安徽省蚌埠十二中高一下学期期中数学试卷

2016-2017学年安徽省蚌埠十二中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A．﹣ B．﹣ C． D．2．已知sinα=，且α∈（0，），则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．若，则=（）A． B．2 C．﹣2 D．4．函数y=sinx+cosx的最小值为（）A．1 B．2 C． D．﹣25．在等差数列{an}中，已知a2=﹣8，公差d=2，则a12=（）A．10 B．12 C．14 D．166．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（）A．na（1﹣b%） B．a（1﹣nb%） C．a（1﹣b%）n D．a[1﹣（b%）n]7．在等比数列{an}中，an＞0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=（）A．5 B．10 C．15 D．208．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=20，S20=15，则S30=（）A．10 B．﹣30 C．﹣15 D．259．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（）A． B． C．或 D．10．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形11．在△ABC中，，则最小角为（）A． B． C． D．12．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．计算：sin2﹣cos2=．14．数列{an}前n项和为Sn=n2+3n，则{an}的通项等于．15．在等比数列{an}中an∈R，且a3，a11是方程3x2﹣25x+27=0的两根，则a7=．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，其和为12，求这四个数．18．已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．（1）求sin（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．19．已知，且α是第二象限的角．（1）求的值；（2）求cos2α的值．20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．21．如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（）A．na（1﹣b%） B．a（1﹣nb%） C．a（1﹣b%）n D．a[1﹣（b%）n]【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据题意可知第一年后，第二年后以及以后的每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案．【解答】解：依题意可知第一年后的价值为a（1﹣b%），第二年价值为a（1﹣b%）2，依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项a（1﹣b%）公比为1﹣b%，进而可知n年后这批设备的价值为a（1﹣b%）n故选C7．在等比数列{an}中，an＞0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由{an}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由an＞0，能求出a3+a5的值．【解答】解：∵{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵an＞0，∴a3+a5=5．故选：A．8．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=20，S20=15，则S30=（）A．10 B．﹣30 C．﹣15 D．25【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20也成等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20也成等差数列，∴2（S20﹣S10）=S10+（S30﹣S20），∴2×（15﹣20）=20+S30﹣15，解得S30=﹣15．故选：C．9．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（）A． B． C．或 D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求sinB==，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】解：∵a=3，，，∴由正弦定理可得：sinB===，∵a＞b，B为锐角，∴B=．故选：A．10．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】由条件利用正弦定理可得sin2A=sin2B，化简可得A=B，或A+B=，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，从而得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π．∴A=B，或A+B=，即C=．故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选C．11．在△ABC中，，则最小角为（）A． B． C． D．【考点】HR：余弦定理．【分析】比较三条边的大小，可得c边最小，得C为最小角．利用余弦定理算出cosC=，结合C为三角形的内角，可得C=，可得本题答案．【解答】解：∵在△ABC中，，∴c为最小边，可得C为最小角由余弦定理，得cosC===∵C为三角形的内角，可得C∈（0，π），∴C=，即为△ABC的最小角为．故选：B12．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则为（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和三角形的面积公式列出方程求出c，由条件和余弦定理求出a，由正弦定理求出的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，∴，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，由正弦定理得，==，故选D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．计算：sin2﹣cos2=﹣．【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角余弦公式cos2α=cos2α﹣sin2α，以及特殊角的三角函数求出结果．【解答】解：=﹣cos=﹣故答案为：﹣．14．数列{an}前n项和为Sn=n2+3n，则{an}的通项等于2n+2．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3=4，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，当n=1时，2n+2=4=a1，适合上式∴an=2n+2．故答案为2n+2，（n∈N*）15．在等比数列{an}中an∈R，且a3，a11是方程3x2﹣25x+27=0的两根，则a7=3．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由韦达定理得，从而a3＞0，a11＞0，由等比数列的性质得，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{an}中an∈R，且a3，a11是方程3x2﹣25x+27=0的两根，∴，∴a3＞0，a11＞0，且，∴a7=3．故答案为：3．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合B的范围，利用特殊角的三角函数值可求B，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由正弦定理，又c＞b，且B∈（0，π），所以，所以，所以．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，其和为12，求这四个数．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设这四个为a，b，c，d，由等差数列和等比数列的性质列出方程，由此能求出这四个数．【解答】解：∵有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，其和为12，∴设这四个为a，b，c，d，则，解得a=9，b=6，c=4，d=2．∴这四个数依次为9，6，4，2．18．已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．（1）求sin（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角的正弦公式求得sin（α+β）的值．（2）由（1）求得tanα和tanβ的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=．（2）由（1）可得tanα==，tanβ==，∴tan（α﹣β）===．19．已知，且α是第二象限的角．（1）求的值；（2）求cos2α的值．【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由已知中，且α是第二象限的角，求出α的余弦值后，代入两角差的正弦公式，即可得到答案．（2）由已知中，根据二倍角的余弦公式，cos2α=1﹣2sin2α，即可得到答案．【解答】解：（1）∵，且α是第二象限的角∴cosα=﹣=∴=sinα•cos﹣cosα•sin=（2）cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；（2）由（1）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．21．如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理，求出∠ACB=60°，∠ACD=120°，在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，利用正弦定理可得结论．【解答】解：在△ABC中，AB=10，AC=14，BC=6，由余弦定理得，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°，在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，…8分由正弦定理得，所以…12分．22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a3=24，S11=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的首项与公差，利用等差数列的前n