第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 高频考点-精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：基本立体图形角度1：结构特征角度2：直观图角度3：展开图题型二：空间几何体的表面积与体积角度1：表面积和侧面积角度2：体积角度3：蚂蚁爬行最短问题题型三：空间几何体的外接球角度1：补形法角度2：对棱相等型角度3：借助三角形外心确定球心题型四：空间几何体的内切球第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：空间几何体的结构特征1、多面体的结构特征1.1棱柱（1）棱柱的定义定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形（3）棱柱的分类及表示①按棱柱底面边数分类:②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱1.2棱锥（1）棱锥的定义定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥底面：多边形面侧面：有公共顶点的各三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（2）棱锥的图形（3）棱锥的分类及表示按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥1.3棱台（1）棱台的定义定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形（3）棱台的分类及表示由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台2、旋转体的结构特征2.1圆柱（1）圆柱的定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱2.2圆锥（1）圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥2.3圆台（1）圆台的定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆台2.4球球的表面积和体积（1）球的表面积：（2）球的体积:知识点二：直观图1、空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使”(或）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积几何体表面积体积柱体（棱柱，圆柱）椎体（棱锥，圆锥）台体（棱台，圆台）球知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体圆柱圆锥圆台图示侧面积公式常用结论1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：基本立体图形角度1：结构特征典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（

）A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．直四棱柱是直平行六面体D．棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】D【详解】A中，如图，若，且，则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题；B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题；D中，根据棱台的定义，D是真命题.故选：D例题2．（2022·全国·高一课时练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A例题3．（2022·全国·高一课时练习）下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体．圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体，圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体.

故选：A.题型归类练1．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（文））下列说法中正确的是（

）A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点【答案】D【详解】A中,要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面间部分才叫棱台,如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面间部分只能叫多面体,故A错误；B中,如图所示几何体，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故B错误；C中，棱台的底面不一定是两个相似的正方形，只需是相似多边形即可，故C错误；D中,由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点,故D正确.故选：D.2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______．【答案】①⑤【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；故答案为:①⑤角度2：直观图典型例题例题1．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））如图，是水平放置的的斜二测画法的直观图，其中，则是（）A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【详解】将其还原成原图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.例题2．（2022·湖北·高二阶段练习）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,，则原图形的面积是（

）A．4 B． C． D．【答案】B【详解】解：平行四边形中，，所以平行四边形的面积为，所以原平面图形的面积是.故选：B例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二开学考试）如图，是水平放置的的直观图，，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：是水平放置的的直观图，所以是直角三角形，且两条直角边长为和，它的斜边的长为：．故选：C．题型归类练1．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（

）A．面积为的矩形 B．面积为的矩形C．面积为的菱形 D．面积为的菱形【答案】C【详解】，所以，故在原图中，，，所以四边形为菱形(如图所示)，，则面积为.故选：C2．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是________．【答案】【详解】由直观图可知，在直观图中,正方形的对角线长为，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示所以原图图形为平行四边形，底面边长为，位于轴的对角线长为，所以原来图形的面积为.故答案为：.3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______．【答案】【详解】因为，，所以，即.故答案为：.角度3：展开图典型例题例题1．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（文））如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒【答案】C【详解】将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，故选：C.例题2．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是2和4，则该圆台的体积是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：设圆台上底面圆半径为，则，解得：，设圆台下底面圆的半径为，则，解得：，圆台的母线长为，画出圆台，如下：过点D作DE⊥AB于点E，则，由勾股定理得：，所以圆台的体积为.故选：B.例题3．（2022·全国·高三专题练习）若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题，，，，故故选：C例题4．（2022·贵州黔东南·高一期末）如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的“正六面体”，则=___________．【答案】【详解】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体中，取的中点，连接，，作平面，垂足在上．则，，，所以故答案为：题型归类练1．（2021·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【详解】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）．故选：B．2．（2022·辽宁·高一期末）某圆台的侧面展开图如图所示，其中，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设圆台上､下底面的圆心分别为，一条母线为，则，且的弧长为的弧长为，所以，所以，所以圆台的体积故选：B3．（2020·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二开学考试）圆台的上、下底半径分别是和，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，那么圆台的侧面积是_________.【答案】【详解】如图示：设圆台是由圆锥截得，设圆台的母线长为l，则，故，故圆台的侧面积为，故答案为：题型二：空间几何体的表面积与体积角度1：表面积和侧面积典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，所以拼成的几何体的表面积为.故选：C.例题2．（2022·河南·模拟预测（文））我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺【答案】B【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则，，解得，则圆柱底面积为，侧面积为,则圆柱的表面积(平方尺)，故选：B.例题3．（2022·全国·高一课时练习）某牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示（单位：m），则要搭建这样的一个蒙古包至少需要______的篷布．（取3.14，计算结果精确到）【答案】50.03【详解】设圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为．上部分圆锥的母线长为，其侧面积，下部分圆柱的侧面积．∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为．故答案为：50.03例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积．【答案】侧面积为，表面积为【详解】易知：，因为，，所以，即，因为，所以圆柱的侧面积，圆柱的表面积．例题5．（2022·辽宁·建平县实验中学高二阶段练习）如图，四棱台，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且，，．(1)求四棱台的侧面积；(2)求四棱台的体积．【答案】(1)48；(2)．（1）设棱台是由棱锥截出的，如图，棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等，设是底面上与的交点，则是的中点也是中点，所以，，则平面，正方形中心，因此是正棱锥，棱台是正棱台，在侧面内过作于点，则，棱台的侧面积为侧＝；（2）设是的中心，显然，是直角梯形，，，高，棱台的体积为．题型归类练1．（2022·河南·高三开学考试（文））如图，长方体中，，若直线与直线所成的角为，则该长方体的表面积为（

）A．48 B．32 C．24 D．12【答案】C【详解】解：连接，，，因为在长方体中，，所以，，又，所以即为直线与直线所成的角，所以，所以，设，，解得，所以该长方体是棱长为2的正方体，其表面积为．故选：．2．（2022·全国·高一单元测试）如图，、是圆锥SO的两条母线，是底面圆的圆心，底面圆半径为10，是的中点，，与底面所成角为，求此圆锥的侧面积．【答案】．【详解】如图，作于，连接．根据题意，得为与底面所成角，．在中，易知是正三角形，且有，，，．因此在等腰Rt中，，所以，．则．3．（2022·全国·高一课时练习）如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）【答案】需要的铁皮【详解】根据题意，圆锥的高，又因为圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°所以底面圆半径,母线长，所以．答：需要的铁皮．4．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知球的半径为，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径和高为何值时，圆柱的侧面积最大？【答案】当，时，圆柱的侧面积最大.【详解】由题可得，所以圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，即当，时，圆柱的侧面积最大，最大值为．5．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积．【答案】【详解】解：设，则，．由题意得即解得从而．角度2：体积典型例题例题1．（2022·浙江·高一期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以有，因为直角圆锥的侧面积为，所以有，即，因此，所以该直角圆锥的体积为，故选：B例题2．（2022·江苏南通·高一期末）如图，直三棱柱中，是的中点，则

（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是的中点，，，.故选：C.例题3．（2022·山东临沂·高一期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（

）A． B．16π C．18π D．【答案】D【详解】底面积为9π，即，所以底面圆的半径,所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的弧长，又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以扇形半径，如图所示：则圆锥的高，则圆锥的体积.故选：D例题4．（2022·辽宁·高二阶段练习）如图，设正方体的棱长为2，点为线段的中点，设点在线段上（包括端点），则三棱锥的体积的取值范围是___________.【答案】【详解】当点与点重合时，三棱锥的体积最小，此时点到平面的距离等于点到平面的距离，此距离为正方体体对角线长度的，即，此时三棱锥的体积为；当点与重合时，到平面的距离为正方体体对角线长度的，即，此时三棱锥的体积最大，为，故三棱锥的体积的取值范围是.故答案为：例题5．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，在长方体中，，，且为中点．求到平面的距离．【答案】．【详解】由题意，可得长方体中，，，所以．设到平面的距离为，则．在直角中，由勾股定理得，所以，所以，解得，即到平面的距离为．题型归类练1．（2022·湖北武汉·高三开学考试）某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以该扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为，则，解得：，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，该圆锥的体积为.故选：D2．（2022·上海市南洋模范中学高三开学考试）甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和体积分别为和.若，则___________.【答案】【详解】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲､乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，由，则，解得，由勾股定理得，所以，故答案为：.3．（2022·全国·高一课时练习）所有棱长均为2的正三棱锥的体积为______.【答案】##【详解】当三棱锥棱长均为2时，正三棱锥即为正四面体，如图，正四面体的底面积，正四面体的高，故正四面体的体积.故答案为：4．（2022·全国·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为______.【答案】##【详解】设圆锥的半径为，高为，因为其面积为，故，解得，高为，故该圆锥体积为.故答案为：5．（2022·全国·高一课时练习）某圆锥的侧面展开图的面积为，扇形的圆心角的正切值为，求圆锥的体积．【答案】【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为．由扇形的圆心角的正切值为，得扇形的圆心角为．因为扇形的面积为，所以，解得．又圆锥底面周长为，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积．角度3：蚂蚁爬行最短问题典型例题例题1．（2022·河北张家口·高一阶段练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图为半圆锥的侧面展开图，连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为，根据题意得，在中，，所以，所以扇形弧长为，所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A例题2．（2021·福建·厦门一中高一开学考试）如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

）A．cm B．cm C．9cm D．cm【答案】B【详解】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；故选：B.例题3．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））如图，已知圆锥的母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则该圆锥的底面半径为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则由,所以，则设底面半径为，扇形半径为，则.所以.故选：A.例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．【答案】【详解】解：沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，且.题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，，.故选：C.2．（2022·河南·郑州市第二高级中学高二开学考试）如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．【答案】##【详解】若将底面沿展开使其与侧面在同一个平面，连接，因为，所以与棱不相交，所以不合题意，若将底面沿展开和侧面展在同一个平面，连接，则与棱相交，符合题意，此时为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，过作的平行线，过作的平行线，交于点，交于，因为，点分别是棱的中点，所以，，，所以，所以,所以，故答案为：3．（2022·河南开封·高二期末（理））已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短路程为______．【答案】【详解】解：设母线长为，则，所以，如图，画出圆锥侧面展开图，连接，取的中点，连接，则展开图的圆心角为，则，则，所以蚂蚁爬行的最短路程为.故答案为：.4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？【答案】【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为：，回到A点后继续重复之前的路线.同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2023段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为.题型三：空间几何体的外接球角度1：补形法典型例题例题1．（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，则鳖臑外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，如图，将鳖臑补全成长方体，则鳖臑外接球的半径，故鳖臑外接球的表面积为.故选：A.例题2．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知在四棱锥中，平面，底面为矩形，，当最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【详解】设外接球的半径为，由题可知，所以.因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以.故答案为：题型归类练1．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，则四棱锥的外接球的表面积为_______________.【答案】.【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示：所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球.则外接球的半径为，表面积为.故答案为：2．（2022·江苏南通·高一期末）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为__________．【答案】【详解】解：将三棱锥还原到长方体中，如图所示则长方体的外接球的半径为故所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为：角度2：对棱相等型典型例题例题1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示，设长方体棱长分别为a，b，c，则，，，则，即，外接球表面积.故选：D例题2．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A题型归类练1．（2022·湖北·武汉市第四十九中学高二开学考试）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，则，，，解得，，．所以三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：C2．（2022·河南濮阳·高一期中）如图所示三棱锥，其中，，则该三棱锥外接球的表面积___________.【答案】【详解】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．故答案为:.角度3：借助三角形外心确定球心典型例题例题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知四棱柱是底面为等腰梯形的直四棱柱，，，则其外接球的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】分别取、的中点、，连接，取的中点，连接、，在等腰梯形，因为，，所以，且即，解得，则，因为，所以为直角三角形，为斜边，则等腰梯形的外接圆的圆心为的中点，所以该四棱柱的外接球的球心为，半径为，又因为，所以.故选：B.例题2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形中，，将沿进行翻折，使得．按张衡的结论，三棱锥外接球的表面积约为（

）A．72 B． C． D．【答案】B【详解】如图1，取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则，以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2，则，．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．由张衡的结论，，所以，则三棱锥的外接球表面积为，故选：B．例题3．（2022·贵州·道真仡佬族苗族自治县民族高级中学高二阶段练习）已知在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球体积为______.【答案】##【详解】设的外接圆的圆心为，半径为;三棱锥的外接球球心为,球半径为，连接,过作于,则四边形为矩形，在中，由，，由正弦定理得，设，则，即，解得，,所以外接球的体积为,故答案为:例题4．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高二开学考试）在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【详解】如图，取的中点的中点，连接,由，知是等边三角形，则.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.过作平面，则.因为，即BC为球的截面圆的直径，所以三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，连接，设外接球半径为，由已知.在直角梯形中，，所以三棱锥外接球的表面积，故答案为：题型归类练1．（2022·山西·太原市外国语学校高