多选题中的立体几何综合问题（解析版）

多选题中的立体几何综合问题一、原题呈现【原题】正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】解法一：对于A，当时，，所以，因为，所以点P是线段上的动点，所以周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，所以，因为，所以点为线段上的动点，而，平面，点到平面的距离为定值，所以，三棱锥的体积为定值，故B正确．当时，，取中点M，中等N，则，即，所以点点是线段MN上的动点，易得当点P与点M或点N重合时都有，故C错误；对于D，当时，，取，中点为E，F．则，即，所以点是线段EF上的动点．若平面，则，取中点D，可得，，所以平面，所以BD，所以点P与点F重合，D正确，故选BD。解法二：易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选BD．【就题论题】多选题中的立体几何试题，常把多个知识点交汇考查，如把几何体长度、角度、面积、体积的计算与线面位置关系结合在一起考查，也可与函数、不等式及空间向量结合在一起考查，此类问题对空间想象能力要求较高，难度也比较大。二、考题揭秘【命题意图】本题考查空间向量的应用、几何体中面积与体积的计算及线面位置关系的判断及应用,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难【考情分析】立体几何中对线面位置关系的综合考查常作为较难试题出现，求角度问题、截面位置不固定几何体的体积、最值问题，均是热点问题.【得分秘籍】(1)计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．求一些不规则几何体的体积时,常用分割法转化成已知体积公式的几何体进行解决．此外求三棱锥的体积或高时常利用等积法进行转化.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题.(2)解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径(3)球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱的高为底面边长为,和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高的中点,借助直角三角形的勾股定理,可求.(4)正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取的中点为,为在底面的射影,连接为正四面体的高.在截面三角形,作一个与边和相切,圆心在高上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为.此时,,则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.(5)求两条异面直线所成角的步骤是：先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线,即平移线段法,此法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题；证明,即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算,一般在一个三角形中求解,注意异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(6)应用平行中的判定定理时,注意由“低维”到“高维”：“线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”；应用平行中的性质定理时,注意由“高维”到“低维”：“面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”.要使用线面平行的性质定理,就需要创造定理使用的条件,作辅助线和辅助平面往往是沟通已知和求证的桥梁,辅助平面有时需要根据确定平面的条件来确定,有时需要在确定的几何体内去找,当条件比较宽松时,可任意确定一个平面,但必须和已知平面相交且过已知直线.应用面面平行的性质定理时,关键是找(或作)辅助线或平面,对此需要强调的是：辅助线、辅助平面要作得有理有据,不能随意添加；辅助面、辅助线具有的性质,一定要以某一性质定理为依据,不能主观臆断.(7)在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可．(8)与面面垂直有关的计算问题的类型：=1\*GB3①求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．=2\*GB3②求线段的长度或点到直线、平面的距离等．=3\*GB3③求几何体的体积或平面图形的面积．补充知识：正方体中的截面问题用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.下面给出作正方体截面的常见方法.一、平面作图法：1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面．2．作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件．(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线．(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(线面平行的性质定理,见第2.2节)．(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行（面面平行性质定理,见第2.2节）．3.作图的的主要思想方法有：(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线.(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.如已知：P、Q、R三点分别在正方体的棱,CC1和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面．方法一：(1)先过R、P两点作辅助平面.过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1,则面CRR1C1为所作的辅助平面.(2)在面CRR1C1内延长R1C1,交RP的延长线于M.(3)在面A1B1C1D1内,连接MQ,交C1D1于点S,延长MQ交B1A1的延长线于点T.(4)连接TR,交AA1于点N,延长TR交B1B于点K,再连接KP交BC于点L.(5)连接RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求.方法二：先过Q作QE∥AA1,联结RE、QR联结AC交RE于O点过O作FO∥QE,交QR于F点联结PF并延长,交AA1于G联结GQ并延长,交DD1于J联结JP,交C1D1于H,延长线交DC延长线于K联结KR,交BC于I联结RGQHPC,则多边形RGQHPC为所求方法三：过Q作辅助平面QGHL平行于ADD1A1联结RC1,交GH于K,联结RP.过K作KI∥CC1交RP于I,这点便是RP与辅助平面的交点.联结QI并延长交平面CDD1C1于M,过F、E分别作QI的平行线,交BC、AA1于E、F联结PM交C1D1于J联结JREQFP,则多边形JREQFP为所求上面我们给出了作正方体截面的方法,那么,用一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边.所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形.【易错警示】与动点有关的三棱锥的体积计算不会利用等积法求解作几何体的截面注意要作出与各面的交线，再顺次连接成一个封闭的平面图形三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）多选题1．（2021福建省厦门高三模拟）如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是（）A．对于任意的点，都有B．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形C．存在点，使得为等腰直角三角形D．存在点，使得直线平面【答案】ABD【解析】∵，面，面，所以面，又，同理可证面，因为∴平面平面，∵平面平面，平面平面，∴，故正确．∵四边形是直角梯形，，∴平面与平面不平行，∵平面平面，平面平面，∴与不平行，故四边形不可能为平行四边形，故正确．，要使为等腰直角三角形，则，但根据题意，故C不正确．延长至，使得，则四边形是矩形，∴．当，，三点共线时，平面，∴平面，故正确．故选ABD2．（2021福建省漳州市高三二模）已知正三棱柱中，，M为的中点，点P在线段上，则下列结论正确的是（）A．直线平面 B．A和P到平面的距离相等C．存在点P，使得平面 D．存在点P，使得【答案】AB【解析】A：连接交于D，连接则D为中点，由M为的中点，所以，而面，面，则面，正确；B：由A知，到面的距离相等，P在线段上，所以A和P到平面的距离相等，正确；C：由题设，易知面与面不垂直，面，所以不可能有平面，错误；D：由题设知：如下图，过作，则为在面上的射影，而由下图知不可能与垂直，所以不可能成立.故选AB.3．（2021广东省惠州市高三一模）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A．存在点使得异面直线与所成角为90°B．存在点使得异面直线与所成角为45°C．存在点使得二面角的平面角为45°D．当时，平面截正方体所得的截面面积为【答案】AD【解析】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为的中点时，，此时与所成的角为90°，所以A正确；当与或重合时，直线与所成的角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以､分别是､的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选AD.4．（2021广东省梅州市高三下学期二模）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（）A． B．平面C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变【答案】ACD【解析】在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，，，而则，对于A选项：，则，，A正确；对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，三棱锥体积为定值，即D正确.故选ACD5．（2021河北省高三下学期仿真模拟）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】连接，设，.因为平面平面，，所以平面.又因为平面，所以.在中，，在中，，在中，，设，在中，，在中，，所以，即.又因为，所以.故选BC6．（2021河北省石家庄市高三二模）平行六面体中，各棱长均为2，设，则（）A．当时，． B．的取值范围为．C．变大时，平行六面体的体积也越来越大． D．变化时，和总垂直．【答案】ABD【解析】对于A，当时，可得平行六面体正方体，所以，所以，所以A正确；对于B，如图，连接，则由题意可得三棱锥为正三棱锥，设点在平面的投影为，连接，则，因为，所以，所以的取值范围为．所以B正确；对于C，因为（为平行六面体的高），所以当时，，此时最大，且最大，即体积最大，所以C错误；对于D，连接交于点，连接，因为平行六面体中，各棱长均为2，且，所以为等边三角形，四边形为菱形，所以，为中点，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以D正确，故选ABD7．（湖北省襄阳市高三下学期最后一模）1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（）A．B．C．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上【答案】ABD【解析】由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，G、H为BC、ED的中点，连接FG、AH、GH，即，∴，，，故A、B正确；∴四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，C错误，D正确；故选ABD.8．（2021湖南省娄底市高三下学期仿真模拟）我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为.如下图所示，已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则下列结论正确的是（）A．圆柱体的体积为 B．C．环体的体积为 D．环体的体积为【答案】ABD【解析】由已知圆柱体的体积为，故选项A正确；由图可得，，其中，，故，故选项B正确；环体体积为，故选项D正确，选项C错误故选ABD9．（2021湖南省益阳市2021届高三下学期4月高考模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．DE与CC1为异面直线B．DE与平面BCC1B1所成角的正切值为C．过D､C､E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D．线段DE在底面ABCD的射影长为【答案】ABC【解析】由图可知：DE与CC1为异面直线，∴A正确；因为平面平面，所以与平面所成角即与平面所成角，连接A1D，显然，是与平面所成角.在直角三角形EA1D中：，∴B正确；过D､C､E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C正确；取AB中点F，连接EF､DF，∵EFB1B且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：EF=1，DE=，∴DF=，∴D错.故选ABC.10．（2021湖南省高三下学期3月联考）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，，过作平面的垂线，且，，与都在平面的同侧，则（）A．三棱锥的体积为B．C．D．球的表面积为【答案】ABD【解析】如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足，，，三棱锥的体积为，故A正确；，满足，可得，故B正确；平面，平面，则，假设，则，与与相交于矛盾，故C错误；三棱锥的外接球即长方体的外接球，设其半径为，则，即，可得球的表面积为，故D正确.故选ABD.11．（2021湖南省郴州市高三3月第三次教学质量监测）如图，正方形的边长为1，分别为的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）A．异面直线与所成的角为定值B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．三棱锥与体积之比值为定值D．四面体的外接球体积为【答案】ACD【解析】如图所示：对于，取中点，连接，，则，且，∴平面，∴，异面直线与所成的角为90°，又，∴异面直线与所成的角为定值，故A正确；对于B，若直线与直线垂直，∵直线与直线也垂直，则直线平面，∴直线直线，又，∴平面，∴，而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误；对于C.分别为正方形的边的中点，∴与面积比为2∶1，又B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2∶1，所以三棱锥与体积之比值为定值，故C正确；对于D，因为OA=OB=OC=OD，所以外接球球心是，所以外接球半径，∴四面体的外接球体积为，故D正确．故选ACD．12．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（）A．存在某一位置，使得直线和直线相交B．存在某一位置，使得平面C．点与点到平面的距离总相等D．三棱锥的体积不变【答案】BCD【解析】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误．对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确．对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，故C正确．对于D，连接，交于O，则O为中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．故选BCD13．（2021江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试）下列结论正确的是（）A．存在这样的四面体，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体，C．存在不共面的四点､､､，使D．存在不共面的四点､､､，使【答案】AC【解析】选项A.在长方体中，如图四面体的四个面都是直角三角形，故A正确.选项B，三个直角以为顶点，设则，由余弦定理可得，所以为锐角同理为锐角，所以为锐角三角形，故B错误；选项C.如图在长方体中，满足，故C正确.选项D.如图在长方体中，，为直角三角形.,则在过点且与垂直的平面内，,则在过点且与垂直的平面内，如图，当点与不重合时，所以此时为锐角.当点与重合时，为直角.即时，此时，，，四点共面，故D错误故选AC.14．（2021山东省百所名校高三下学期4月联考）如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，，，，分别在棱，，，上，且，是的中点，是的中点，则（）A．平面B．若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为C．若，过，，三点的平面截三棱柱所得截面的面积为D．过点且与直线和所成的角都为45°的直线有2条【答案】BCD【解析】选项A．因为，所以，连接，，可得，相交于点，则在平面内，故A错误．选项B，平面和所成的锐二面角为60°，点到平面和的距离均为，分别作点关于平面和的对称点，．易证当，分别取直线与平面和的交点时，的周长最短，且这个周长的最小值为，故B正确．选项C，由A选项可知，，在过，，三点的平面中，截面面积为，故C正确．选项D，易知，所以过点且与直线所成的角都为45°的直线构成以A为顶点，以为轴的圆锥，同理和所成的角都为45°的直线构成以A为顶点，以为轴的圆锥，所以两个圆锥的公共母线即求，故D正确．故选BCD15．（2021山东省百师联盟高三二轮联考）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，D为线段AC的中点，如图，将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥P﹣BCD（点P为点A翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．△PBD的外接圆半径为2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC．存在某一位置，使得PB⊥CDD．若PD⊥DC，则此时三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为【答案】AD【解析】∵∠B＝，AC＝2BC＝4，D为线段AC的中点，∴∠A＝30°，BD＝2，在ABD中，由正弦定理得：2R＝，解得R＝2，∴PBD的外接圆半径为2，A正确；由题意可知，∠ADB≠90°，∴∠PDB≠90°，即PD与BD不垂直，B错误；若PB⊥CD，取CD的中点M，连接BM，PM，因为BDC为等边三角形，则，则可得平面，从而，又为中点，且，所以PDC为等边三角形，所以可得，而，这与矛盾，C错误；若,在中，,有,所以,取的中点，可得,在中，,有,所以,而,所以平面，从而可知外接球的球心在上，则有，解得R＝2，所以V＝，D正确．故选AD．16．（2021山东省济南市实验中学高三二模）如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有（）A．线段长度的最小值为B．满足的情况只有种C．无论，如何运动，直线都不可能与垂直D．三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关【答案】ABD【解析】对于A选项，当，分别是线段，的中点时，是异面直线，的公垂线，此时线段长度最小，为2，故A选项正确；对于B选项，只能是面对角线，此时可以是四种，故B选项正确；对于C选项，当与点重合，点与点重合时，此时的直线（即）与平面垂直，故，故C选项错误；对于D选项，由于点到平面的距离是，底面的面积随着点的移动而变化，所以三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关，故D选项正确.故选ABD17．（2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟）在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（）A．平面B．与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为定值D．平面内存在与和底面交线平行【答案】BC【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，则、、、、、、、.对于A选项，，，则，故与不垂直，进而可知，与平面不垂直，A选项错误；对于B选项，，，，所以，异面直线与所成角的余弦值为，B选项正确；对于C选项，在正四棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，可得，平面，平面，则平面，所以，点到平面的距离为定值，而的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；对于D选项，因为平面，所以平面和底面的交线与平行.而与平面相交，D选项错误.故