专题10 分段函数(参数或参数取值范围)

专题10分段函数(参数或参数取值范围)主要考查：分段函数求参数(或参数取值范围)问题一、单选题ax,x<11.已知实数a>0,a丰1,函数f(x)=〈 4, 在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )x2+—+alnx,x>1、xA.2<a<5 B.a<5C.3<a<5 D.1<a<2【解析】•・•函数fG)在R上单调递增，.,.当x<1时，有a>14a2x3—4+ax八当x>1时，f(x)=2x——+-= >0恒成立，x2x x2令g(x)=2x3+ax-4,xeh,+^),则g，(x)=6x2+aVa>0,.，.g'(x)>0，即g(x)在h,+8)上单调递增，g(x)>g(1)=2+a—4=a—2要使当x>1时f，(x)>0恒成立，则a—2>0,解得a>2.V函数f(x)在R上单调递增，・•・还需要满足a1<1+4+aln1,即a<5综上，a的取值范围是2<a<5.故选：A.2.设函数2.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(m,m+H上单调递减，则实数m的取值范围是( )A.[2,3] B.(2,3) C.(2,3] D.b,3)函数f函数f(x)在(—8,2］以及(4,+J上递增，在L,4)上递减,故若函数y=f(x)在区间(m,m+1］上单调递减，需满足2<m且m+1<4即2V机V3,故选：A.ax即2V机V3,故选：A.ax-1,x>1（4>0且。Wl）,对任意eR,当X丰X时总有1 2 1 2f(x)-/(%) 1 4<0,X—x

2 1则实数。的取值范围是（）B.(-72,1)C.[1,6【解析】因为对任意弋干乩当了气时总有上所以4）在R上单调递增，2 12-«2>0（2-a2（2-a2解得故选：AIVa—I<2X2,xe（0,l）r（\1] 「nV若有两解，则”的取值范围是（ ）log Gll,2JaA.(1

°”B.c.(1,2]D.(1,2A.(1

°”B.c.(1,2]D.(1,2)【解析】由题意可知。>。且当l«x<2时，由/(x)=logx=l,可得x=a；a当0<x<l时，由/(x)=OX2=l,可得x=J.y/al<a<2”I-，解得l<a<2.U<—<1yfa因此，实数〃的取值范围是（L2）.故选：d.5.在R5.在R上函数/（X）满足/G+2）=/（x）,且/（x）=|3-x|,OW，其中若/（—5）=/（4.5）,则。=（）A.2.5B.3.5C.4.5D.5.5

A.2.5B.3.5C.4.5D.5.5【解析】因为于G+2）=于（X）,所以函数fG）的周期为2又因为f(—5)=f(—1)=a—2,f(4.5)=f(0.5)=2.5・・・/(-5)=f(4.5)6.已知函数f（X・・・/(-5)=f(4.5)6.已知函数f（X）=3X+2,X<1若f(f(0))=6a，则实数a=()A.1B.2C.4D.8【解析】•・，。）=2•//(/(0))=f(2)=22+A.1B.2C.4D.8【解析】•・，。）=2•//(/(0))=f(2)=22+2a=6a，解得：a=1,故选：A7.设函数f（x）=<logX,

21X<—2的最小值为-1,则实数。的取值范围是（）X>—2A.B.【解析】由于函数f（X）=<—x+a,10g2X，C.'-8,-1I21x<—2的最小值为-1X>21 1 1=log2不=—122f(X)>——+a>—1，解得a>—5，故选:A.8.已知函数f8.已知函数f（X）=<log(x+3),—3<x<12X2—ax,x>1的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）(-1,0][(-1,0][-1,0](-1,+8)[—1,+8)【解析】当-3<x<1时，0<x+3<4贝Uf【解析】当-3<x<1时，0<x+3<42所以，函数f（x）=X2―aX在区间（1,+8）上的值域包含（2,+8）所以，存在X£（1,+8）,使得X2—ax<2，即a>x--X而函数g（x）=X--在区间（1,+8）上为增函数，...g（x）>g（1）=—1, a>-1.故选：D.X

二、多选题x+2,9.已知函数f(x)=jx2,.. 9 .. 9 一若山）二"则x的可能值是（）1A.一4C.9D.8x+2,【解析】由以x）=x<11<x<2

x>2- -9当x<1时，f(x)=x+2=49当1<x<2时，f(x)=x2=-9当x>2时，f(x)=2x=41解得x=43解得x=59故选：AB.〃/、 Ix2+2x+1,x<010.已知函数f(x)=]—x2,x>0'满足f(f(a))=T的a的值有()A.0B.1C.—1D.—2【解析】设t=f（a），则f（t）=T若t>0,则—12=—1,解得t=1或t=—1（舍去），所以f（a）=1，当a>0时，—a2=1方程无解;当a<0时，a2+2a+1=1,解得a=0或a=—2，满足条件;若t<0时，12+21+1=—1,即12+21+2=0,A=22—4x2=—4<0，方程无解，故选：AD11.函数11.函数f（x）=<满足对任意x1,x2(2a-1)x+8a-2,x<1ax,x>1f(x)—f(x)都有一1 。<0成x—x

1 2立的充分不必要条件是（ ）A.—<a<14C.-<a<-D.f(x)—f(x)【解析】一1 。<0成立，即当x<x时，x—x 1212f（x）>f（x）成立;

1 2当x1>x2时，f（x1）<f（x2）成立，即函数在R是减函数;当f(x)在定义域上是单调递减函数时，<解得大<a<-1,11当<a<1时，—<a<—不成立，A不正确;J 乙<0成立的充要条件，B不正确<0成立的充要条件，B不正确;当<a<-或a<a<-时,

3 8 3 22113<a<2成立，反之不成立故CD正确;故选：CD.12.已知函数f(x)=<-x2-ax-5,(x<1)是R上的函数且满足对于任意的\。x2，都有则则〃的可能取值是((x-X)「f(x)-f(x)>0成立1 9L1 。」A.1B.—1C.-2D.-3【解析】由条件对任意的\。x2都有(x-x)「f(x)-f(x)]>0成立,则函数单调递增,若函数f(x)=<-x2-ax-5,(x<1)是R上的单调递增函数，-a>12需满足ja<0 ，解得：-3WaW-2.故选：CD-1-a-5<a三、填空题()[(4-3a)x(x<1).已知函数f(x)=jx22+乂1—〃)x+2G>0在R上是增函数，则实数a的取值范围是‘4-3a>1【解析】要使f(x)在R上是增函数，则Ja-1<1 ，解得-1<a<1.4-3a<5-2a」\k—-G<0),TOC\o"1-5"\h\z.若函数fb)=\ x2 恰有4个零点，则实数k的取值范围是 .|x-1|-kx2(x>0)11【解析】当X<0时，令f(x)=0可得：k=—，当x>0时，令f(x)=0可得：k=二^,X2 x2—(x<0)令g(x)=]x2 ，若0<x<1，g(x)=x+1，g'(x)=x--^-<0，g(x)为减函数，曰(x>0) x2 x3、x2若x>1，g(x)=x_-，gf(x)=x+2二0，x=2x2 x3若xj，2)，g«x)<0，g(x)为减函数，若xe(2,+w)，g'(x)>0，g(x)为增函数，g(2)=4画出g(x)的图像，如下图:/、 .一一1 C1)如要f(x)有4个零点，则0<k<-，故答案为：0,-.4 k47f(a-2)x+2a+1,x<215.已知函数f(x)=< (a>0且a丰1)，若f(x)有最小值，则实数a的取值范围[2ax-1,x>2为.【解析】f(2)=2(a-2)+2a+1=4a-3当x=2时，2a2-1=2a若a>2，则当启2时为增函数，此时无最小值，不合题意；若a=2，当W2时，f(x)=5,当x>2时，2x2x-1=2x>4，此时无最小值，不合题意；若1<a<2，当W2时，f(x)为减函数，此时f(x)郊(2)=4a-3

当x>2时，f(x)为增函数，且此时f(X)>2a，要使f(X)有最小值，…… …「 ，3 ，3则4a—3(2cl，即2a<3,a<—,贝U1<a<—2 2若0<a<1,当话2时f(x)为减函数，此时f(x彦f(2)=4a-3当x>2时，f(x)为减函数，且f(x)>0,要使f(x)有最小值，c3则4a-3<0，即%了，贝I」0<a<-TOC\o"1-5"\h\z4. 3八3综上所述，1<a(万或0<a<-4 l"・二实数a的取值范围是(0,|]°(1,|]16.已知函数f(x)=<x2x2+8ix-a,x>2,若对任意的5eE+s),,x<2.都存在唯一的x2式-'2)，满足f(xj二f(x2)，则实数a的取值范围是p/X【解析】【法■当x勿小)时，f(x)=春.因为14A2x+-Ix)4.-4. 4 -而x+->2,:xx_=4，当且仅当x=，即x=2时，等号成立，x x x所以y=f(x)的取值范围是o，1.V8.11Alx-al由题意及函数f(x)=- ，x<2的图像与性质可得V2)a>2<，1、b-a1一>-IV2) 8a<2(1J2-al2V2)1，如上图所示.解得2<a<5或-1<a<2>-8所以所求实数a的取值范围是1-1,5)【法2】当xeh例)时，f(x户上，即f"片- - (c1]即x=2时，等号成立，所以y—f(x)的取值范围是0，；V8.当X£(-8,2)时,(1)若a>2，则/(x)=0ax(X£(-8,2))，它是增函数，此时y=f(X)的取值范围是.由题意可得〉1，解得a<5，又a>2，所以2<a<5(2)若a<2，则/(X)=<a-x,x<a,.函数y=f(X)在(-8,a］上是增函数，此时y=f(X)的取x-a,a<x<2值范围是(0』］；而函数y=f(X)在［a,2)上是减函数，此时y=f(X)的取值范围是］、2-a(12)J.由题意可得>1，解得a2-1,又a<2，所以-1<a<2综上，所求实数a的取值范围是［-1，5)四、解答题17.设函数于(X)=〈X3-3x,x<a, 、、.(qgR)-2x,x〉a(1)若a=0，则/(x)的最大值为:(2)若f(x)无最大值，则求实数a的取值范围.【解析】(1)X3-3X,运0-2x,x〉0,所以/(X)13X2-3,x<0-2,x〉0当X<-1时,尸(x)>0，此时函数为单调递增函数，当X〉-1时,尸(X)<0，此时函数为单调递减函数，故当X=-1时/(X)有最大值为2.(2)f'(x)=<3x2-(2)f'(x)=<-2,x〉a ，令°，则X=±「若/(X)无最大值，则

a>—1-2a>a3—3a①或5—-2a>a3—3a①—2a>2由①得a£(—8,—1)，由②得无解，4x———a,x>a,x18.已知函数f(x)=j z4x,a£R.a—x+—,x<a、Ix)(1)当a=0时，求y=f(x)的单调区间(只需写出单调区间，不需要证明)；(2)若关于x的方程If(x)-a1=4(a>0)恰有四个不同的实数解，求实数a的取值范围.’4八x-x，x>0【解析】(1)当a=0时，f(x)=5z4、，其图象如图所示：—x+—,x<0II x)所以y=f(x)的单调增区间是(0,笆)，(-2,0)；减区间是(-8,—2)(2)由题意得：f(2)由题意得：f(x)—a=<xz 4、x+-I x)4、x+—x)=4时，x=±2一z一z4」当a<2时，―x+-=4只有一个解，

Ix)则g(x)=x—4-2a=±4需要有3个解，x而g(x)二x一x-2a递增,至多有2个解,故不成立;一Z一Z4、，当a>2时，―x+—=4有两个解，

Ix)4则x--2a=±4需要有2个大于a的解，x因为g(Q=元—4—2a在(〃,+8)递增，x所以g(x)>g(a)=---a，而a>2,g(a)=---a<-4aa所以g(所以g(x)£所以x---2a=±4有2个解，

x所以实数a的取值范围是（2,+8）19.已知函数f(x)=产2+Lx<0且f(0)+f(-1)=3.Ie-x,x>0（1）求实数a的值;（2）若对任意的xe［-1,1］，不等式f((b+1)x-2b+1)>(fQ))恒成立，求正数b的取值范围.【解析】（【解析】（1）•・・/（］）=<ax2+1,x<0，：,f(0)+f(-1)=1+a+1=3，所以a=1e-x,x>0(2)(f(x2-x2)=e-bx2=f(bx2)函数f（x）在（-8,0）上单调递减，在区间h+8）上单调递减，因为02+1=e-0，所以，函数f（x）在R上连续，所以，函数f（x）在R上为减函数，f((b+1)x-2b+1)>(fCx2)=fQx2)等价于(b+1)x-2b+1<bx2即当b>0时，bx2-(b+1)x+2b-1>0在xe［-1,1］上恒成立，可得b(x2-x+2)>x+1( 1A27 . x+1•.xr+2=lx-2J+4>0，所以，b>^^x+1当x=-1时，b>0= ^成立；x2-x+2当一1<x<1时，令t=x+1e(0,2］，可得x=t-1

< _L—=< _L—=1,(t-1»_(t-1)+2 — 12—3t+4 ~ 4 3丁——Jt当且仅当t=2时，即当x=1时，等号成立.综上所述,函数y=二在区间［-1［］上的最大值为L「221因此，实数b的取值范围是11,+8)./、［lg(-x),x<020.已知函数f(x)=\,Iex—2,x>0(1)若f(a)=1，求a的值；(2)若关于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5个实数根，求m的取值范围.【解析】(1)若a<0，则f(a)=lg(—a)=1解得a=-10若a>0，则f(a)=ea-2=1，解得a=0或ln3.故故a的值为0或-10或ln3.lg(-x),x<0(2)由题可知f(x)=<当t>1或t=0时，方程t=f(x)有两个不同实根;―ex(2)由题可知f(x)=<当t>1或t=0时，方程t=f(x)有两个不同实根;当t<0时，方程t=f(x)有一个实根;因此关于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5个实数根等价于关于t的方程12+mt+2m+1=0有2个不相等的实数根t1，12，不妨设(>t2

11>1 11=0则［0<t<1或］02<t<1，I2 I1令h(t)=12+mt+2m+1'h(0)>0若t>1,0<t<1，则，h(1)<0,2A>0m+1>0即<3m+2<0 ，不等式无解;m2-8m-4>0'h(0)>0 ］2m+1>