数学高二(上)沪教版(数列的极限(二))教师版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题数列极限教学目的理解数列极限的概念；掌握数列极限的运算法那么；掌握常用的数列极限。4、掌握公比<1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。教学内容【知识梳理】什么是数列的极限？数列极限的运算法那么有哪些？常见的求数列的极限有哪些形式？〔本分讲义是针对层次比拟好的学生，所以知识点多以提问的形式出现，让学生自己发挥，老师再给予纠正〕【典型例题分析】例1、以下命题中，正确的选项是〔〕〔A〕假设那么〔B〕假设，那么〔C〕假设,那么〔D〕假设那么【解析】在命题A中，当时，那么无意义，命题不成立；在命题B中，假设，那么，虽然但所以命题B不正确；在命题C中，假设，那么，而时，的极限不存在，所以命题C不成立；在命题D中，假设，根据数列极限的运算性质。成立，所以命题D是正确的。【答案】D例2、，求。【解析】由条件不能确定的表达式，因此我们设法将拼凑出。再利用极限性质求解。可化为【答案】1例3、求以下数列的极限〔1〕假设，那么______，_______〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕【解析】〔1〕数列的极限不受前有限项的影响，其前n项和的极限应先求和再求极限；〔2〕关于正整数n的分式的极限，常将分子、分母同除以n的最高次项〔不含系数〕使得各项的极限都存在，然后利用极限的运算法那么求解；〔3〕关于分子分母含有n的指数式的极限，常将分子分母同除以底数的绝对值较大的这一项，然后利用根本极限求解；〔5〕通过换元法将式子整理成相关的形式，利用这一重要极限求解；〔6〕关于积的极限，通常通过等式变形消去中间项，转化为根本极限求解；〔7〕虽然使得，但当时，分子的前n项和变成了无限项的和，二极限的四那么运算法那么只适用于有限个数列的极限运算，所以这类和的极限应先求和后求极限。【答案】〔1〕37〔2〕〔3〕〔4〕1〔5〕〔6〕0〔7〕例4、在数列中，，且，求【解析】与数列前n项和公式相关的极限问题一样，综合能力要求通常较高，解题时应注意套用相关公式。【答案】例5、，求的范围。【解析】解此题的关键时讨论与2的大小。【答案】例6、假设，求。【错解】设,由，得解方程组得，【错解分析】存在，不能推出的极限存在，所以不能运用极限的四那么运算，可以通过整体运算解决问题。【正解】设令解方程组，得例7、求和：【解析】化循环小数为分数，时无穷等比数列各项和公式的一个重要应用。解题时应注意确定首项和公比。【解】变式练习：化循环小数为分数〔1〕〔2〕〔3〕【解析】纯循环小数可以看作时一个无穷等比数列所有项之和，而混循环小数可以视为一个常数与无穷等比数列各项的和相加。【答案】〔1〕〔2〕〔3〕5例8、等比数列使，求实数的取值范围。【解析】由的范围确定的范围。【解】当且仅当时极限存在，并且又在等比数列中，于是，那么：那么：所以的取值范围是【点拨】关注其中公比的范围：，这是一个逆向思维的问题。例9、棱长为的正方形内有一个内切球〔即球与正方形的每一个面有且只有一个公共点〕，球内又有一个内切正方体〔即正方体的每一个顶点都在球的外表上〕，该正方体内又有一个内切球，球内又有一个小内切正方形……如此进行以至无穷，求所有这些正方体的体积之和。【解析】通过球确定两个相邻正方体的棱长之间的关系。【解】设第个正方形的棱长为，体积为，那么又第个球的直径就是第个正方形的棱长，又同时是第个正方体的对角线长。于是：所以故【课堂小练】①数列没有极限②数列的极限为零③数列的极限是④数列没有极限A①②B②③④C①②③D①②③④A设有数列，假设存在常数，使恒成立，那么数列必有极限；B假设数列单调递增，那么此数列必有极限；C假设〔A为确定的常数〕，那么存在常数，使恒成立；D数列的一个极限时零A假设，那么B假设，那么C假设，那么D假设，且，那么4.以下数列极限的式子中，不正确的选项是____________ABCD存在，且，那么=____________和数列都是公差不为零的等差数列，且，那么的值为_____________7.求以下各数列的极限。〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕的值，其中为常数。9.：，求_______________中，假设它的各项和存在，求的范围。答案1.D2.C3.B4.D5.76.7.(1)1(2)3(3)(4)(5)8.原式=9.10.走近高考：1、〔2008年个上海〕假设数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，那么的值是(B)(A)1.(B)2.(C).(D).2、〔2010上海模拟〕的值为〔B〕〔A〕0〔B〕〔C〕〔D〕13、〔2010上海高考〕将直线l1：nxyn0、l2：xnyn0(nN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，

那么______1_________．4、数列的首项，其前项的和为，且，那么〔A〕0〔B〕〔C〕1〔D〕2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－那么答案：B5、是方程的两根，假设，求的值。【解析】通过方程的根与系数的关系可以得到数列的递推式；由等比数列的定义判断，可以将问题转化为无穷递缩数列各项和问题。【答案】所以数列是以为首项，为公比的无穷递缩等比数列数列是以为首项，为公比的无穷递缩等比数列又6、无穷等比数列满足，求首项的变化范围。【错解】设等比数列的公比为，由条件有，解方程得，又因为为无穷等比数列，那么所以【错解分析】错解中无视了，应注意无穷等比数列中存在的充要条件是公比满足；而存在的的充要条件是公比满足或。【正解】设等比数列的公比为，由得，，解得又因为为无穷等比数列，且存在，那么即，解不等式得所以的取值范围是【课堂总结】回忆本节课所讲的有关内容，数列极限常考的几种类型？每种类型的解决方法？【课后练习】一、根底稳固是等比数列，假设是其前n项和，那么“存在”是“存在”的〔〕〔A〕充分非必要条件〔B〕必要非充分条件〔C〕充要条件〔D〕非充分非必要条件的各项和等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕列中，，假设，那么的值为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕列公比为，满足，前n项和为，且它的第四项和第八项之和等于，第五项与第七项之积等于，那么等于〔〕〔A〕〔B〕32〔C〕16〔D〕8化为约分数后，分子和分母之和为〔〕〔A〕119〔B〕129〔C〕141〔D〕139中假设，那么此无穷等比数列的各项和为______________。满足，那么数列的所有项和是_________二、能力提升8.无穷等比数列的前n项和为，，假设，那么的取值范围是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕，那么______________10．假设一个热气球在第一分钟时间里上升25m，在以后的第一分钟里，它上升的高度是它前一分钟里上升高度的80%，那么这个热气球最高能上升_______m。〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕12.求和：〔1〕〔2〕，求的取值范围。14.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A°，斜边BC长为，途中排列着的内接正方形的面积分别为求：〔1〕无穷个正方形的周长之和；〔2〕无穷个正方形的面积之积。三、创新探究轴正向移动距离到达点，再沿轴正向移动距离到达点，再沿轴正向移动距离到达点，