第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 高频考点-精练（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；利用排除法可得选项B正确.故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，则与两边方向相同的等于（

）A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对【答案】A【详解】因，，又与两边方向相同，所以.故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）若空间中两条直线和没有公共点，则与的位置关系是（

）A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面【答案】D【详解】若空间中两条直线和没有公共点，则与平行或异面.故选：D.4．（2022·全国·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【详解】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条.故选:C.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】作的中点，连接，作的中点，连接、,即为异面直线AM与CN所成的角，由已知条件得，则,,由余弦定理得,在△中，有余弦定理可知,即,解得，故选：D.6．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取中点,连接,,设正方体的棱长为2，由于分别为的中点，则又在正方体中，由于,因此可得,故或其补角即为异面直线与所成角，因为,所以平面,平面,故,在直角三角形中，故选:C7．（2022·江西·高三开学考试（理））已知三棱锥中，平面，，且，D，E分别为SA，BC的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，分别取SC，AC的中点F，G，连接DF，EF，EG，DG，则，所以（或其补角）为异面直线DE与AC所成的角，设，则由和平面ABC，易得，，因为，，所以在中，，由余定理得，所以异面直线DE与AC所成角的余弦值为．故选：B．8．（2022·浙江·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，连接.因为为中点，且，所以四边形为矩形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角.设圆的半径为1，则.因为，所以.在直角中，，得.所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.二、多选题9．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BC【详解】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.故选：BC10．（2022·福建泉州·高二期末）如图，在正方体中，，分别是的中点，则（

）A．四点，，，共面B．C．平面D．若，则正方体外接球的表面积为【答案】BD【详解】对于选项，连接和，由此可知点，，在平面中，点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；对于选项，由正方体的性质结合条件可知，分别是的中点，所以,又因为,所以，即选项正确；对于选项，点,,都在平面,所以与平面相交，即选项不正确；对于选项，因为为△的中位线，且，所以正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为,则,即，则外接球的表面积为,即选项正确；故选：.三、填空题11．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）【答案】①③④【详解】①中，，，，，四点共面；②中，和是异面直线，故四点不共面；③中，，，，，四点共面；④中，，，，，四点共面；故答案为：①③④12．（2022·辽宁大连·高一期末）如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则______．【答案】##【详解】在正四棱柱中，连接,则由于四边形是平行四边形，故,故异面直线与所成角即为与所成角,即即为异面直线与所成角或其补角，设,则,所以,,所以,故异面直线与所成角的余弦值为，则，故答案为：四、解答题13．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）如图，已知正方体(1)哪些棱所在直线与直线是异面直线？(2)直线和和的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线垂直？【答案】(1)棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；(2)45°(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．14．（2022·全国·高一课前预习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.【答案】(1)60°(2)90°(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1