）先根据四边形的内角和得∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°，利用平行线的性质得：n°=(4m-235)°，确认点C边界上两点时，确定n的取值，代入n°=(4m-235)°，可得结论.16.【答案】（1）解：过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠3＝∠QPE＋∠QPF，∴∠3＝∠1＋∠2．

（2）解：可以反推直线l1//l2.理由具体如下：过点P作PQ1平行l1，如下图（2）所示：因为PQ1平行l1，所以∠1＝∠Q1PE；又因为∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，所以可得∠2＝∠QPF，则根据平行线的判定法则：内错角相等，两直线平行可知PQ1平行l2；又由于PQ1平行l1，PQ1平行l2，所以l1//l2.故反推成立.

（3）解：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2，如下图所示：则：∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；∵∠3＝∠Q2PF−∠Q2PE，∴∠3＝∠2−∠1．当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2，如下图所示：根据题意我们设∠1＝∠PEA、∠2＝∠PFB、∠3＝∠EPF；则有图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；∵∠3＝∠Q3PE−∠Q3PF，∴∠3＝∠1−∠2．【考点】角的运算，平行线的判定与性质【解析】【分析】（1）过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可∠1、∠2、∠3的数量关系；（2）过点P作PQ1平行l1，由PQ1平行l1，得到∠1＝∠Q1PE；又由∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，得到∠2＝∠QPF，再根据平行线的判定法则进行求解即可得到答案.（3）本题分两种情况讨论：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2，结合题意可得∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；又由∠3＝∠Q2PF−∠Q2PE，可得∠3＝∠2−∠1．当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2，则有图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；根据∠3＝∠Q3PE−∠Q3PF，可得∠3＝∠1−∠2．17.【答案】（1）（0，6）；（8，0）

（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴，，∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；

（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【考点】平行线的判定与性质，三角形的面积，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性，利用合并同类项、移项解一元一次方程【解析】【解答】（1）∵，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；

（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；

（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.18.【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，∵∠MAC+∠ACM=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；

（2）∠BAM+∠MCD=90°，理由：如图，过M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，∵∠M=90°，∴∠BAM+∠MCD=90°；

（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．理由：过点G作GP∥AB，∵AB∥CD∴GP∥CD，∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．【考点】平行线的性质，角平分线的定义【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．19.【答案】（1）∠3=∠1+∠2理由：延长DP交直线l2与E，如图

∵直线l1∥l2∴∠1=∠DCE∵∠3=∠DEC+∠2∴∠3=∠1+∠2

（2）不发生变化，∠3=∠1+∠2理由：∵直线l1∥l2∴∠1=∠DCE∴∠3=∠DEC+∠2=∠1+∠2

（3）①当点P在射线AB上运动时，如图2∵直线l1∥l2∴∠1=∠PFB∵∠PFB=∠2+∠3∴∠1=∠2+∠3②如图3，当点P在射线BA上运动时，∵直线l1∥l2∴∠PGA=∠2∵∠PGA=∠1+∠3∴∠2=∠1+∠3

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【分析】（1）（2）延长DP交直线l2于点E，根据平行线的性质和三角形外角的性质求解；

（3）（4）分别根据平行线的性质和三角形外角的性质求解.

20.【答案】（1）解：∠CPD=，理由如下：如图3，过点P作PE∥AD交CD于点E，∵AD∥BC，PE∥AD，∴AD∥PE∥BC，∴=∠DPE，=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=

（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β【考点】平行线的判定与性质【解析】【解答】（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：如图4，过点P作PE∥AD交CD于点E，∵A