第六单元：比例的综合应用“拓展版”专项练习-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（解析版）苏教版

第第页2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第六单元：比例的综合应用“拓展版”专项练习一、填空题。1．为了庆祝六一节每张卡片减价20%，用同样多的钱可以多买6张，原来可以买()张卡片。【答案】24【分析】先设原来卡片的单价是1，把原来卡片的单价看作单位“1”，现在每张卡片减价20%，则现在每张卡片的价格是原来的（1－20%），用原价乘（1－20%），求出现在每张卡片的价格；根据“用同样多的钱”可知，总钱数不变，即单价×数量＝总价（一定），乘积一定，则单价和数量成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。【详解】设原来卡片的单价是1，现在卡片的单价是：1×（1－20%）＝1×0.8＝0.8解：设原来可以买张卡片。1×＝0.8×（＋6）＝0.8＋4.8－0.8＝4.80.2＝4.8＝4.8÷0.2＝24原来可以买24张卡片。【点睛】先确定总钱数不变，再根据单价、数量、总价之间的关系，得出单价和数量成反比例关系，据此列出相应的比例方程。2．王叔叔用不锈钢管焊制一种长方形框架。一条钢管如果全部切割成这个长方形较长的边，可以切割10条；如果全部切割成这个长方形较短的边，可以切割15条。用一条这样的钢管，可以做()个这样的长方形框架。【答案】3【分析】由题意可知，钢管的总长度不变，则长×10＝宽×15，根据比例的基本性质求出长和宽的比为3∶2，设出长方形的长和宽，钢管的总长度＝长×10，长方形的周长＝长×2＋宽×2，可以做长方形框架的数量＝钢管的总长度÷长方形框架的周长，据此解答。【详解】分析可知，长×10＝宽×15，则长∶宽＝15∶10＝3∶2，假设长为3a，宽为2a。（10×3a）÷（2×3a＋2×2a）＝30a÷（6a＋4a）＝30a÷10a＝3（个）所以，可以做3个这样的长方形框架。【点睛】分析题意求出长和宽的比，并熟记长方形的周长计算公式是解答题目的关键。3．吴媛和施燕从学校同时出发到图书馆去，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有786米，速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全程的没走，学校到图书馆有()米。【答案】1310【分析】由题意可知：设学校到图书馆的距离是x米，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有786米，即吴媛走了x米时，施燕走了x－786米，速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全程的没走，即当吴媛走了x米时，施燕走了x米，利用比例的意义进行解答即可。【详解】解：设学校到图书馆的距离为x米。x∶（x－786）＝x∶（1－）xx∶（x－786）＝x∶xx∶（x－786）＝5∶42x＝5x－39303x＝3930x＝1310则学校到图书馆有1310米。【点睛】本题考查用比例解决问题，明确两次走的路程是解题的关键。4．某小学五、六年级参加数学竞赛的人数比是8∶7，六年级获奖人数是五年级获奖人数的，两个年级各有50名同学未获奖，五年级有()名同学参赛，六年级有()名同学获奖。【答案】646【分析】根据题意可知，五年级和六年级的获奖人数比是7∶3，据此列比例解比例，先求出两个年级一共有多少人参赛，再利用乘法求出五年级的参赛人数，最后利用减法求出六年级的获奖人数。【详解】解：设两个年级共有x名同学参赛。，解得，x＝120（名）120―64―50＝6（名）所以，五年级有64名同学参赛，六年级有6名同学获奖。【点睛】本题考查了比例的应用，能根据题意找出五年级和六年级的获奖人数比，并会解比例是解题的关键。5．把加工一批零件的任务，原计划按1∶3分配给甲、乙两人，如果他们同时开工就可以同时完成任务。实际由于某种原因，二人同时一开工，乙的工作效率就比原计划降低了50%，甲的工作效率不变。这样，当甲完成了自己的任务后，立即帮助乙一起加工，又经过2小时完成了全部任务，如果这批零件全部由甲单独加工，需要()小时完成。【答案】【解析】按1∶3分配给甲、乙两人，他们同时开工就可以同时完成任务，工作总量之比是1∶3，那么工作效率之比是1∶3；当乙的工作效率就比原计划降低了50%后，甲、乙的工作效率之比是2∶3，甲完成自己的任务的时间是不变的，当甲完成自己的任务时，乙完成了一半，还剩下一半，剩下的一半，甲、乙合作需要2小时，可以求出甲、乙的工作效率，然后求出工作总量及甲单独加工，需要的时间。【详解】甲的工作量记作1份，乙的工作量记作3份；正常情况下甲、乙的工作效率之比是1∶3；实际情况下甲、乙的工作效率之比是：1∶1.5＝2∶3当甲完成自己的任务时，乙完成了1.5份，还剩下1.5份；甲、乙合作需要2小时，可以完成1.5份；且甲、乙的工作效率之比是2∶3；那么甲2小时完成份，甲1小时完成；总的工作量是4份，（小时）所以甲单独加工，需要小时完成。【点睛】本题考查的是工程问题，当工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。6．甲、乙两人从武汉长江大桥的两端出发，相向而行，乙先走556.8米，然后甲从桥的另外一端开始出发。已知甲、乙两人的速度是3∶2，甲、乙相遇时所走的路程是2∶3，问武汉长江大桥全长()米。【答案】1670.4【解析】从甲出发到两人相遇这段时间里，甲、乙两人的路程比是3∶2；而甲、乙两人总的路程比是2∶3；设甲的路程是3x，那么乙的路程是2x加556.8，根据总的路程比列方程求解。【详解】解：设甲的路程是3x；（千米）所以武汉长江大桥全长1670.4米。【点睛】本题考查的是比例行程问题，当时间一定时，速度比与路程比相同。7．何师傅将一批博易新思维教材装箱，当他装满15箱时，发现已装的书比这批书的还少24本，接着他又装满13箱，正好装完。这批书共有()本。【答案】672【分析】装满15箱时，已装的书比这批书的还少24本，那么剩下的13箱就比这批书的多24本，设这批书的数量是x本，表示出15箱和13箱的数量，列比例方程求解。【详解】解：设这批书的数量是x本，可得：所以这批书共有672本。【点睛】列比例方程求解问题的时候，同样要合理设未知数，并找准等量关系。8．一辆汽车从甲地开往乙地，在以原速行驶120千米后出现了故障，经过一小时的修理，汽车再次出发，为了准时到达，司机将车速提高，结果晚了20分钟到达，如果从出发时就将车速提高，可以比原定时间提前一小时到达，（这里不考虑汽车出现故障的情况）。那么甲乙两地相距()千米。【答案】360【解析】如果从出发时就将车速提高，那么相比计划的情况，速度比是6∶5，时间比是5∶6，而比原定时间提前一小时到达，可以求出原计划需要6小时；而如果先以原速行驶120千米，再修车1小时，再把速度提高，这样总共用时是6小时20分，那么这种情况下，行驶除120千米外的后半部分用时比原计划少了40分钟，速度比仍为6∶5，时间比是5∶6，求出原计划后半段的时间是240分钟，也就是4小时，那么原计划行驶前面的120千米需要2小时，可以求出速度，速度乘时间得到全程。【详解】对比原计划和全程提速这两种情况，路程一定，速度比与时间比成反比例关系；速度比，；时间比，6∶5；提前一小时到达，那么1份是1小时，5份是5小时，6份是6小时，按原计划行驶，需要6小时；对比原计划和中途修车这两种情况，前面120前面，速度相同，时间也相同，后半段路程一定，速度比与时间比成反比例关系；速度比，5∶6；时间比，6∶5；中途修车这种情况，总时间是6小时又20分钟，除去修车的1小时，实际行驶5小时20分钟，比原计划少了40分钟；少的这40分钟，发生在后半段，时间比是6∶5；那么1份是40分钟，6份是240分钟，也就是4小时；6－4＝2（小时）原计划行驶前面120前面需要2小时；（千米）所以甲乙两地相距360千米。【点睛】本题考查的是比例行程问题，首先要判断是路程一定还是速度一定的情况。二、解答题。9．两同学需托运行李。托运收费标准为10公斤以下6元/公斤，超出10公斤部分每公斤收费标准略低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5元、78元，甲的行李比乙重了50%。那么，超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了多少元？【答案】1.5元【分析】根据单价×数量＝总价，用10×6即可求出10公斤的总价，经过比较可知，甲、乙两人的行李都超过10公斤，设乙的行李有x公斤，甲的行李比乙重了50%，则把乙的行李看作单位“1”，甲的行李是乙的（1＋50%），则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤，甲超过10公斤部分的总价是（109.5－60）元，乙超过10公斤部分的总价是（78－60）元；根据超过10公斤的总价÷超过10公斤部分的公斤数＝超过10公斤部分的单价（一定）；列比例为（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10），然后解出比例，进而求出超过10公斤部分的单价，然后用减法求出超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低多少元。【详解】10×6＝60（元）109.5＞6078＞60甲、乙两人的行李都超过10公斤；解：设乙的行李有x公斤，则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤。（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10）（109.5－60）∶[1.5x－10]＝（78－60）∶（x－10）49.5∶[1.5x－10]＝18∶（x－10）49.5×（x－10）＝18×[1.5x－10]49.5x－495＝27x－18049.5x－27x＝495－18022.5x＝315x＝315÷22.5x＝14（78－60）÷（14－10）＝18÷4＝4.5（元）6－4.5＝1.5（元）答：超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了1.5元。【点睛】本题比较复杂，需要一步步分析，然后根据正比例解决问题。10．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？【答案】7.5千米【分析】根据“甲的速度每小时比乙慢3千米”，可以设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。根据题意可知，相遇时甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇时两人行驶的时间一样，根据路程÷速度＝时间，可得等量关系：＝，据此列出方程，并求解。【详解】解：设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。（90＋15）＝（90－15）×（＋3）105＝75（＋3）105＝75＋225105－75＝75＋225－7530＝22530÷30＝225÷30＝7.5答：甲每小时行7.5千米。【点睛】本题考查列比例方程解决问题，关键是明确两人相遇时行驶的时间一样，然后根据速度、时间、路程之间的关系，得出等量关系，根据等量关系列出方程。11．从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等。求：所切下的合金的重量是多少千克？【答案】4.8千克【分析】设所切下的合金的重量是x千克，熔炼后两个合金含铜的百分数相等，根据（12千克合金切后纯铜的质量＋8千克合金切下纯铜的质量）÷12＝（8千克合金切后纯铜的质量＋12千克合金切下纯铜的质量）÷8，列出比例解答即可。【详解】解：设所切下的合金的重量是x千克，重12千克合金的含铜百分数为p，重8千克合金的含铜百分数为q（p≠q）。答：所切下的合金的重量是4.8千克。【点睛】用方程或比例解决问题的关键是找到等量关系，注意在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有带求未知数的一般方程。12．昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答）【答案】50天【分析】根据题意，实际每天比计划少生产10%，把计划每天生产水泥的吨数看作单位“1”，则实际每天生产水泥的吨数是计划每天的（1－10%），单位“1”已知，用乘法计算，求出实际每天生产水泥的吨数；这批水泥的总吨数不变，根据每天生产的吨数×天数＝水泥的总吨数（一定），积一定，则每天生产的吨数和天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。【详解】解：设这批水泥实际生产了天。12×（1－10%）＝12×4512×0.9＝54010.8＝540＝540÷10.8＝50答：这批水泥实际生产了50天。【点睛】①考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出实际每天生产水泥的吨数；②找出相关联的两种量，判断相关联的两种量乘积一定，然后根据反比例的意义列出反比例方程。13．某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。（1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？（2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？【答案】（1）320元（2）4件【分析】（1）根据题意，所有服装都打同样的折扣销售，则＝折扣（一定），比值一定，那么现价与原价成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。（2）先根据上一题的一件风衣原价480元，现价360元，计算出折扣；再根据题意，李阿姨手里的现金一定，则单价×数量＝总价（一定），积一定，那么单价和数量成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。【详解】（1）解：设这条裤子原价元。＝360＝240×480＝＝320答：这条裙子原价320元。（2）360÷480×100%＝0.75×100%＝75%75%＝七五折解：设能买件。200×75%＝120×5150＝600＝600÷150＝4答：如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买4件。【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。14．盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果从盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？【答案】30枚【分析】根据原来白棋子和黑棋子的比是2∶3，假设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，取出6枚黑棋子后，白棋子数量不变，黑棋子变为（3x－6）枚，这时盒子里白棋子和黑棋子的比变成5∶6，据此可列出比例式，解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。【详解】解：设盒子里原来白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，2x∶（3x－6）＝5∶65×（3x－6）＝2x×615x－30＝12x15x－12x＝303x＝30x＝30÷3x＝103×10＝30（枚）答：盒子里原有30枚黑棋子。【点睛】此题通过题目中的数量关系，巧设未知数，列出比例式，结合比的应用，解决问题。15．黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时